2024-2025学年浙教版（2024）七年级数学下册期末真题专项练习 04 解答题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年浙教版（2024）七年级数学下册期末真题专项练习 04 解答题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-24 18:14:07 | ||
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文档简介
2024-2025学年浙教版（2024）七年级数学下册期末真题
专项练习 04 解答题
一、解答题
1．（2024七下·西湖期末）如图1，将长方形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为点，，折叠后与交于点．
（1）若，直接写出的度数．
（2）如图2，设．
①若，求的度数．
②若，求的值．
2．（2024七下·义乌期末）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值
进阶实践：（2）若实数x满足，求的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积．
3．（2024七下·江北期末）已知： 如图点 在 的一边 上， 过点 的直线 ， CD 平分 .
（1） 若 ， 求 的度数；
（2） 求证： 平分 ；
4．（2024七下·诸暨期末）如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形．
（1）观察图形，代数式可因式分解为 ；
（2）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
用含，的代数式表示，；
若，求的值．
5．（2024七下·鄞州期末） 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
6．（2024七下·海曙期末）某校七、八年级师生开展 “一日游” 活动， 已知七年级师生共 250 人， 八年级师生共 230 人. 参观某景点时，需要乘船游玩，现有 两种型号的游船，每艘 型船的座位数是每艘 型船的 1.25 倍. 若七年级师生全部乘坐 型船若干艘，刚好坐满； 八年级全部乘坐 型船，要比七年级乘坐的 型船总数多一艘且空 10 个座位.
（1） 两种游船每艘分别有多少个座位；
（2） 若两个年级的师生联合租船， 且每艘游船恰好全部坐满， 请写出所有的租船方案.
7．（2024七下·海曙期末）如图，在三角形 中，点 在边 上，点 分别在边 上，且 .
（1） 试说明： ；
（2） 若 ，求 的度数.
8．（2024七下·海曙期末）2024 年 4 月 25 日中国成功发射神舟十八号载人飞船. 为了弘扬航天精神， 某中学开展了主题为 “理想高于天， 青春梦启航” 的航天知识竞答活动， 学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理，分成五组： 组 60 分以下； 组 60 分； 组 70 分； 组 分； 组 分. 每个组都含最小值不含最大值，例如 组包括 60 分，但不包括 70 分，并绘制了如图所示的频数分布直方图、扇形统计图.
根据以上信息， 解答下列问题：
（1） 本次随机抽查 ▲ 名同学， 并补全频数分布直方图.
（2） 扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角度数为 .
（3） 该校要对成绩为 组 90 分的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，且一、二等奖的人数比例为 3： 7， 请你估计该校 1500 名学生中获一等奖的学生人数有多少人
9．（2024七下·余姚期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若∠EFA-∠EBA=44°，∠D=2∠AEF，求∠D的度数.
10．（2024七下·金华期末）某校为了解学生一分钟跳绳个数情况，随机抽取了60名学生进行调查，获得每位学生一分钟跳绳个数（单位：个），下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息．
信息1．一分钟跳绳个数的频数分布直方图如图，数据分成4组：，，，；
信息2．一分钟跳绳个数在这一组的有：182，189，182，180，186，185，183，184，188，185，183，185，186，183，186，184，188，180．根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出频数分布直方图中m的值；
（2）求这60个数据的组距及跳绳成绩为“186个”的频率；
（3）该校规定跳绳一分钟180个及以上为良好，若该校有1200名学生，请估计该校学生跳绳达到良好的人数．
11．（2024七下·东阳期末）某校为创建书香校园，倡书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次．为了解活动开展情况，学校组织对全校八年级“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分（分值为整数）情况进行分析．
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分（单位：分）：32，43，34，35，15，46，48，24，54，10，25，40，60，42，55，30，47，28，37，42
【整理数据】
积分/分
星级 红 橙 黄 绿 青
频数（人数） 2 3 5
（1）填空：______，______；
（2）根据表格制成如图所示不完整的频数分布直方图，请将其补全．
（3）估计全校1500学生中获得绿星级以上（包括绿星级）的人数共有多少人？
12．（2024七下·越城期末） 某校暑期组织部分学生进行 “明仕遗风” 绍兴站研学游活动。为了提高学生参与活动的积极性， 学校决定在某文创店购买名人徽章和地标冰箱贴作为奖励。已知徽章的单价是冰箱贴的 2 倍， 用 120 元购买冰箱贴的数量比用 160 元购买徽章的数量多8件。
（1）求冰箱贴和徽章的单价.
（2）若购买经费为400元且购买徽章和冰箱贴的数量之比为，求购买徽章和冰箱贴的数量.
