第3课时 等比数列
[考试要求] 1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示，定义的表达式为__＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么___叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝_________＝amqn－m．
(2)前n项和公式：
Sn＝
提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
3．等比数列的性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝．
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则}，{an·bn}，仍是等比数列．
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
[常用结论]
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac． ( )
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． ( )
(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为( )
A． B．－3 C．－ D．－3或
2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．
4．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
考点一 等比数列基本量的运算
[典例1] (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解．
[跟进训练]
1．(1)(2025·河北唐山模拟)已知数列为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则a10＝( )
A．30 B．±30
C．40 D．±40
(2)(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)( )
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
(3)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
考点二 等比数列的判定与证明
[典例2] (2024·湖南名校质检)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)．
(1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
判定一个数列为等比数列的常见方法
[跟进训练]
2．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0．
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点三 等比数列性质的应用
[典例3] (1) (2025·山东青岛模拟)等比数列的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．5 D．2log35
(2)(多选)(2024·湖北武汉二模)下列命题正确的是( )
A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．若为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列
C．若为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
D．若数列的前n项和为Sn，则“an>0”是“为递增数列”的充分不必要条件
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
应用等比数列性质的两个关注点
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2025·湖南长沙模拟)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是( )
A．0
C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6
(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
第3课时 等比数列
梳理·必备知识
1．(1)2 同一个常数 公比 (2)G
2．(1)a1qn-1 (2)na1
3．(1)ap·aq
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)√ (4)×
二、1．D [由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－．
∴a2＝或－3．故选D．]
2．C [根据题意知，等比数列{an}的公比q≠－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]
3．27 [依题意a1＝1，a5＝9，所以a1a5＝a2a4＝＝9，所以a3＝3或a3＝－3(舍去)，所以a2a3a4＝＝27．]
4．1，3，9或9，3，1 [设这三个数为，a，aq，则解得或
∴这三个数为1，3，9或9，3，1．]
考点一
典例1 (1)D (2)C [(1)设等比数列的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则
解得 所以a6＝a1q5＝3．
故选D．
(2)法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，
则化简整理得所以S8＝×(1－44)＝－85，故选C．
法二：易知等比数列{an}的公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C．]
跟进训练
1．(1)C (2)AD (3)－ [(1)令bn＝，设数列的公比为q，因为a4＝2，a8＝16，
所以b4＝＝2，又b8＝b4q4，所以q4＝＝4，得到q2＝2，
所以b10＝＝b8q2＝4，所以a10＝40．
故选C．
(2)由题意可得此人每天走的路程构成一个公比q＝的等比数列，且S6＝378，
所以S6＝＝378，解得a1＝192，
所以an＝a1qn-1＝192×(1≤n≤6，n∈N*)．
对于A，因为a5＝192×＝12，故A正确；
对于B，因为a3＝192×＝48，故B错误；
对于C，S3＝＝336，故C错误；
对于D，该人最后三天共走的路程为S6－S3＝378－336＝42，故D正确．故选AD．
(3)设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1．
当q≠1时，因为8S6＝7S3，
所以，
即8(1－q6)＝7(1－q3)，
即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－．]
考点二
典例2 解：(1)证明：由题意得，＝＝2，∴{an＋1＋3an}是以a2＋3a1＝5为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知an＋1＋3an＝5·2n-1(n∈N*)，
则an＋1＝－3an＋5·2n-1，
设an＋1＋x·2n＝－3(an＋x·2n-1)，
则an＋1＝－3an－5x·2n-1，则x＝－1，
故an＋1－2n＝－3(an－2n-1)，又a1－20＝1，
所以{an－2n-1}是以1为首项，－3为公比的等比数列，所以an－2n-1＝1×(－3)n-1，
an＝2n-1＋(－3)n-1，
Sn＝＝2n－，
故an＝2n-1＋(－3)n-1，Sn＝2n－．
跟进训练
2．解：(1)由题意可得，
解得所以an＝3n-1，Sn＝＝．
