雅礼中学2025届高三年级冲刺训练试题
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列的前n项和，，则（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
4．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．0 B． C． D．1
6．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若关于的不等式有实数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则下列选项正确的有（ ）
A. 回归直线必过点
B.
C. 加工6个零件的时间大约为
D. 若去掉，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化
10．过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上
B．抛物线 的准线方程为
C．不是定值
D．若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则
11. 如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成直角梯形，AD＝1，，现将沿斜边AC翻折成（不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A. 与BC可能垂直
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若A，C，E，都在同一球面上，则该球的表面积是
D. 直线与EP所成角的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 方程的根个数为__________.，若方程恰有两个根，则__________.
13．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为
14.已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知正方体的棱长为，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点.
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)当时，求二面角的余弦值的绝对值.
16.（15分）已知的内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，求的周长.
17．（15分）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
18.（17分） 已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为．
（1）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（2）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值．
19．（17分）当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我们称与互为反函数．已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．
（1）若函数，且点在曲线上．
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积．
（2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S．证明：．（参考数据：）2025年雅礼中学高三冲刺训练检测试题
数学参考答案
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B D A B A A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
BCD AD ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． ①. 3 ②. 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）证明：连接.由，得，又，则有，
正方体中，平面，平面，得，
又正方形中，，，平面，所以平面，
由平面，得.又，所以.
（2），，，，
，有，
，∴.
（3）如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，当时，有，则，，.
设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设为平面的一个法向量，∴，
令，得，可得.设所成的角为∴16.（1）证明：由，得，
由正弦定理得.
因为，所以.
（2）解：因为，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的周长为.
17.（1）数列满足，当时，，
两式相减可得，，所以，当时，也满足上式，所以；
（2）由（1）得，所以，则，
两式相减的，，所以．
18.（1）由椭圆方程可知：，
则，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立消去得，，
所以，即.
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
（2）由题意，，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，，
联立消去得，
所以
所以
所以，
同理联立消去得，
所以
所以
所以，
即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
19．（1）解：（i）因为点在曲线上，所以．
由，得，则，
则曲线在点处的切线方程为．
（ii）由，得．
根据对称性可设关于直线对称，可得，
则．
若，则直线的方程为，与曲线相切，不符合题意．
若，则直线的方程为，联立方程组解得或
（舍去），
则，
则该“关联矩形”的面积．
（2）证明：由，得．
显然，根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，且．设，其中，且．
因为“关联矩形”是正方形，所以，
．由，得．
由，可得．
令，则，则在上单调递增．由，可得．
令，则，当时，单调递增，则
从而．