13．（2024七下·越城期末） 为了解某校七年级学生体质健康测试项目中的 “仰卧起坐” 情况， 随机抽取该年级部分学生进行了一次 “仰卧起坐” 测试，并根据标准把测试成绩分成 四个等级， 绘制出不完整的统计图：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取参加测试的学生共 人，扇形统计图中 等级占的百分比是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知七年级共有学生 800 人，若规定 “仰卧起坐” 测试成绩为 等级属于不合格， 请估计七年级 “仰卧起坐” 测试成绩不合格的人数.
14．（2024七下·玉环期末）已知关于x，y的方程组
（1）请用含的式子表示该方程组的解；
（2）①当取不同值时，，的值也随之变化，取部分数值列表如下：
则表格中的__________，__________；
②不管如何变化，，之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出这个关系式并证明；
（3）根据上述思路，解答下列问题：
①若关于，的方程组中，求的最大值；
②直接写出关于，的方程组与的公共解为__________．
15．（2024七下·定海期末）如图，直线被所截取，直线分别交直线于点与点，已知．
（1）判断直线与是否平行，并说明理由．
（2）计算的度数．
16．（2024七下·钱塘期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
17．（2024七下·钱塘期末）为丰富七年级学生的课间体育活动，某学校准备安排四种球类项目：A．篮球，B．足球，C．排球，D．乒乓球供七年级学生选择（要求每位学生必须选择其中一种球类项目）．为了解学生对球类项目的选择情况，该校对七年级的部分学生进行了抽样调查，并根据调查结果制作不完整的统计表图如下：
“学生球类项目选择”情况统计表
球类项目 频数 频率
A．篮球 m 0.40
B．足球 70 0.35
C．排球 40 n
D．乒乓球 10 0.05
“学生球类项目选择”情况条形统计图
（1）求m，n的值，并根据以上信息补全条形统计图．
（2）请根据抽样调查的结果，估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数．
18．（2024七下·长兴期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
（1）当，时，求阴影部分的面积；
（2）用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
19．（2024七下·吴兴期末）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求报名篮球的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求、的值；
（3）若该校有名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
20．（2024七下·海曙期末）如图，已知，
（1）判断是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
21．（2024七下·西湖期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
（3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
22．（2024七下·嵊州期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
（1）问苹果、橙子各购买了多少箱？
（2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
23．（2024七下·嵊州期末）某中学一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
频数 50 110 35 5
频率 0.25 m 0.175 0.025
（1）本次问卷调查取样的样本容量为______，表中m的值为______
（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．
（3）若该校有学生1000人，根据调查结果，估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数．
24．（2024七下·温州期末）分解因式：
（1）
（2）
25．（2024七下·德清期末）已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部．
（1）如下图，若，，求的度数；
（2）如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若．
①求与的数量关系；
②求的值．
26．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
27．（2024七下·拱墅期末）观察下列等式，可以发现一些规律．
①．左边两项系数之和为2，两项系数之和为3，右边三项系数之和为6，满足算式；
②．左边两个因式各项系数之和分别为3，4，右边各项系数之和为12，满足算式．
（1）任写一个较简单的多项式，把你写的多项式与多项式相乘并计算．类比①或②，写出结论．
（2）若m，n为常数，且，求m，n的值．
（3）根据上面的规律，求的展开式中各项系数的和．
28．（2024七下·平湖期末）已知关于的方程组，其中，为整数．
（1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
（2）当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
29．（2024七下·平湖期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
（1）若，则______；
（2）若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：；
（3）在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值．
30．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
答案解析部分
1．（1）
（2）解：①∵长方形纸片沿直线折叠，∴
∵，
∵CN∥DM
即70°+70°+∠AMD=180°
∴∠AMD=40°
②由①知：
∵，
在三角形MNE中
∴
解：（1）∵长方形纸片沿直线折叠，
∴AD∥BC，∠MEN=∠ CNE=90°，
∴；
故答案为：45°.
（1）根据垂直的定义，平行线的性质，得到，再根据折痕是角平分线，求出的度数即可；
（2）①折叠的性质，得到，平行得到=，，再根据角的和差关系进行求解即可；
②根据问题①中得到和三角形的内角和定理求解即可．
（1）解：∵长方形纸片沿直线折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②由①知：，
∵，且，
∴，
∴．
2．（1）解：∵， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形是边长为b，
∵正方形与正方形的面积之和为65，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴长方形的面积为28．
（1）根据完全平方公式可得，将 代入，即可求解；
（2）设，则，根据题意可得ab=48，根据完全平方公式进行计算，即可求解；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据“正方形与正方形的面积之和为65”可得，结合题意可得，根据完全平方公式进行计算，即可求解.
