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第十章 不等式与不等式组
11.1.1 不等式及其解集
1．了解不等式的概念，理解不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集．
2．会用不等式表示简单的不等关系，经历由具体实例建立不等式模型的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．
3．经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，体会类比和数形结合的思想．
观察下图，圆形和三角形的数量之间存在着怎样的关系？
圆形的数量________三角形的数量，即 9______7．
大于
＞
圆形有 9 个，三角形有 7 个．
数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系．现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题．
对于这样的问题，常常要分析问题中的数量关系，找到其中的不等关系，列出相应的数学式子———不等式 ，并通过解不等式得出结论．
有了不等式，就可以表示问题中的不等关系了．
问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
思考：汽车在 8:00 之前驶过 A 地的意思是什么？
分析：设车速是 xkm/h． 汽车要在8:00之前驶过A地，
从时间上看，就是以 xkm/h 的速度行驶210km的时间不到2h，
从路程上看，就是以 xkm/h 的速度行驶2h的路程要超过210km.
从时间上看，就是以 xkm/h 的速度行驶210km的时间不到2h ．
如何用式子表示上面的不等关系？
问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
从路程上看，就是以 xkm/h 的速度行驶2h的路程要超过210km.
如何用式子表示上面的不等关系？
问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
式子2 和 从不同角度表示了车速应满足的条件．
用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式．
问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
想一想：像 a＋2≠a－2 这样的式子是不等式吗？
注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”； “≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这 3 个符号统称不等号．
（2）不等式中可以不含未知数，如“3＜4”．
用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
例1：下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？
① -2＜5
② x+4＞7
③ 4x-3y≤0
④ 3a-2b
a+b≠c
5m-3=8
8+6＜15
解：①②③⑤⑦⑧是不等式，④⑥不是不等式.
≤：小于或等于
：大于或等于
例2： 用不等式表示下列不等关系：
（1）a与15的和大于27；
（2）b的一半与3的差是负数；
（3）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍．
解：（1）a＋15＞27；
（2）＜0；
（3）设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm2，那么1333＞18x，也可以表示为18x ＜1333．
讨论：对于不等式2x＞210 而言， x 可以取 90 吗？110呢？80呢？120呢？
解：当 x＝90 时， 2x＝180<210；
当 x＝80 时， 2x＝160<210 ；
当 x＝120 时，2x＝240>210 ．
当 x 取 110，120 时，不等式成立；当 x 取 80，90时，不等式不成立．
当 x＝110 时，2x＝220>210；
问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
说一说：类比方程的解，你能说出什么叫不等式的解吗？
使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
例如：
110，120 是不等式2x＞210的解，
而 80，90 不是不等式 2x＞210的解．
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
探究：再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解．
观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？
x … 90 95 100 105 110 …
2x … 180 190 200 210 220 …
可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立．这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解．因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210成立的x的取值范围.
问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
汽车要在8:00之前驶过A地，车速应大于105km/h．
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
x＞105是不等式2x＞210的解集
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
x＞105是不等式x＞210的解集
，它可以在数轴上直观表示。
在表示105的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数.
例3：数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x>-1；(2)x≥-2；(3)x<3；(4)x≤2
0
-1
0
-2
0
3
0
2
（2）
（3）
（4）
解：（1）
【知识技能类练习】必做题：
1．有下列式子：
①；②；③；
④；⑤；⑥．
其中不等式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
C
【知识技能类练习】必做题：
2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过某桥洞时，我们看到如图所示的限制车高标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．用适当的不等式表示下列关系：
(1)x的与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元；
(4)小明的体重不比小刚轻．
解：（1）根据题意，得．
（2）设一枚炮弹的杀伤半径为r米，则应有．
（3）设每件上衣为a元，每条长裤为b元，则应有．
（4）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有．
【知识技能类练习】选做题：
4．（1）此不等式的解集为 ，非正整数解为 ；
（2）此不等式的解集为 ，最大整数解为 ．
【综合拓展类练习】
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空．
(1)a___________b．
(2)___________．
(3)___________0．
(4)___________0．
(5)ab___________0．
＞
＜
＜
＞
＜
不等式的解集
不等式的概念
不等式的解
用不等式表示
用数轴表示
不等式及其解集
【知识技能类作业】必做题：
1．在下列数学表达式：
，，，，
是不等式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
