第1课时 数列的概念与简单表示法
[考试要求] 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的定义
一般地，把按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数______
无穷数列 项数______
项与项间 的大小关 系 递增数列 an＋1____an 其中n∈N*
递减数列 an＋1____an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3．数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是________、________和______________．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项____与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用__________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
6．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝________________叫做数列{an}的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
提醒：若a1代入n≥2时an的表达式中也成立，则不需要分段．
[常用结论]
在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，2，3与数列3，2，1是相同数列． ( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列． ( )
(3)任何一个数列都有唯一的通项公式． ( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，，－，－，…的一个通项公式为( )
A．an＝± B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n+1· D．an＝
2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝( )
A．2 B．
C． D．
3．(多选)(人教A版选择性必修第二册P8练习T1(1)改编)根据下面的图形的规律及相对应的点数，判断下列说法正确的是( )
A．第五个图形对应的点数为20
B．第五个图形对应的点数为21
C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4
D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3
4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
[典例1] (1)(2025·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝( )
A．4 B．4
C．3 D．4(3n－1)
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1．
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝
2．Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差、等比数列，或用累加、累乘等方法求解．
[跟进训练]
1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是( )
A．an＝ B．an＝
C．Sn＝－ D．数列是等差数列
(2)若数列{an}是正项数列，且＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________．
考点二 由数列的递推关系求通项公式
[典例2] (1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(4)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[跟进训练]
2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(2)已知数列满足a1＝an＋1＝an，n∈N*，则数列的通项公式为an＝________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
考点三 数列的函数特性
数列的周期性
[典例3] (2024·山东济宁三模)已知数列中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1，则a2 025＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
数列的单调性
[典例4] 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
数列的最值
[典例5] 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·，则数列{an}的最大项为( )
A．a8或a9 B．a9或a10
C．a10或a11 D．a11或a12
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性求解．
(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值．
[跟进训练]
3．(1)(2025·辽宁锦州模拟)数列{an}的通项公式为an＝，该数列的前50项中最大项是( )
A．a1 B．a44
C．a45 D．a50
(2)(2025·福建厦门模拟)数列满足an＋1＝，a3＝3，则a2 025＝________．
第1课时 数列的概念与简单表示法
梳理·必备知识
1．确定的顺序
2．有限 无限 ＞ ＜
3．列表法 图象法 函数解析式法
4．an
5．一个式子
6．(1)a1＋a2＋…＋an (2)S1 Sn－Sn－1
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)√
二、1．B [由a1＝－1，代入检验可知选B．]
2．D [由题意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2；
令n＝2，可得a3＝1＋；
令n＝3，可得a4＝1＋；
令n＝4，可得a5＝1＋．
故选D．]
3．BC [设第n项的点数为an(n∈N*)．因为a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，所以该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公式为an＝1＋5(n－1)＝5n－4，且第5项的图形如图所示．
]
4． [当n＝1时，a1＝S1＝2．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1．
显然当n＝1时，不满足上式，
故an＝]
考点一
典例1 (1)C (2) [(1)当n＝1时，S1＝4a1－3，即S1＝4S1－3，得S1＝1，
当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn－1)－3，
即3Sn＝4Sn－1＋3，
Sn＝Sn－1＋1，
Sn＋3＝(Sn－1＋3)，又S1＋3＝4，
所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，
所以Sn＋3＝4×，Sn＝4×－3＝3 ．故选C．
(2)当n＝1时， a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②
由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝(n≥2，n∈N*)．
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝]
跟进训练
1．(1)BCD (2)2n2＋2n [(1)∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得＝－1．
∴是以－1为首项，－1为公差的等差数列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，
又a1＝－1不适合上式，
∴an＝
故选BCD．
(2)由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；
当n＝1时，＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，＝4n，
∴a1＋n(4＋4n)＝2n＋2n2 ．]
考点二
典例2 (1) (2) (3)2·3n-1－1 (4) [(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝．
(2)∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝a1．
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1·．