3．（1）解：∵
∴∠O=∠BCM=50°
∴∠ACM=180°-∠BCM=130°
∵ CD 平分 ∠ACM
∴
∴∠BCD=∠BCM＋∠DCM=50°＋65°=115°
（2）证明：∵
∴∠ACE＋∠ACD=90°
由（1）可知：
∴
∵
∴∠BCM=∠O=∠ACO
∴∠ACE=∠ACO
∴ 平分 .
4．（1）（2x+y)(x+y)
（2）解：观察图形，得：，；
，
∴3xy-2x2-y2=2x2-xy，
整理，得：4x2-4xy+y2=0
即(2x-y)2=0，
∴2x-y=0，
，
．
（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为x的正方形，1块是边长为y的正方形，3块是长为y，宽为x的长方形，
∴长方形纸片的面积为：2x2+3xy+y2，
∵长方形纸片的长为：，宽为，
∴长方形纸片的面积为：（2x+y)(x+y)，
∴2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，
∴代数式2x2+3xy+y2因式分解为（2x+y)(x+y)；
故答案为：（2x+y)(x+y).
（1）用两种方式计算长方形纸片的面积，即可得到2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，即可求解；
（2）①根据图形的特征，直接计算即可；②根据，可得4x2-4xy+y2=0，从而得到y=2x，再代入所求的代数式，即可求解．
5．解：设原队列有m人，
增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列.
根据题意得：
1- ②：
，解得，∴m1=1035；
，解得，∴m2=270；
，解得，∴m3=90；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人。
设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可；
6．（1）解：设 B型船每艘有 x 个座位，则 A 型船每艘有 1.25x 个座位，根据题意，得
解得， x=40
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意。
答： 型船每艘有 50 个座位， 型船每艘有 40 个座位
（2）解：设需租用 型船 m 艘，租用 型船 n 艘
由题意得，
r∴
又 ∵m、n 均为非负整数，
共 3 种租船方案： ①租用 12 艘 B 型船； ②租用 4 艘 A 型船，7 艘 B 型船； ③
租用 8 艘 A 型船， 2 艘 B 型船.
（1）设B型船每艘有x个座位，用x表示A型船的座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可；
（2）设租用A型船m艘，B型船n艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解即可。．
7．（1）证明：∵BC∥DG，
∴∠DCB=∠1，
，
，
∴DC∥EF。
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵DC∥EF，
∴ .
，
∴ .
（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠1，根据同位角相等可得DC∥EF，据此证明；
（2）根据垂直定义可得∠FEB=90°，根据平行线的性质可得∠CDB=90°，再根据平角的定义，利用角的和差即可求出结果．
8．（1）解：50 名同学.
（2）
（3）解：∴ 一、二等奖的人数比例为 3： 7 ，
∴ 获一等奖的学生占获奖人数的，
(人)
答： 该校 1500 名学生中获一等奖的学生人数有 72 人
解：（1）观察统计图可得，D组人数为15人，所占的百分比为30%，
∴总人数为：（人），
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：50；
（2）观察统计图可得，A组的人数是5人，∴A 组所在扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；
（1）基本关系：总数=部分÷部分所占的百分比，利用D组的人数除以其所占的百分比求得随机抽查的总人数，再补全频数分布直方图即可；
（2）基本关系：扇形的圆心角的度数=360°×部分所占的百分比，利用A组的人数除以随机抽查的总人数求得其所占的百分比，再乘以360°即可求解；
（3）利用总人数乘以一等奖人数所占百分比，再乘以E组的人数在样本中所占百分比即可求解．
9．（1）证明：∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，
（1）先根据得到 ∠1+∠CBE=180 ° ，结合 ∠1+∠2=180 ° ，证明∠2=∠CBE，从而得到；
（2）先证明∠D=2∠AEF，进而证明∠D=2∠2，即可求出∠D的度数．
10．（1）解：根据频数分布直方图可得．
（2）解：由题意可知：组距为170-160=10，
跳绳成绩为“186个”的频率．
（3）解：
答：该校学生跳绳达到良好的估计有640人．
（1）利用频数之和等于总数，求出m的值；
（2）先利用图中分组确定组距，再用频数除以总数求出频率；
（3）用1200乘以良好所占的比例.
11．（1）7，3
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有．
答：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有750人．
（1）解：由样本数据得：的有7人，的有3人，
∴，
故答案为：7，3；
（1）整理样本中的数据得到m和n的值即可；
（2）根据（1）中所得的数据补全统计图即可；
（3）利用中绿星级以上的人数的占比×1500解答即可．
12．（1）解：设冰箱贴的单价为元/件，则徽章的单价为元/件。
由题意得：
解这个方程得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意
徽章的单价：(元)
答：冰箱贴的单价为5元/件， 徽章的单价为10元/件.
