北京市第二中学2024-2025学年高一下学期第五学段数学试题（含答案）

2025北京二中高一（下）五学段
数 学
必修第二册
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）
1. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
2. 设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
3. 如图所示，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足的是( )
4. 如图所示，为的直观图，且的面积为，则中最长的边长为( )
A. B.
C. D.
5. 已知单位向量满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，圆锥形容器的高为，容器内水面的高为，且，若将容器倒置，水面高为，则等于( )
A. B. C. D.
9. 如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是棱，上的动点，设， 若棱与平面有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保留至今的有方摩崖石刻，最引人称颂的是公元年摹刻的《大唐中兴颂》，因元结的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉称“摩崖三绝” 该碑高米，宽米，碑身离地有米如图所示，有一身高为的游客从正面观赏它该游客头顶到眼睛的距离为，设该游客离墙距离为米，视角为 为使观赏视角最大，应为( )
A. B. C. D.
11. 如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法错误的是( )
A. 在翻折过程中，存在某个位置使得
B. 若，则与平面所成角的正切值为
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当时，的最小值为
12. 在单位正方体内任取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分成个小长方体，则这些小长方体中体积不大于的长方体的个数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将答案填在答题纸上）
13. 在正方体中，二面角的平面角等于 ________．
14. 已知向量，，. 若，则________．
15. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是________．
16. 如图所示，在正方体中，是棱的中点，记与的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ________， ________．
17. 已知正四面体中，分别在棱上. 若，，则 ________．
18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科. 如图所示，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，阴影部分叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 设，，.
若平面是面积为的等边三角形，则
若，则
若平面为直角三角形，且，则
若，则球面的体积
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）
19（本小题10分）
已知函数.
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）若，求的最大值和最小值及取得最值时相应的值.
20（本小题12分）
如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：
21（本小题12分）
已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）和的值；
（2）的值．
条件①:,；条件②:,.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
22（本小题13分）
如图所示，在三棱柱中，侧棱，为棱的中点．，， .
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在棱上是否存在点，使得？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
23（本小题13分）
对于行列的数表，定义变换：任选一组其中，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加1，或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表.
（1）已知对依次进行4次变换，如下：写出值；
（2）已知.是否可以依次进行有限次变换，将变换为？说明理由；
（3）已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为？若可以，求的最小值；若不可以，说明理由.
参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B D B C A D D A A D B
二、填空题
13．
14．
15． 1
16． ，
17． 3或
【答案】当时，是等边三角形，因此。在中，由余弦定理可得，解得。
当时，不妨设。在中分别使用余弦定理可得
由可知是关于的方程的两个相异正实根，所以
可写为(，因此，解得。
18．①②④
三、解答题
19（本小题10分）已知函数.
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）若，求的最大值和最小值及取得最值时相应的值.
【答案】解：函数
，
的单调递增区间为，
由于，
所以，
，
所以当时，，
当时，
20（本小题12分）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：
【答案】证明：，E为AD的中点，可得，
底面ABCD为矩形，可得，
则
<法一>如图，取PC中点G，连接FG，
F，G分别为PB，PC的中点，
，且
四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
，，
，且，
四边形EFGD为平行四边形，
，
又EF不在平面PCD内，GD在平面PCD内，
平面
<法二>：取BC的中点G，连接EG，FG，
F为PB中点，
E为AD中点，
四边形EDCG是平行四边形，
底面ABCD为矩形，
，
平面平面ABCD，，平面ABCD，
平面
，
又，且，，，
平面PAB，
又平面PCD
平面平面
21（本小题12分）已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）和的值；
（2）的值．
条件①:,；条件②:,.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：若选择条件①：
解：（Ⅰ）在中，因为，
所以，.
因为，，所以.
由余弦定理，，
所以.
（Ⅱ）由正弦定理，可得.
所以，.
因为，所以，.
所以
.
若选择条件②：
解：（Ⅰ）在中，因为，所以.
因为，所以，.
因为，
所以.
由余弦定理，，所以.
（Ⅱ）由正弦定理得，
所以.
因为，所以.
所以
.
22（本小题13分）如图所示，在三棱柱中，侧棱，为棱的中点．，， .
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在棱上是否存在点，使得？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】解：连结交于O，连结
在中，因为M，O分别为AC，中点，
所以
又因为平面，平面，
所以平面
因为侧棱底面ABC，平面ABC，
所以
又因为M为棱AC中点，，所以
因为，，平面
所以平面平面
所以
因为M为棱AC中点，，所以
又因为，所以在和中，
所以，
即
所以
因为，BM，平面
所以平面
当点N为中点时，即，平面平面
设中点为D，连结DM，
因为D，M分别为，AC中点，
所以，且
又因为N为中点，
所以，且，
所以四边形DMBN是平行四边形，
所以，
所以，，
又因为，，
所以平面
又因为平面，
所以平面平面
23（本小题13分）
对于行列的数表，定义变换：任选一组其中，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加1，或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表.
（1）已知对依次进行4次变换，如下：写出值；
（2）已知.是否可以依次进行有限次变换，将变换为？说明理由；
（3）已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为？若可以，求的最小值；若不可以，说明理由.
【答案】（1）根据变换的定义，
可得
（2）不可以，理由如下:
由题可知每次变换T，数表中所有数的和增加或减少5.
因为A中所有数的和为0，所以其经过有限次变换T后各数和为5的倍数.
而 B中所有数的和为9，不符合，故无法通过有限次变换T，将A变换为B.
（3）可以，且k的最小值为 400
当所选时，所有加l的变换T与减1的变换T次数之差设为；
当所选且或者且时，所有加1的变换T与减1的变换T 次数之差设为；
当所选时，加1的变换T与减1的变换T次数之差设为.
考虑变换T 对上述三部分各数之和的影响，
可知，解得，
所以，
其中符合题意的 400 次变换T构造如下：
当所选时，各进行一次减1的变换T；
当所选且或者且时，
各进行10次加l的变换T；
当所选时，进行100次减l的变换T.