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝．
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，
∴an＝2·3n-1－1．
(4)∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴，即，
又a1＝2，则，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＋(n－1)×，∴an＝．]
跟进训练
2．(1)4－ (2) (3)·2n
[(1)∵an＋1－an＝＝，
∴当n≥2时，an－an－1＝，
an－1－an－2＝，
…，
a2－a1＝1－，
∴以上各式相加得an－a1＝1－，又a1＝3，
∴an＝4－(n≥2)，a1＝3适合上式，∴an＝4－．
(2)由an＋1＝an，得＝，
所以当n≥2时，·…·＝·…·＝，
因为a1＝，
所以an＝，
又因为n＝1时，a1＝满足上式，
所以an＝．
(3)∵an＋1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，
得＝＋1．又a1＝1，
∴是首项为，公差为1的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝n－，
即an＝·2n．]
考点三
考向1 典例3 B [由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1，得
a3＝a2－a1＝－1，
a4＝a3－a2＝－2，
a5＝a4－a3＝－1，
a6＝a5－a4＝1，
a7＝a6－a5＝2，
a8＝a7－a6＝1，
…，
则{an}是以6为周期的周期数列，
所以a2 025＝a337×6＋3＝a3＝－1．
故选B．]
考向2 典例4 D [因为an＋1－an＝，
由数列{an}为递减数列知，
对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D．]
考向3 典例5 B [结合f (x)＝(x＋1)的单调性，
设数列{an}的最大项为an，则
所以
解不等式组可得9≤n≤10．
所以数列{an}的最大项为a9或a10．
故选B．]
跟进训练
3．(1)C (2)3 [(1)an＝
＝1＋，
因为>0，∈(44，45)，
故当n≤44时，数列{an}单调递减，且an<1，
当n≥45时，数列{an}单调递减，且an>1，
故n＝45时，取得最大项．故选C．
(2)因为an＋1＝，a3＝3，
所以a3＝＝3，解得a2＝，
又a2＝，解得a1＝－，
又a4＝＝3，
显然，接下去a7＝－，a9＝3，…，
所以数列是以3为周期的周期数列，
则a2 025＝a3×675＝a3＝3．]
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第六章 数列
第六章 数列
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新高考卷三年考情图解
第六章 数列
高考命题规律把握
1．常考点：数列的通项与求和．
以解答题为主，常以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法、数列求和的方法以及与不等式的交汇等．
2．轮考点：等差(比)数列的性质、基本量的运算．
以小题为主，主要是借助等差(比)数列的定义、公式考查通项公式的求法及数列求和的方法．
3．创新点：数列新定义、新情境、新交汇问题．
第1课时
数列的概念与简单表示法
[考试要求] 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
链接教材·夯基固本
1．数列的定义
一般地，把按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
确定的顺序
提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 项与项间 的大小关 系 递增数列 an＋1____an 其中n∈N*
递减数列 an＋1____an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 有限
无限
＞
＜
3．数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是________、________和______________．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项____与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用__________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
列表法
图象法
函数解析式法
an
一个式子
6．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝________________叫做数列{an}的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
a1＋a2＋…＋an
提醒：若a1代入n≥2时an的表达式中也成立，则不需要分段．
[常用结论]
在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，2，3与数列3，2，1是相同数列． ( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列． ( )
(3)任何一个数列都有唯一的通项公式． ( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点． ( )
×
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，，－，
－，…的一个通项公式为( )
A．an＝± B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n+1· D．an＝
B [由a1＝－1，代入检验可知选B．]
2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝( )
A．2 B．
C． D．
√
D [由题意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2；
令n＝2，可得a3＝1＋＝1＋＝；
令n＝3，可得a4＝1＋＝1＋＝；
令n＝4，可得a5＝1＋＝1＋＝．故选D．]
3．(多选)(人教A版选择性必修第二册P8练习T1(1)改编)根据下面的图形的规律及相对应的点数，判断下列说法正确的是( )
A．第五个图形对应的点数为20
B．第五个图形对应的点数为21
C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4
D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3
√
√
BC [设第n项的点数为an(n∈N*)．因为a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，所以该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公式为an＝1＋5(n－1)＝5n－4，且第5项的图形如图所示．]
4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项
和Sn＝n2＋1，则an＝____________________________．
[当n＝1时，a1＝S1＝2．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1．
显然当n＝1时，不满足上式，
故an＝]
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
[典例1] (1)(2025·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝( )
A．4 B．4
C．3 D．4(3n－1)
典例精研·核心考点
√
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝
________________________．
(1)C (2) [(1)当n＝1时，S1＝4a1－3，即S1＝4S1－3，得S1＝1，
当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn－1)－3，
即3Sn＝4Sn－1＋3，
Sn＝Sn－1＋1，
Sn＋3＝(Sn－1＋3)，又S1＋3＝4，
所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，
所以Sn＋3＝4×，Sn＝4×－3＝3 ．故选C．
(2)当n＝1时， a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②
由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝(n≥2，n∈N*)．
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝]