（2）解：设购买徽章的数量为个，购买冰箱贴的数量为个。
由题意得：
解得：
答：购买徽章的数量为30个，购买冰箱贴的数量为20个。
13．（1）50；
（2）解： 等级的人数为 (人)
补全条形统计图如下：
（3）解：测试成绩不合格的人数为：
答：七年级“仰卧起坐”测试成绩不合格的人数为80人。
14．（1）
（2）①2，2；②存在，；
（3）①的最大值为；②
15．（1）解：平行．理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
（1）先利用对顶角相等得到，即可得到，然后根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出的度数解题．
（1）解：平行．
理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
16．（1）解：，
，
，
．
当时，原式
（2）解：，
，
，
．
，
，即，
原式
（3）解：，
，
，
，
，，
∴ (a+b)2=(a+b)2-4ab=9-8=1，
或，
当，时，原式，
当，时，原式，
∴的值为3或-3
（1）先根据新定义运算，再整体代入a+b的值，即可求得；
（2）先根据新定义运算，再将整体代入求值即可；
（3）先根据新定义运算，再利用完全平方公式求出的值，最后代入求值即可．
（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
17．（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名
（1）用的频数除以频率求出总人数，再用总人数减去B、C和D的人数求出的人数，即可补全条形统计图；
（2）用总人数乘以样本中的人数所占比例即可求得．
（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名．
18．（1）
（2）
（3）
19．（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
（1）由书法项目人数及其所占百分比可求得总人数，再根据各项目人数之和等于总人数求出篮球人数，从而可补全条形统计图；
（2）分别用篮球、素描人数除以总人数可求得、的值；
（3）总人数乘以样本中素描项目人数所占比例即可求解．
（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），
（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
20．（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
，
，
，
（1）由两直线平行，同位角相等得到，即可得到，然后根据内错角相等，两直线平行解题即可；
（2）根据平行线的性质得到，，即可求出∠DEF的度数解题．
21．（1）解：
（2）解：∴
∴；
经检验，是原方程的解，
∴
（3）存在；
当时，即：，
去分母得
移项合并同类项得
即x(x-1)=0
检验：
当是原方程的根。
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故
（1）根据新运算的计算法则，列式计算即可；
（2）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。
（3）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。增根的舍去.
（1）解：；
（2），
∴，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴．
（3）存在；
，
当时，即：，
当时，满足题意，
当时，则：，则：，
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故．
22．（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可解答．
（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
23．（1）200；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
（1）根据“非常了解”的频数与频率，即可求得本次问卷调查取样的样本容量；由频率之和为1即可求得m的值；
（2）由频率与的积即可求得扇形圆心角，进而可补充完整扇形统计图；
（3）样本数据估计总体，用全校人数乘以“比较了解”的频率即可解答．
（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；
补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；
答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
24．解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=．
（1）此题多项式各项具有公因式“2”，故先提公因式“2”，再由完全平方公式将商式继续进行因式分解，即可得到答案；
（2）把“x-y”看成一个整体，先从第二项括号内提取出负号放到这一项的前面，然后提公因式“x-y”，再由平方差公式将商式进行分解因式，即可得到答案．
25．（1）
（2）①，
26．（1）是，
（2）1
（3）①②或
27．（1）解：多项式是，
，左边两个因式系数之和分别为2，0，右边各项系数之和为0，满足算式
（2）解： ，
∴ m=2，n=2m-1=3
（3）解：23×11×8=2024
（1）计算左边两个多项式中每个多项式各项系数之和，再求出“系数和”的乘积，即可求得规律；
（2）根据多项式乘多项式展开后，相同的项的系数相同可得m=2，n=2m-1，即可求得；
（3）根据规律直接计算左边三个因式“系数和”的乘积即可．
（1）写的多项式是，；
左边两个因式系数之和分别为2，0，右边各项系数之和为0，满足算式；
（2），为常数，且，
，，
解得，，
（3）由（1）（2）的规律可知，
的展开式中各项系数的和为
．
28．（1）解：依题意，由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，；
（2）解：没有，
理由如下：由（1）得，
∵，
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则，
∵为整数，
∴原方程没有整数解；
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解.
（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，再令的系数为零，即可求得a和b的值；
（2）将b=a-1代入可得，再分类讨论和的情况，再结合整数解分析即可求得．
（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
29．（1）
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
由题意得，
当时，如图，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
综上所述，或．
解：（1）∵，，
∴，解得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，再根据邻补角的意义求出，然后两直线平行，内错角相等求出∠C；
（2）设，先用x表示出，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的意义求出，，从而可得，再根据内错角相等，两直线平行判定；
（3）分“”、“”两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列出关于t的方程求解．
（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
由题意得，
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，或．
30．（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
专项练习 04 解答题
一、解答题
1．（2024七下·西湖期末）如图1，将长方形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为点，，折叠后与交于点．
（1）若，直接写出的度数．
（2）如图2，设．
①若，求的度数．
②若，求的值．
2．（2024七下·义乌期末）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值
进阶实践：（2）若实数x满足，求的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积．
3．（2024七下·江北期末）已知： 如图点 在 的一边 上， 过点 的直线 ， CD 平分 .