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3．
故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．
考点三
典例3 (1)B (2)BD [(1)因为{an}是各项均为正数的等比数列，a5a6＋a4a7＝18，
所以a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，即a5a6＝9，
则a1a10＝a2a9＝…＝a5a6＝9，
记S＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a10，
则S＝log3a10＋log3a9＋…＋log3a1，
两式相加得2S＝log3＋log3(a2a9)＋…＋log3(a10a1)＝10×log39＝20，
所以S＝10，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝10．故选B．
(2)对于A，若a1＝－b1且数列{an}，{bn}公比相等，则a1＋b1＝0，显然{an＋bn}不是等比数列，A错误；
对于B，设{an}的公比为q，而S3＝a1(1＋q＋q2)，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1(q3＋q4＋q5)，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a1(q6＋q7＋q8)，
所以S3，S6－S3，S9－S6是公比为q3的等比数列，B正确；
对于C，同B分析，Sn＝a1(1＋q＋…＋qn-1)，S2n－Sn＝a1(qn＋qn+1＋…＋q2n-1)，S3n－S2n＝a1，
若n为偶数，q＝－1时，显然各项均为0，不为等比数列，C错误；
对于D，若an>0，则Sn＝Sn－1＋an>Sn－1且n≥2，易知为递增数列，充分性成立；
若为递增数列，则Sn>Sn－1?Sn－1＋an>Sn－1且n≥2，显然{an}为－1，2，2，2，…满足，但an>0不恒成立，必要性不成立，
所以“an>0”是“为递增数列”的充分不必要条件，D正确．故选BD．]
跟进训练
3．(1)ABD (2)－2 [(1)A项，a1>1且a6a7>1>0?q>0，而<0?a6－1和a7－1异号，
由a1>1知a6－1>0，a7－1<0，即a6>1，a7<1，0B项，从前面的求解过程知a1>1，0那么0C项，因为是正项数列，所以Sn没有最大值，故C项错误；
D项，从前面的分析过程可知的前6项均大于1，从第7项起均小于1，所以Tn的最大值为T6，故D项正确．
故选ABD．
(2)法一：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1． ①
又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8， ②
所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．
法二：设数列{an}的公比为q．因为a4a5＝a3a6≠0，而a2a4a5＝a3a6，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2．]
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第六章
数列
第3课时 等比数列
[考试要求] 1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．了解等比数列与指数函数的关系．
链接教材·夯基固本
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示，定义的表达式为______＝q(n∈N*，q为非零常数)．
2
同一个常数
公比
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么___叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
G
提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝_________＝amqn－m．
(2)前n项和公式：
Sn＝
a1qn-1
提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
3．等比数列的性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝．
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则}，{an·bn}，仍是等比数列．
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
ap·aq
[常用结论]
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac． ( )
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． ( )
(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝． ( )
×
×
√
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为( )
A． B．－3 C．－ D．－3或
D [由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得
q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－．
∴a2＝＝或－3．故选D．]
2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
√
C [根据题意知，等比数列{an}的公比q≠－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]
3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．
27 [依题意a1＝1，a5＝9，所以a1a5＝a2a4＝＝9，所以a3＝3或a3＝－3(舍去)，所以a2a3a4＝＝27．]
27
4．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_________________．
1，3，9或9，3，1
1，3，9或9，3，1 [设这三个数为，a，aq，则
解得或
∴这三个数为1，3，9或9，3，1．]
考点一 等比数列基本量的运算
[典例1] (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
典例精研·核心考点
√
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
√
(1)D (2)C [(1)设等比数列的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则解得
所以a6＝a1q5＝3．
故选D．
(2)法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则化简整理得所以S8＝＝×(1－44)＝－85，故选C．
法二：易知等比数列{an}的公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；
当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成
立，舍去．所以S8＝－85，故选C．]
名师点评 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解．
[跟进训练]
1．(1)(2025·河北唐山模拟)已知数列为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则a10＝( )
A．30 B．±30
C．40 D．±40
√