名师点评 1．已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1．
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝
2．Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差、等比数列，或用累加、累乘等方法求解．
[跟进训练]
1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是( )
A．an＝ B．an＝
C．Sn＝－ D．数列是等差数列
(2)若数列{an}是正项数列，且＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________．
√
√
√
2n2＋2n
(1)BCD (2)2n2＋2n [(1)∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得＝－1．
∴是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又a1＝－1不适合上式，∴an＝故选BCD．
(2)由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；
当n＝1时，＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，＝4n，
∴a1＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n＋2n2 ．]
【教用·备选题】
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．
4n－5 [a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5．]
4n－5
2．已知数列{an}，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
－2n-1 [当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1．
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1．②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1 (n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn-1＝－2n-1．]
－2n-1
考点二 由数列的递推关系求通项公式
[典例2] (1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝____________．
(4)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(1) (2) (3)2·3n-1－1 (4)
[(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝．
(2)∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1．
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1··…·＝＝．
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝．
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，
∴an＝2·3n-1－1．
(4)∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝，即＝，
又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝．]
名师点评 由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[跟进训练]
2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(2)已知数列满足a1＝an＋1＝an，n∈N*，则数列的通项公式为an＝____________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公
式为an＝___________．
4－
(1)4－ (2) (3)·2n
[(1)∵an＋1－an＝＝，
∴当n≥2时，an－an－1＝，
an－1－an－2＝，
…，
a2－a1＝1－，
∴以上各式相加得an－a1＝1－，又a1＝3，
∴an＝4－(n≥2)，a1＝3适合上式，∴an＝4－．
(2)由an＋1＝an，得＝，
所以当n≥2时，·…·＝·…·＝，
因为a1＝，
所以an＝，
又因为n＝1时，a1＝满足上式，
所以an＝．
(3)∵an＋1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，
得＝＋1．又a1＝1，
∴是首项为，公差为1的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝n－，
即an＝·2n．]
考点三 数列的函数特性
考向1 数列的周期性
[典例3] (2024·山东济宁三模)已知数列中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1，则a2 025＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
√
B [由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，得
a3＝a2－a1＝－1，
a4＝a3－a2＝－2，
a5＝a4－a3＝－1，
a6＝a5－a4＝1，
a7＝a6－a5＝2，
a8＝a7－a6＝1，
…，
则{an}是以6为周期的周期数列，
所以a2 025＝a337×6＋3＝a3＝－1．
故选B．]
【教用·备选题】
已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an＋1＝1－，则T2 025＝________．
－1 [因为a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…，所以数列{an}是周期为3的周期数列．又a1a2a3＝2××(－1)＝－1，且2 025＝3×675，所以T2 025＝(－1)675＝－1．]
－1
考向2 数列的单调性
[典例4] 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
√
D [因为an＋1－an＝＝，
由数列{an}为递减数列知，
对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
故选D．]
考向3 数列的最值
[典例5] 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·，则数列{an}的最大项为( )
A．a8或a9 B．a9或a10
C．a10或a11 D．a11或a12
√
B [结合f (x)＝(x＋1)的单调性，
设数列{an}的最大项为an，则
所以
解不等式组可得9≤n≤10．
所以数列{an}的最大项为a9或a10．
故选B．]
名师点评 1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性求解．
(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值．
[跟进训练]
3．(1)(2025·辽宁锦州模拟)数列{an}的通项公式为an＝，该数列的前50项中最大项是( )
A．a1 B．a44
C．a45 D．a50
(2)(2025·福建厦门模拟)数列满足an＋1＝，a3＝3，则a2 025＝________．
√
3
(1)C (2)3 [(1)an＝＝
＝1＋，
因为>0，∈(44，45)，
故当n≤44时，数列{an}单调递减，且an<1，
当n≥45时，数列{an}单调递减，且an>1，
故n＝45时，取得最大项．
故选C．
(2)因为an＋1＝，a3＝3，
所以a3＝＝3，解得a2＝，
又a2＝＝，解得a1＝－，
又a4＝＝－，a5＝＝，a6＝＝3，
显然，接下去a7＝－，a8＝，a9＝3，…，
所以数列是以3为周期的周期数列，
则a2 025＝a3×675＝a3＝3．]
【教用·备选题】
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
A [∵an＋1－an＝＝＞0，∴an＋1＞an，即数列{an}是递增数列，故选A．]
√
2．已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为________．
[由an＋1－an＝2n，a1＝28，可得an＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，
设f (x)＝x＋，可知f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且＝<＝．
故的最小值为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．已知数列，2，…，则2是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