（1） 若 ， 求 的度数；
（2） 求证： 平分 ；
4．（2024七下·诸暨期末）如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形．
（1）观察图形，代数式可因式分解为 ；
（2）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
用含，的代数式表示，；
若，求的值．
5．（2024七下·鄞州期末） 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
6．（2024七下·海曙期末）某校七、八年级师生开展 “一日游” 活动， 已知七年级师生共 250 人， 八年级师生共 230 人. 参观某景点时，需要乘船游玩，现有 两种型号的游船，每艘 型船的座位数是每艘 型船的 1.25 倍. 若七年级师生全部乘坐 型船若干艘，刚好坐满； 八年级全部乘坐 型船，要比七年级乘坐的 型船总数多一艘且空 10 个座位.
（1） 两种游船每艘分别有多少个座位；
（2） 若两个年级的师生联合租船， 且每艘游船恰好全部坐满， 请写出所有的租船方案.
7．（2024七下·海曙期末）如图，在三角形 中，点 在边 上，点 分别在边 上，且 .
（1） 试说明： ；
（2） 若 ，求 的度数.
8．（2024七下·海曙期末）2024 年 4 月 25 日中国成功发射神舟十八号载人飞船. 为了弘扬航天精神， 某中学开展了主题为 “理想高于天， 青春梦启航” 的航天知识竞答活动， 学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理，分成五组： 组 60 分以下； 组 60 分； 组 70 分； 组 分； 组 分. 每个组都含最小值不含最大值，例如 组包括 60 分，但不包括 70 分，并绘制了如图所示的频数分布直方图、扇形统计图.
根据以上信息， 解答下列问题：
（1） 本次随机抽查 ▲ 名同学， 并补全频数分布直方图.
（2） 扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角度数为 .
（3） 该校要对成绩为 组 90 分的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，且一、二等奖的人数比例为 3： 7， 请你估计该校 1500 名学生中获一等奖的学生人数有多少人
9．（2024七下·余姚期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若∠EFA-∠EBA=44°，∠D=2∠AEF，求∠D的度数.
10．（2024七下·金华期末）某校为了解学生一分钟跳绳个数情况，随机抽取了60名学生进行调查，获得每位学生一分钟跳绳个数（单位：个），下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息．
信息1．一分钟跳绳个数的频数分布直方图如图，数据分成4组：，，，；
信息2．一分钟跳绳个数在这一组的有：182，189，182，180，186，185，183，184，188，185，183，185，186，183，186，184，188，180．根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出频数分布直方图中m的值；
（2）求这60个数据的组距及跳绳成绩为“186个”的频率；
（3）该校规定跳绳一分钟180个及以上为良好，若该校有1200名学生，请估计该校学生跳绳达到良好的人数．
11．（2024七下·东阳期末）某校为创建书香校园，倡书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次．为了解活动开展情况，学校组织对全校八年级“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分（分值为整数）情况进行分析．
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分（单位：分）：32，43，34，35，15，46，48，24，54，10，25，40，60，42，55，30，47，28，37，42
【整理数据】
积分/分
星级 红 橙 黄 绿 青
频数（人数） 2 3 5
（1）填空：______，______；
（2）根据表格制成如图所示不完整的频数分布直方图，请将其补全．
（3）估计全校1500学生中获得绿星级以上（包括绿星级）的人数共有多少人？
12．（2024七下·越城期末） 某校暑期组织部分学生进行 “明仕遗风” 绍兴站研学游活动。为了提高学生参与活动的积极性， 学校决定在某文创店购买名人徽章和地标冰箱贴作为奖励。已知徽章的单价是冰箱贴的 2 倍， 用 120 元购买冰箱贴的数量比用 160 元购买徽章的数量多8件。
（1）求冰箱贴和徽章的单价.
（2）若购买经费为400元且购买徽章和冰箱贴的数量之比为，求购买徽章和冰箱贴的数量.
13．（2024七下·越城期末） 为了解某校七年级学生体质健康测试项目中的 “仰卧起坐” 情况， 随机抽取该年级部分学生进行了一次 “仰卧起坐” 测试，并根据标准把测试成绩分成 四个等级， 绘制出不完整的统计图：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取参加测试的学生共 人，扇形统计图中 等级占的百分比是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知七年级共有学生 800 人，若规定 “仰卧起坐” 测试成绩为 等级属于不合格， 请估计七年级 “仰卧起坐” 测试成绩不合格的人数.