【知识技能类作业】必做题：
2．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
3.用不等式表示：
（1）a 的一半与 3 的和大于 5；
（2）x 的 3 倍与 1 的差小于 2；
（3）a 的一半与 1 的差是正数；
（4）m 与 2 的差是负数．
解：（1）＋3＞5；
（2）3x－1＜2；
（3）－1＞0；
（4）m－2＜0．
【知识技能类作业】选做题：
4．某品牌果汁外包装标明：净含量为，表明了这瓶果汁的净含量x的取值范围是 ．
【综合拓展类作业】
5．已知关于的不等式的解集表示在数轴上如图所示，求的值．
解：由图可知不等式的解集为，
，解得．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《11.1.1 不等式及其解集》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法。
学习者分析 在小学阶段学生对实际生活中的不等量关系、数量大小的比较等知识已有所了解。学生已经初步具备了“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题解释和检验”的数学建模能力，也初步具备了探究和比较的能力。
教学目标 1．了解不等式的概念，理解不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集． 2．会用不等式表示简单的不等关系，经历由具体实例建立不等式模型的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型． 3．经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，体会类比和数形结合的思想．
教学重点 正确理解不等式，不等式的解与解集的意义。
教学难点 正解理解不等式解集的概念。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解不等式的概念，理解不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集． 2．会用不等式表示简单的不等关系，经历由具体实例建立不等式模型的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型． 3．经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，体会类比和数形结合的思想．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：观察下图，圆形和三角形的数量之间存在着怎样的关系？ 预设：圆形有 9 个，三角形有 7 个． 即：圆形的数量大于三角形的数量，即9>7． 导入：数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系．现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题． 对于这样的问题，常常要分析问题中的数量关系，找到其中的不等关系，列出相应的数学式子———不等式 ，并通过解不等式得出结论． 有了不等式，就可以表示问题中的不等关系了．学生活动2： 学生回答问题后，认真听老师讲解活动意图说明： 实例贴近生活，拉近了与学生的距离，让学生体会到不等式是表示不等关系的重要数学模型。环节三：新知讲解教师活动3： 问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 思考：汽车在 8:00 之前驶过 A 地的意思是什么？ 分析：设车速是 xkm/h． 汽车要在8:00之前驶过A地， 从时间上看，就是以 xkm/h 的速度行驶210km的时间不到2h，这个不等关系可以表示为 从路程上看，就是以 xkm/h 的速度行驶2h的路程要超过210km，这个不等关系可以表示为 指出：式子2 和 从不同角度表示了车速应满足的条件． 归纳：用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式． 想一想：像a＋2≠a－2这样的式子是不等式吗？ 强调：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”；“≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这3个符号统称不等号． （2）不等式中可以不含未知数，如“3＜4”． 例1：下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ ① -2＜5 ② x+4＞7 ③ 4x-3y≤0 ④ 3a-2b 指出：≤：小于或等于；：大于或等于 解：①②③⑤⑦⑧是不等式，④⑥不是不等式. 例2： 用不等式表示下列不等关系： （1）a与15的和大于27； （2）b的一半与3的差是负数； （3）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍． 解：（1）a＋15＞27； （2）＜0； （3）设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm2，那么1333＞18x，也可以表示为18x ＜1333． 讨论：对于不等式2x＞210 而言， x 可以取 90 吗？110呢？80呢？120呢？ 解：当 x＝90 时， 2x＝180<210； 当 x＝110 时，2x＝220>210； 当 x＝80 时， 2x＝160<210 ； 当 x＝120 时，2x＝240>210 ． 即：当 x 取 110，120 时，不等式成立；当 x 取 80，90时，不等式不成立． 说一说：类比方程的解，你能说出什么叫不等式的解吗？ 预设：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解． 归纳：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 例如： 110，120 是不等式2x＞210的解， 而 80，90 不是不等式 2x＞210的解． 探究：再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解． x…90110…2x…180220…
观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？ 预设：可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立．这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解．因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210成立的x的取值范围. 对于前面的问题，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应大于105km/h． 归纳：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集． 例如：x＞105是不等式2x＞210的解集，它可以在数轴上直观表示。 注意：在表示105的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数. 归纳：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 例3：数轴上表示下列不等式的解集： (1)x>-1；(2)x≥-2；(3)x<3；(4)x≤2 解：（1） （2） （3） （4） 学生活动3： 学生认真审题，并对老师提出的问题进行合作探究后班内交流。活动意图说明： 通过实例，让学生认识到不等关系在生活中的存在，通过问题的解答，让学生了解不等式的概念，体会不等式是解决实际问题的有效工具．通过类比方程，探索出不等式的解、解集及其表示方法．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：11.1.1 不等式及其解集一、不等式的概念 二、不等式的解 三、不等式的解集 四、解不等式教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过某桥洞时，我们看到如图所示的限制车高标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．用适当的不等式表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元； (4)小明的体重不比小刚轻． 解：（1）根据题意，得． （2）设一枚炮弹的杀伤半径为r米，则应有． （3）设每件上衣为a元，每条长裤为b元，则应有． （4）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 选做题： 4．（1）此不等式的解集为 ，非正整数解为 ； （2）此不等式的解集为 ，最大整数解为 ． 答案： 【综合拓展类练习】 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空． (1)a___________b． (2)___________． (3)___________0． (4)___________0． (5)ab___________0． 答案：(1)＞；(2)＜；(3)＜；(4)＞；(5)＜
