宁夏六盘山高级中学
2024-2025学年第二学期高三第四次模拟考试试卷
学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内。
2．选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，
字体工整，笔迹清楚。
3．做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 .
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C.3 D.
4.为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是( )
A.两组数据的平均数都是6分
B.两组数据的中位数都是6分
C.两组数据的极差相等
D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
5.在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6 .若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别相交于点，，，其中为坐标原点，若的面积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是( )
A.展开式的各项系数之和为4096 B.展开式中含项的系数为45
C.展开式中存在常数项 D.展开式中第6项的系数最大
10.关于函数，下列说法正确的是( )
A.的最小值为2 B.是奇函数
C.的图象关于直线对称 D.在上单调递减
11.数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们之和为奇数的概率为，数列的前项积为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为 ．
13.已知等差数列的前项和为，若，，则 ．
14.若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）
如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为，，，，已知，将梯形沿，同侧折起，得空间几何体，如图2
（1）若，证明：；
（2）若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长 .
16.（本小题满分15分）
在中，角的对边分别为已知，．
（1）若的面积为，且，求；
（2）若，且，求．
17.（本小题满分15分）
中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体、预防疾病等方面也发挥着重要的作用某研究机构为了解草药对某疾病的预防效果，随机调查了100名人员，数据如下：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
未患病 患病 合计
服用草药A 48 12 60
未服用草药A 22 18 40
合计 70 30 100
依据小概率值的独立性检验，分析草药对预防该疾病是否有效；
（2）已知草药对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药的患者治疗有效的概率为，对服用草药的患者治疗有效的概率为若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取1人使用草药进行治疗，求治疗有效的概率．
附：参考公式：，其中．
参考数据：
18.（本小题满分17分）
已知圆与椭圆相交于点，且椭圆的离心率为．
（1）求的值和椭圆的方程；
（2）过点的直线交圆和椭圆分别于两点．
①若，求直线的方程；
②设直线的斜率为，直线的斜率为，过点斜率为的直线交椭圆于异于的点，若，则直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不存在，说明理由．
19.（本小题满分17分）
已知函数，其中．
（1）若是偶函数，求
（2）当时，讨论在上的零点个数
（3）已知，若，求的取值范围．宁夏六盘山高级中学
2025届高三年级第二学期第四次模拟（数学）参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B A B D D
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BCD BCD AD
填空题
12． ； 13． ； 14．
四、解答题
15.【答案】证明：Ⅰ由已知得四边形是正方形，且边长为，在图中，，
由已知得，，，平面，
平面， ------------------2分
又平面，，
又，，，平面，---------------4分
平面． -------------6分
解：Ⅱ在图中，，，，，平面，
即平面，
在梯形中，过点作交于点，连接，
由题意得，，则，则，，
过作交于点，可知，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，----------------7分
，，
设平面的一个法向量为，
由得，取得，----------------8分
设，则，，得，-----------------10分
设与平面所成的角为，
． ------------------12分
所以． -----------------13分
16.【答案】解：因为，
由正弦定理，得， ----------------1分
因为，则，即， ------------3分
又，则． -------------5分
又，解得．----------------7分
因为，所以为上靠近的三等分点，
设，则，． ------------9分
在中，根据余弦定理-------------11分
在中，根据余弦定理------------13分
则：，-------------14分
解得，所以． -----------------15分
【答案】解：零假设为：草药对预防该疾病无效，根据列联表中数据，得
，------------4分
因为当假设成立时，，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为服用草药对预防该疾病有效，此推断犯错误的概率不大于；------------7分
设事件表示“草药的治疗有效”，事件表示“患者未服用草药”，------------8分
事件表示“患者已服用草药”，------------9分
则------------10分
，------------11分
，------------12分
所以由全概率公式得：，------------14分
． ---------------15分
【答案】解：因为圆，
与椭圆相交于点，
所以，-------2分
又离心率为，所以，-------3分
所以椭圆； -------5分
因为过点的直线交圆和椭圆分别于两点，
所以直线的斜率存在，则可设直线的方程为，-------6分
由，得，则可得，-------7分
同理，由，解得， -------8分
又已知点，
则，， ------9分
因为，则，-------11分 -------10分
因为，所以，即直线的方程为 -------12分
根据题意可知，则，又由可得，------13分
由知，同理得， ------14分
又由题意知直线的斜率一定存在，
则设直线的方程为，且是方程的两个根，------15分
即是的两个根，所以，------16分
则设直线的方程为，
所以，直线过定点 -------17分
19.【答案】解：因为函数是偶函数，所以，------1分
即， ------2分
解得：． ------4分
当时，，，------5分
令，则，------6分
当时，，则在上无零点；------6分
当时，，单调递增，
又，，所以存在，使得，-----7分
当时，，单调递减，当时，，单调递增，------8分
又，，，所以在上存在一个零点．-----9分
综上，在上有两个零点．------10分
当时，------11分
当，时，若，则成立------12分
只要考虑，又，
此时，单调递增，
，，
所以存在，使得，------13分
若，则，单调递减
若，则，单调递增．------14分
所以，解得．------15分
此时，所以，从而．------16分
综上，， --------17分