14．（2024七下·玉环期末）已知关于x，y的方程组
（1）请用含的式子表示该方程组的解；
（2）①当取不同值时，，的值也随之变化，取部分数值列表如下：
则表格中的__________，__________；
②不管如何变化，，之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出这个关系式并证明；
（3）根据上述思路，解答下列问题：
①若关于，的方程组中，求的最大值；
②直接写出关于，的方程组与的公共解为__________．
15．（2024七下·定海期末）如图，直线被所截取，直线分别交直线于点与点，已知．
（1）判断直线与是否平行，并说明理由．
（2）计算的度数．
16．（2024七下·钱塘期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
17．（2024七下·钱塘期末）为丰富七年级学生的课间体育活动，某学校准备安排四种球类项目：A．篮球，B．足球，C．排球，D．乒乓球供七年级学生选择（要求每位学生必须选择其中一种球类项目）．为了解学生对球类项目的选择情况，该校对七年级的部分学生进行了抽样调查，并根据调查结果制作不完整的统计表图如下：
“学生球类项目选择”情况统计表
球类项目 频数 频率
A．篮球 m 0.40
B．足球 70 0.35
C．排球 40 n
D．乒乓球 10 0.05
“学生球类项目选择”情况条形统计图
（1）求m，n的值，并根据以上信息补全条形统计图．
（2）请根据抽样调查的结果，估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数．
18．（2024七下·长兴期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
（1）当，时，求阴影部分的面积；
（2）用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
19．（2024七下·吴兴期末）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求报名篮球的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求、的值；
（3）若该校有名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
20．（2024七下·海曙期末）如图，已知，
（1）判断是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
21．（2024七下·西湖期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
（3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
22．（2024七下·嵊州期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
（1）问苹果、橙子各购买了多少箱？
（2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
23．（2024七下·嵊州期末）某中学一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
频数 50 110 35 5
频率 0.25 m 0.175 0.025
（1）本次问卷调查取样的样本容量为______，表中m的值为______
（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．
（3）若该校有学生1000人，根据调查结果，估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数．
24．（2024七下·温州期末）分解因式：
（1）
（2）
25．（2024七下·德清期末）已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部．
（1）如下图，若，，求的度数；
（2）如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若．
①求与的数量关系；
②求的值．
26．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
27．（2024七下·拱墅期末）观察下列等式，可以发现一些规律．
①．左边两项系数之和为2，两项系数之和为3，右边三项系数之和为6，满足算式；
②．左边两个因式各项系数之和分别为3，4，右边各项系数之和为12，满足算式．
（1）任写一个较简单的多项式，把你写的多项式与多项式相乘并计算．类比①或②，写出结论．
（2）若m，n为常数，且，求m，n的值．
（3）根据上面的规律，求的展开式中各项系数的和．
28．（2024七下·平湖期末）已知关于的方程组，其中，为整数．
（1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
（2）当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
29．（2024七下·平湖期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
（1）若，则______；
（2）若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：；
（3）在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值．
30．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
答案解析部分
1．（1）
（2）解：①∵长方形纸片沿直线折叠，∴
∵，
∵CN∥DM
即70°+70°+∠AMD=180°
∴∠AMD=40°
②由①知：
∵，
在三角形MNE中
∴
解：（1）∵长方形纸片沿直线折叠，
∴AD∥BC，∠MEN=∠ CNE=90°，
∴；
故答案为：45°.
（1）根据垂直的定义，平行线的性质，得到，再根据折痕是角平分线，求出的度数即可；
（2）①折叠的性质，得到，平行得到=，，再根据角的和差关系进行求解即可；
②根据问题①中得到和三角形的内角和定理求解即可．
（1）解：∵长方形纸片沿直线折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②由①知：，
∵，且，
∴，
∴．
2．（1）解：∵， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形是边长为b，
∵正方形与正方形的面积之和为65，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴长方形的面积为28．
（1）根据完全平方公式可得，将 代入，即可求解；
（2）设，则，根据题意可得ab=48，根据完全平方公式进行计算，即可求解；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据“正方形与正方形的面积之和为65”可得，结合题意可得，根据完全平方公式进行计算，即可求解.
3．（1）解：∵
∴∠O=∠BCM=50°
∴∠ACM=180°-∠BCM=130°
∵ CD 平分 ∠ACM
∴
∴∠BCD=∠BCM＋∠DCM=50°＋65°=115°
（2）证明：∵
∴∠ACE＋∠ACD=90°
由（1）可知：
∴
∵
∴∠BCM=∠O=∠ACO
∴∠ACE=∠ACO
∴ 平分 .