13
课后作业(三十三) 数列的概念与简单表示法
√
14
C [由数列，2，…的前三项可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，解得n＝7．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2024·山东济南三模)若数列的前n项和Sn＝n(n＋1)，则a6＝
( )
A．10 B．11
C．12 D．13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [a6＝S6－S5＝6×7－5×6＝12．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ 若bn＝a2n－1，则b4＝( )
A．18 B．16
C．11 D．6
√
B [b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5
＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7
＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12
＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D [由an＋1＝an＋a1＋2n，可得an＋1－an＝a1＋2n，
则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋4)＋…＋(a1＋2n－2)
＝na1＋(n－1)(2＋2n－2)＝na1＋n(n－1)，
由a10＝130，可得10a1＋90＝130，解得a1＝4．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．(高考改编)已知数列满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则
a2 025＝( )
A．0 B．－
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [∵数列满足a1＝0，an＋1＝，a2＝＝－，
a3＝＝，a4＝＝0，…，
综上可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，∴a2 025＝a3×675＝a3＝．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
13
14
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝( )
A．2n B．
C．n2＋1 D．n＋1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A [由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，
即＝，则＝＝＝，…，＝，n≥2，
由累乘法可得＝n(n≥2)，因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，
又a1＝2，符合上式，所以an＝2n．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．(2025·湖南长沙模拟)数列{an}的通项公式为an＝n＋，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，2) D．[1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [数列{an}单调递增 an＋1>an，所以n＋1＋>n＋，即a题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝，且a1＝1，则S7＝( )
A．14 B．28
C．56 D．112
B [Sn＝ 2Sn＝(n＋1)(Sn－Sn－1) (n＋1)Sn－1＝(n－1)Sn ＝．故S7＝S1··…·＝1××…×＝28．故选B．]
二、多项选择题
9．(2025·江苏常州模拟)已知数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{an}通项公式的是( )
A．an＝ B．an＝(－1)n＋1
C．an＝2 D．an＝4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
AC [数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，
经验证，AC选项，显然可以表示．
对于B，当n＝1时，a1＝0，故B错误；
对于D，当n＝2时，a2＝2，故D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是( )
A．数列{an}的最小项是a1
B．数列{an}的最大项是a4
C．数列{an}的最大项是a5
D．当n≥5时，数列{an}递减
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
BCD [假设第n项为{an}的最大项，
则
即
解得4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．
当n→＋∞时，an→0，而a1＝，所以A错误，故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
11．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝_______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(答案不唯一) [符合条件的数列有，…． ]
(答案不唯一)
12．(2025·四川雅安模拟)已知数列满足an＋2＝3an＋1－2an，a1＝λ，a2＝2，单调递增，则λ的取值范围为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2，
又因为单调递增，所以an＋1－an>0，
所以数列是以a2－a1＝2－λ为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝·2n-1，
所以·2n-1>0，即2－λ>0 λ<2，
则λ的取值范围为．]
四、解答题
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝－1中选择两个作为条件，证明另外一个成立．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[证明] 选①②作为条件证明③．
因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝；
当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，
两式相减得an－an－1＝1－an，
所以2an＝an－1＋1，
所以2(an－1)＝an－1－1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
因为bn＝an－1，所以2bn＝bn－1，即＝，
所以数列{bn}是首项为－，公比为的等比数列，
所以Tn＝＝－1．
选①③作为条件证明②．
因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝；
当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，
两式相减得an－an－1＝1－an，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
所以2an＝an－1＋1，
所以2(an－1)＝an－1－1，所以＝，
所以数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列，
所以an－1＝－，所以an＝1－．
因为Tn＝－1，所以当n＝1时，b1＝T1＝－；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－．
因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－，
故bn＝an－1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
选②③作为条件证明①，
因为Tn＝－1，
所以当n＝1时，b1＝T1＝－；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－．
因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
因为bn＝an－1，所以an＝1－，
所以Sn＝n－ ＝n－＝n－ ．
故an＝n－Sn．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
14．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1) an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(2)由(1)知bn＝3n－λn2．
