四川省内江市威远中学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题（含答案）

威远中学校2027届高一下期5月月考
数学
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共58分)
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）．
1．某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．在中，若，，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
7．在中，，是的中点，与交于点，若，则
（ ）
A． B． C． D．1
8．在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9．若复数，则（ ）
A． B．
C．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．复数满足，则的最大值为
10．已知函数，若的图象过三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
11．已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若点在边上，为角平分线且长度为，则
C．若是边上的一点，且，则的面积的最大值为
D．若是的外心，，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分,满分15分）．
12．已知是关于x的方程的一个根，则实数p的值为 ．
13．已知角为第二象限角，且，则 ．
14．揭阳楼位于市区东入口，是我市的标志性建筑．如图，在揭阳楼旁地面上共线的三点A，B，C处测得楼檐上某点的仰角分别为，，，且米，点在地面的投影为，则 米．
解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15．已知平面上三个向量，其中．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且，求与的夹角的余弦值．
16．如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．
(1)求AD的长；
(2)求的面积．
17．如图，在直角梯形中，，E是线段的中点，F在线段上（不包含端点），线段相交于点P．
(1)若F是线段的中点，求的值；
(2)若，求的值；
18．已知向量，，设函数.
(1)化简;
(2)若，且，求的值;
(3)在锐角中， 若，求的取值范围.
19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：．
(3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
威远中学校2027届高一下期5月月考
数学答案解析
单选题（每小题5分）
1-4：D D C A 5-8：A C A B
多选题（每小题6分）
9、ABD 10、BC 11、BCD
填空题（每小题5分）
12、12 13、 14、
解答题
15、（13分）（1）因为，所以设，
因为，所以，解得， ……………………………… 4分
所以或. ……………………………………………………………… 6分
（2）因为，所以，
即，解得……………………………… 9分
所以与的夹角的余弦值为. …………………… 13分
16、（15分）（1）在中，可知，，可得，
由正弦定理可得. ………………… 7分
（2）在中，可知，
由余弦定理可得，
即，可得，解得或，
所以的面积为.……………………… 15分
17、（15分）（1）若F是线段的中点，则由题意可知：
，
，
所以
；……………………………………………6分
（2）不妨设，
则，
由上知，所以若，
即
解之得，由条件可知，
所以 ……………………………………………………………………………………………15分
18、（17分）（1）
………………………………………………………………4分
（2），
由，则，则，………………6分
则
；……………………………………………………………………10分
（3），又为锐角三角形，所以，则，………11分
则……………………13分
在锐角中，，即， 所以，
所以，则，
所以的取值范围是……………………………………………………………………17分
19、（17分）（1）因为，
则，故. ………………………………………………4分
（2）依题意，，由可得，
因，则，故，解得.…………………………………6分
，①
因，则，②
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.…………………………………………………10分
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象：
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.……………………………………………………17分