4．（1）（2x+y)(x+y)
（2）解：观察图形，得：，；
，
∴3xy-2x2-y2=2x2-xy，
整理，得：4x2-4xy+y2=0
即(2x-y)2=0，
∴2x-y=0，
，
．
（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为x的正方形，1块是边长为y的正方形，3块是长为y，宽为x的长方形，
∴长方形纸片的面积为：2x2+3xy+y2，
∵长方形纸片的长为：，宽为，
∴长方形纸片的面积为：（2x+y)(x+y)，
∴2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，
∴代数式2x2+3xy+y2因式分解为（2x+y)(x+y)；
故答案为：（2x+y)(x+y).
（1）用两种方式计算长方形纸片的面积，即可得到2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，即可求解；
（2）①根据图形的特征，直接计算即可；②根据，可得4x2-4xy+y2=0，从而得到y=2x，再代入所求的代数式，即可求解．
5．解：设原队列有m人，
增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列.
根据题意得：
1- ②：
，解得，∴m1=1035；
，解得，∴m2=270；
，解得，∴m3=90；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人。
设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可；
6．（1）解：设 B型船每艘有 x 个座位，则 A 型船每艘有 1.25x 个座位，根据题意，得
解得， x=40
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意。
答： 型船每艘有 50 个座位， 型船每艘有 40 个座位
（2）解：设需租用 型船 m 艘，租用 型船 n 艘
由题意得，
r∴
又 ∵m、n 均为非负整数，
共 3 种租船方案： ①租用 12 艘 B 型船； ②租用 4 艘 A 型船，7 艘 B 型船； ③
租用 8 艘 A 型船， 2 艘 B 型船.
（1）设B型船每艘有x个座位，用x表示A型船的座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可；
（2）设租用A型船m艘，B型船n艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解即可。．
7．（1）证明：∵BC∥DG，
∴∠DCB=∠1，
，
，
∴DC∥EF。
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵DC∥EF，
∴ .
，
∴ .
（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠1，根据同位角相等可得DC∥EF，据此证明；
（2）根据垂直定义可得∠FEB=90°，根据平行线的性质可得∠CDB=90°，再根据平角的定义，利用角的和差即可求出结果．
8．（1）解：50 名同学.
（2）
（3）解：∴ 一、二等奖的人数比例为 3： 7 ，
∴ 获一等奖的学生占获奖人数的，
(人)
答： 该校 1500 名学生中获一等奖的学生人数有 72 人
解：（1）观察统计图可得，D组人数为15人，所占的百分比为30%，
∴总人数为：（人），
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：50；
（2）观察统计图可得，A组的人数是5人，∴A 组所在扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；
（1）基本关系：总数=部分÷部分所占的百分比，利用D组的人数除以其所占的百分比求得随机抽查的总人数，再补全频数分布直方图即可；
（2）基本关系：扇形的圆心角的度数=360°×部分所占的百分比，利用A组的人数除以随机抽查的总人数求得其所占的百分比，再乘以360°即可求解；
（3）利用总人数乘以一等奖人数所占百分比，再乘以E组的人数在样本中所占百分比即可求解．
9．（1）证明：∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，
（1）先根据得到 ∠1+∠CBE=180 ° ，结合 ∠1+∠2=180 ° ，证明∠2=∠CBE，从而得到；
（2）先证明∠D=2∠AEF，进而证明∠D=2∠2，即可求出∠D的度数．
10．（1）解：根据频数分布直方图可得．
（2）解：由题意可知：组距为170-160=10，
跳绳成绩为“186个”的频率．
（3）解：
答：该校学生跳绳达到良好的估计有640人．
（1）利用频数之和等于总数，求出m的值；
（2）先利用图中分组确定组距，再用频数除以总数求出频率；
（3）用1200乘以良好所占的比例.
11．（1）7，3
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有．
答：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有750人．
（1）解：由样本数据得：的有7人，的有3人，
∴，
故答案为：7，3；
（1）整理样本中的数据得到m和n的值即可；
（2）根据（1）中所得的数据补全统计图即可；
（3）利用中绿星级以上的人数的占比×1500解答即可．
12．（1）解：设冰箱贴的单价为元/件，则徽章的单价为元/件。
由题意得：
解这个方程得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意
徽章的单价：(元)
答：冰箱贴的单价为5元/件， 徽章的单价为10元/件.