bn＋1－bn＝3n+1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2×3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2×3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<．令cn＝，
即＝＝>1．
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2)．
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
14
谢 谢！课后作业(三十三) 数列的概念与简单表示法
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．已知数列，2，…，则2是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
2．(2024·山东济南三模)若数列的前n项和Sn＝n(n＋1)，则a6＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ 若bn＝a2n－1，则b4＝( )
A．18 B．16
C．11 D．6
4．(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(高考改编)已知数列满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 025＝( )
A．0 B．－
C． D．
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝( )
A．2n B．
C．n2＋1 D．n＋1
7．(2025·湖南长沙模拟)数列{an}的通项公式为an＝n＋，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，2) D．[1，＋∞)
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝，且a1＝1，则S7＝( )
A．14 B．28
C．56 D．112
二、多项选择题
9．(2025·江苏常州模拟)已知数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{an}通项公式的是( )
A．an＝ B．an＝(－1)n＋1
C．an＝2 D．an＝4
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是( )
A．数列{an}的最小项是a1
B．数列{an}的最大项是a4
C．数列{an}的最大项是a5
D．当n≥5时，数列{an}递减
三、填空题
11．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________．
12．(2025·四川雅安模拟)已知数列满足an＋2＝3an＋1－2an，a1＝λ，a2＝2，单调递增，则λ的取值范围为________．
四、解答题
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝－1中选择两个作为条件，证明另外一个成立．
14．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
课后作业(三十三)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由数列，2，…的前三项可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，解得n＝7．
故选C．]
2．C [a6＝S6－S5＝6×7－5×6＝12．故选C．]
3．B [b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5
＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7
＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12
＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16．故选B．]
4．D [由an＋1＝an＋a1＋2n，可得an＋1－an＝a1＋2n，
则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋4)＋…＋(a1＋2n－2)
＝na1＋(n－1)(2＋2n－2)＝na1＋n(n－1)，
由a10＝130，可得10a1＋90＝130，解得a1＝4．故选D．]
5．C [∵数列满足a1＝0，an＋1＝，a2＝＝－，
a3＝＝，a4＝＝0，…，
综上可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，∴a2 025＝a3×675＝a3＝．故选C．]
6．A [由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，
即＝，则＝＝＝，…，＝，n≥2，
由累乘法可得＝n(n≥2)，因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，
又a1＝2，符合上式，所以an＝2n．故选A．]
7．C [数列{an}单调递增 an＋1>an，所以n＋1＋>n＋，即a8．B [Sn＝ 2Sn＝(n＋1)(Sn－Sn－1) (n＋1)Sn－1＝(n－1)Sn ＝．故S7＝S1··…·＝1××…×＝28．故选B．]
9．AC [数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，
经验证，AC选项，显然可以表示．
对于B，当n＝1时，a1＝0，故B错误；
对于D，当n＝2时，a2＝2，故D错误．故选AC．]
10．BCD [假设第n项为{an}的最大项，
则
即
解得4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．
当n→＋∞时，an→0，而a1＝，所以A错误，故选BCD．]
11．(答案不唯一) [符合条件的数列有，…． ]
12． [因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2，
又因为单调递增，所以an＋1－an>0，
所以数列是以a2－a1＝2－λ为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝·2n-1，
所以·2n-1>0，即2－λ>0 λ<2，
则λ的取值范围为．]
13．证明：选①②作为条件证明③．
因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝；
当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，
两式相减得an－an－1＝1－an，
所以2an＝an－1＋1，
所以2(an－1)＝an－1－1．
因为bn＝an－1，所以2bn＝bn－1，即＝，
所以数列{bn}是首项为－，公比为的等比数列，
所以Tn＝＝－1．
选①③作为条件证明②．
因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝；
当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，
两式相减得an－an－1＝1－an，
所以2an＝an－1＋1，
所以2(an－1)＝an－1－1，所以＝，
所以数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列，
所以an－1＝－，所以an＝1－．
因为Tn＝－1，所以当n＝1时，b1＝T1＝－；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－．
因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－，
故bn＝an－1．
选②③作为条件证明①，
因为Tn＝－1，
所以当n＝1时，b1＝T1＝－；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－．
因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－．
因为bn＝an－1，所以an＝1－，
所以Sn＝n－ ＝n－＝n－ ．
故an＝n－Sn．
[B组 在综合中考查关键能力]
14．解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n－λn2．
bn＋1－bn＝3n+1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2×3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2×3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<．令cn＝，
即＝＝>1．
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2)．
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