上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题(含简略答案)

2024学年度上海市复旦大学附属中学高一第二学期5月阶段测试卷（A卷）
数学 试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具。
2. 请作答在答题纸上，作答在试卷上一律不予评分
3. 禁止携带通讯设备进入考场
4. 草稿纸由监考老师统一发放，不得自行准备草稿纸
5. 本试卷共3页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1．已知，则________．
2．满足为奇函数的所有组成的集合有______个子集．
3．已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为________．
4．已知向量，向量，则在方向上的数量投影________．
5．复平面上的复数z满足|z+i|+|z-i|=2025，则复数z对应的点的轨迹上的单位向量为________．
6．小董同学认为：函数就是其单调增区间，若用反证法证明该命题，推出的矛盾可以为________．
7．下列命题中，所有真命题的序号为________．
①虚轴上的点所对应的数是纯虚数 ②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数
③若复数a+bi(a,b)是某一元二次方程的根，则a-bi一定是该方程的另一个根
8．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早多年发现勾股定理.现有满足“勾股弦”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则 ．
9．已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ．
10．已知三角形内接圆半径为1，外接圆半径为5，则该三角形周长的最小值为_________．
11．已知△ABC有一内角与其半角不为同一象限角，且AB=3，BC=4，则边AC长的取值范围为_________．
12．定义：(x)为不小于x的最小整数，设m个零点所需要的整周期为()，() ()，若△ABC的内角正弦值之比满足：sinA：sinB：sinC=()：()：()，则m的取值集合为________．
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13．小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形
14．小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下：
题目： 答案：为7
则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（ ）
A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误
C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误
15．小马同学和小虎同学记忆公式十分马虎，他们要求一个等腰△ABC的面积，小马同学把余弦定理记忆为：cosA=，小虎同学把正弦定理记忆为：，则小马同学能把该三角形面积求对是小虎同学能把该三角形面积求对的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
16．对于的性质研究，可以借助将图像在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究。那么对于函数的共性的两个命题（ ）
①：这三个绝对值函数较原函数周期均减半 ②：在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②均正确 D．①②均错误
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17．（本题共14分，每小问均为7分）
已知复数Z1且 Z1，Z2是关于x的方程的两根。
（1）若该方程既没有不同的两个实数根，又没有不同的两个虚数根，判断方程根的情况并求：p，q满足的关系式
（2）若复数Z1满足，求：a的取值集合．
18．（本题共14分，每小问均为7分）
已知复平面内分别与复数z1=i2024，z2=，z3=cos37°isin37°，z4=sin45°icos45°对应的四点分别为Z1，Z2，Z3，Z4
（1）求证：Z1，Z2，Z3，Z4四点共圆
（2）若还有三点Z5，Z6，Z7与Z1，Z2，Z3，Z4共圆，其对应的复数为z5，z6，z7，若|z5-z6|=|z5+z7|；求：△Z5Z6Z7的面积．
19．（本题共14分，每小问均为7分）
从基本函数出发，研究分段函数是我们需要掌握的函数能力。已知函数。
（1）请在平面直角坐标系中画出该函数的图像，并直接写出该函数最少沿x轴向左平移几个单位可以成为偶函数
（2）若锐角△ABC中有两个内角与x值相同，求此时函数：．
20．（本题共18分，每小问均为6分）
设扇形A1OB1的圆心角为，则以O为圆心，弧A1B1的长为半径，保持圆心角不变作扇形A2OB2，再以O为圆心，弧A2B2的长为半径作扇形A3OB3，如此无限重复操作
（1）设A1O与A2O的长度差为d，弧A1B1的长为l1，弧A2B2的长为l2，试用d, l1, l2表示扇环A1B1B2A2的面积
（2）当弧A1B1的长为1，θ=0.5时，求：所有扇形AnOBn的面积和
（3）当A1O=1时，求：扇环周长与面积之比的最大值与此时的n与θ．
21．（本题共18分，每小问均为6分）
新定义：对于函数
（1）是否存在定义域为R的周期函数 ，请说明理由。
（2）求：周期为P的函数是的充要条件
（3）若对于任意T≤0，满足上均为“绝比T函数”，求：a的取值范围．
参考答案：
填空题（1~12题）
1．
2． 1 （提示：由于-1影响原点对称性，不可能有满足条件，则集合为 ， 只有一个子集即自己本身）
3． 16
4．
5． (0,1)或(0,-1)
6． （合理即可）
7． ②
8．16或（注意分谁是直角讨论，勾三股四弦五只是比例关系，不是特定边长）
9．18+6
10． 3 （提示：外接圆半径面积公式：S，考虑使用三项基本不等式）
11． (1,]∪[5,7) （提示：由题干知该三角形为钝角三角形或直角三角形，考虑使用余弦定理）
12．{m|m=2n+1，其中n} （提示：正弦定理转化为三边比，两边之和要大于第三边，m只能是奇数）
选择题（13~16题）
11． C
12． B
13． A
14． D
解答题（17~21题）
17． （1） 方程有两个相同的实数根，满足：△ （7分）
（2） {2} （7分）
18． （1）易证：|OZ1|=|O Z2|=|OZ3|=|OZ4|=1，故Z1，Z2，Z3，Z4均在单位圆上 （7分）
（2）或 （7分）
19． （1）图像如图所示：（5分） 最少向左平移 （2分）
（2）用反证法可证明，△ABC为锐角三角形的充要条件是 （3分）
则 值域为[ （解析式，定义域，值域各2分，共4分）
（1） （3分） 本小题考察了扇形周长，面积公式的基本应用，属于基础题
（2） （4分）
（3） 当且仅当n=1， 时，最大值为5+（5分）
21． （1）不存在，当函数定义域为R时该函数必存在零点，此时会有f (x)使分母无意义（6分）
（2） （6分）
（3）a（6分）