（2）解：设购买徽章的数量为个，购买冰箱贴的数量为个。
由题意得：
解得：
答：购买徽章的数量为30个，购买冰箱贴的数量为20个。
13．（1）50；
（2）解： 等级的人数为 (人)
补全条形统计图如下：
（3）解：测试成绩不合格的人数为：
答：七年级“仰卧起坐”测试成绩不合格的人数为80人。
14．（1）
（2）①2，2；②存在，；
（3）①的最大值为；②
15．（1）解：平行．理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
（1）先利用对顶角相等得到，即可得到，然后根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出的度数解题．
（1）解：平行．
理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
16．（1）解：，
，
，
．
当时，原式
（2）解：，
，
，
．
，
，即，
原式
（3）解：，
，
，
，
，，
∴ (a+b)2=(a+b)2-4ab=9-8=1，
或，
当，时，原式，
当，时，原式，
∴的值为3或-3
（1）先根据新定义运算，再整体代入a+b的值，即可求得；
（2）先根据新定义运算，再将整体代入求值即可；
（3）先根据新定义运算，再利用完全平方公式求出的值，最后代入求值即可．
（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
17．（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名
（1）用的频数除以频率求出总人数，再用总人数减去B、C和D的人数求出的人数，即可补全条形统计图；
（2）用总人数乘以样本中的人数所占比例即可求得．
（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名．
18．（1）
（2）
（3）
19．（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
（1）由书法项目人数及其所占百分比可求得总人数，再根据各项目人数之和等于总人数求出篮球人数，从而可补全条形统计图；
（2）分别用篮球、素描人数除以总人数可求得、的值；
（3）总人数乘以样本中素描项目人数所占比例即可求解．
（1）解：（人），
，
所以报名篮球的学生有人
补全图形如下：
（2）篮球项目人数所占百分比，即
素描项目人数所占百分比，即；
（3），
（人）.
估计该校参加“素描”活动的学生有人.
20．（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
，
，
，
（1）由两直线平行，同位角相等得到，即可得到，然后根据内错角相等，两直线平行解题即可；
（2）根据平行线的性质得到，，即可求出∠DEF的度数解题．
21．（1）解：
（2）解：∴
∴；
经检验，是原方程的解，
∴
（3）存在；
当时，即：，
去分母得
移项合并同类项得
即x(x-1)=0
检验：
当是原方程的根。
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故
（1）根据新运算的计算法则，列式计算即可；
（2）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。
（3）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。增根的舍去.
（1）解：；
（2），
∴，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴．
（3）存在；
，
当时，即：，
当时，满足题意，
当时，则：，则：，
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故．
22．（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可解答．
（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
23．（1）200；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
（1）根据“非常了解”的频数与频率，即可求得本次问卷调查取样的样本容量；由频率之和为1即可求得m的值；
（2）由频率与的积即可求得扇形圆心角，进而可补充完整扇形统计图；
（3）样本数据估计总体，用全校人数乘以“比较了解”的频率即可解答．
（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；
补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；
答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
24．解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=．
（1）此题多项式各项具有公因式“2”，故先提公因式“2”，再由完全平方公式将商式继续进行因式分解，即可得到答案；
（2）把“x-y”看成一个整体，先从第二项括号内提取出负号放到这一项的前面，然后提公因式“x-y”，再由平方差公式将商式进行分解因式，即可得到答案．
25．（1）
（2）①，
26．（1）是，
（2）1
（3）①②或
27．（1）解：多项式是，
，左边两个因式系数之和分别为2，0，右边各项系数之和为0，满足算式
（2）解： ，
∴ m=2，n=2m-1=3
（3）解：23×11×8=2024
（1）计算左边两个多项式中每个多项式各项系数之和，再求出“系数和”的乘积，即可求得规律；
（2）根据多项式乘多项式展开后，相同的项的系数相同可得m=2，n=2m-1，即可求得；
（3）根据规律直接计算左边三个因式“系数和”的乘积即可．
（1）写的多项式是，；
左边两个因式系数之和分别为2，0，右边各项系数之和为0，满足算式；
（2），为常数，且，
，，
解得，，
（3）由（1）（2）的规律可知，
的展开式中各项系数的和为
．
28．（1）解：依题意，由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，；
（2）解：没有，
理由如下：由（1）得，
∵，
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则，
∵为整数，
∴原方程没有整数解；
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解.
（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，再令的系数为零，即可求得a和b的值；
（2）将b=a-1代入可得，再分类讨论和的情况，再结合整数解分析即可求得．
（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
29．（1）
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
由题意得，
当时，如图，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
综上所述，或．
解：（1）∵，，
∴，解得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，再根据邻补角的意义求出，然后两直线平行，内错角相等求出∠C；
（2）设，先用x表示出，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的意义求出，，从而可得，再根据内错角相等，两直线平行判定；
（3）分“”、“”两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列出关于t的方程求解．
（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
由题意得，
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，或．
30．（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
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