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在下列数学表达式：，，，中，是不等式的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：C 2．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．用不等式表示： （1）a的一半与3的和大于5； （2）x的3倍与1的差小于2； （3）a的一半与1的差是正数； （4）m与2的差是负数． 解：（1）＋3＞5； （2）3x－1＜2； （3）－1＞0； （4）m－2＜0． 选做题： 4．某品牌果汁外包装标明：净含量为，表明了这瓶果汁的净含量x的取值范围是 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．已知关于的不等式的解集表示在数轴上如图所示，求的值． 解：由图可知不等式的解集为， ，解得．
教学反思 本节课主要学习不等式的定义及符号表示，不等式的解、解集的定义，以及不等式解集在数轴上的表示方法等内容。在教学中一是通过实例，让数学走进生活，提高他们的学习兴趣，培养用数学的眼光看待生活并用数学语言表达生活现象的能力。二是注重类比思想，以加强对不等式相关定义的理解和掌握。三是在处理“≥、≤”符号时，在教学中引入这两个符号，让学生更清晰地理解它们的区别和联系，特别是在使用数轴表示不等式解集时。四是引导学生精确地使用不等式表示数量关系，特别是含有未知数的不等式。教学中要让学生了解如何选择不等号，以解决实际问题，并引导他们感受函数思想和不等式解与方程解之间的区别。
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同步探究学案
课题 11.1.1 不等式及其解集 单元 第十一章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．了解不等式的概念，理解不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集． 2．会用不等式表示简单的不等关系，经历由具体实例建立不等式模型的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型． 3．经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，体会类比和数形结合的思想．
重点 正确理解不等式，不等式的解与解集的意义。
难点 正解理解不等式解集的概念。
探究过程
导入新课 【引入思考】 观察下图，圆形和三角形的数量之间存在着怎样的关系？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助实际问题，研究不等式。 问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 分析：设车速是xkm/h．汽车要在8:00之前驶过A地， 从时间上看，就是以xkm/h的速度行驶210km的时间不到___h，这个不等关系可以表示为 _________ 从路程上看，就是以xkm/h的速度行驶2h的路程要超过_____km，这个不等关系可以表示为 指出：式子____和从不同角度表示了车速应满足的条件． 归纳：用符号“＜”或“＞”表示_______关系的式子，叫作不等式． 想一想：像a＋2≠a－2这样的式子是不等式吗？ 用符号“≠”表示不等关系的式子也是________． 注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”；“≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这3个符号统称不等号． （2）不等式中可以不含未知数，如“3＜4”． 例1：下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ ①-2＜5②x+4＞7③4x-3y≤0④3a-2b 注意：“≤”表示小于或等于；“”表示大于或等于 例2：用不等式表示下列不等关系： （1）a与15的和大于27； （2）b的一半与3的差是负数； （3）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍． 思考：对于不等式2x＞210而言，x可以取90吗？110呢？80呢？120呢？ 说一说：类比方程的解，你能说出什么叫不等式的解吗？ 归纳：使不等式成立的未知数的_____叫做不等式的解． 例如：110，120____不等式2x＞210的解，而80，90______不等式2x＞210的解． 探究：再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解． x…90110…2x…180220…
观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？ 归纳：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的_______，组成这个不等式的解集． 例如：x＞105是不等式2x＞210的解集，它可以在数轴上直观表示。 注意：在表示105的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数. 归纳：求不等式的_______的过程叫做解不等式． 例3：数轴上表示下列不等式的解集：
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过某桥洞时，我们看到如图所示的限制车高标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ） A． B． C． D． 3．用适当的不等式表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元； (4)小明的体重不比小刚轻． 选做题： 4．（1）此不等式的解集为 ，非正整数解为 ； （2）此不等式的解集为 ，最大整数解为 ． 【综合拓展类练习】 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空． (1)a___________b． (2)___________． (3)___________0． (4)___________0． (5)ab___________0．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在下列数学表达式：，，，中，是不等式的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ） A． B． C． D． 3．用不等式表示： （1）a的一半与3的和大于5； （2）x的3倍与1的差小于2； （3）a的一半与1的差是正数； （4）m与2的差是负数． 选做题： 4．某品牌果汁外包装标明：净含量为，表明了这瓶果汁的净含量x的取值范围是 ． 【综合拓展类作业】 5．已知关于的不等式的解集表示在数轴上如图所示，求的值．
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