2.1第1课时一元二次方程 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
学习目标
1. 理解一元二次方程的概念.（重点）
2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点）
导入新课
复习引入
没有未知数
1.下列式子哪些是方程？
2 + 6 = 8
2x + 3
5x + 6 = 22
x + 3y = 8
x - 5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程.
想一想：什么是一元二次方程呢？
一元二次方程的相关概念
一
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为　　　 m，根据题意，可得方程：
(8 - 2x)
(5 - 2x)
x
x
(8 – 2x)
x
x
(5 – 2x)
( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
讲授新课
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， .　
根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x + 1
x + 2
x + 3
x + 4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m，
根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑
1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
6
(x + 6)
72 + (x + 6)2 = 102.
化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
10 m
8 m
1 m
x m
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
① 2x2 - 13x + 11 = 0；② x2 - 8x - 20＝0；
③ x2 + 12 x - 15 = 0.
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是 2；
3.整式方程．
观察与思考
方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0(a，b，c 为常数，a ≠ 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
知识要点
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 -1 = 12x + 9
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；若是，则进一步化简整理再做判断.
提示
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3 + x2 = 36
(3) x + 3y = 36
(5) x + 1 = 0

×
×
×
×

×
×
(1) x2 + x = 36
注意：未限定 a ≠ 0
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1)ax2－x = 2x2
(2) (a－1)x | a | +1－2x－7 = 0.
解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，
原方程是关于 x 的一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解．
变式 方程 (2a－4)x2 2bx + a = 0，
（1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？
解：(1)当 2a 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程；
(2)当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程．
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax + b = 0 (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
未知数最高次数是 1
未知数最高次数是 2
例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
视频：一元二次方程一般式
点击视频开始播放
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
3.关于 x 的方程 (k2 1)x2 ＋ 2(k 1)x＋2k＋ 2＝0，
当 k 　　时，是一元二次方程．
当 k 　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝ 1
4.(1) 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）；
解：由挖去的圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
解：由该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x，
整理，得
根据题意，得
课堂小结
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2.
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件