(2)(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)( )
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
√
√
(3)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
－
(1)C (2)AD (3)－ [(1)令bn＝，设数列的公比为q，因为a4＝2，a8＝16，
所以b4＝＝，b8＝＝2，又b8＝b4q4，所以q4＝＝4，得到q2＝2，
所以b10＝＝b8q2＝4，所以a10＝40．
故选C．
(2)由题意可得此人每天走的路程构成一个公比q＝的等比数列，且S6＝378，
所以S6＝＝378，解得a1＝192，
所以an＝a1qn-1＝192×(1≤n≤6，n∈N*)．
对于A，因为a5＝192×＝12，故A正确；
对于B，因为a3＝192×＝48，故B错误；
对于C，S3＝＝＝336，故C错误；
对于D，该人最后三天共走的路程为S6－S3＝378－336＝42，故D正确．故选AD．
(3)设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1．
当q≠1时，因为8S6＝7S3，
所以＝，
即8(1－q6)＝7(1－q3)，
即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，
解得q＝－．]
【教用·备选题】
1．《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长3尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．2.9天 B．3.9天
C．4.9天 D．5.9天
√
C [设蒲的长度组成等比数列{an}，a1＝3，公比为，前n项和为An，莞的长度组成等比数列{bn}，b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．
则An＝，Bn＝，
由题意可得5×＝，
解得2n＝30或2n＝1(舍去)．
所以n＝log230＝＝≈4.9．
故选C．]
2．(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________，数列{an}所有项的和为________．
48
384
48 384 [∵数列{an}的后7项成等比数列，an>0，设公比为q，则q＞0，
∴a7＝＝＝48，
∴a3＝＝＝3，
∴公比q＝＝＝2，
∴a4＝3×2＝6，
又该数列的前3项成等差数列，
∴数列{an}的所有项的和为
＝＋378＝384．]
3．(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝
3an＋1－3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和．
解：(1)因为2Sn＝3an＋1－3，故2Sn－1＝3an－3(n≥2)，
所以2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，故等比数列{an}的公比q＝，
故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝．
(2)由等比数列求和公式得
Sn＝＝－．
设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝n＝－n－．
考点二 等比数列的判定与证明
[典例2] (2024·湖南名校质检)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)．
(1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．
解：(1)证明：由题意得，＝＝2，∴{an＋1＋3an}是以a2＋3a1＝5为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知an＋1＋3an＝5·2n-1(n∈N*)，
则an＋1＝－3an＋5·2n-1，
设an＋1＋x·2n＝－3(an＋x·2n-1)，
则an＋1＝－3an－5x·2n-1，则x＝－1，
故an＋1－2n＝－3(an－2n-1)，又a1－20＝1，
所以{an－2n-1}是以1为首项，－3为公比的等比数列，所以an－2n-1＝1×(－3)n-1，
an＝2n-1＋(－3)n-1，
Sn＝＝2n－，
故an＝2n-1＋(－3)n-1，Sn＝2n－．
名师点评 判定一个数列为等比数列的常见方法
[跟进训练]
2．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0．
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意可得
解得所以an＝3n-1，Sn＝＝．
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3．
故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．
【教用·备选题】
1．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是( )
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
√
√
AD [对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列．故选AD．]
2．已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1．
[证明] 选①②作为条件证明③：
设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)，
因为{an}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a2＝2a1．
选①③作为条件证明②：
因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，
所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝2na1，
因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．
选②③作为条件证明①：
设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)．
因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)＝A·2n-2＝a1·2n-1，所以＝2(n≥2)，又因为a2＝2a1，所以{an}为等比数列．
3．已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn．
(1)证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列；
(2)求{anbn}的前n项和Sn．
解：(1)证明：因为an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn，
所以an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)，
an＋1－bn＋1＝－(an－bn)，
又由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，
所以数列{an＋bn}是首项为5，公比为3的等比数列，数列{an－bn}是首项为1，公比为－1的等比数列．
(2)由(1)得an＋bn＝5×3n-1，
an－bn＝(－1)n-1，
所以an＝，
bn＝，所以anbn＝＝＝×9n-1－，
所以Sn＝＝．
考点三 等比数列性质的应用
[典例3] (1) (2025·山东青岛模拟)等比数列的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．5 D．2log35
√
(2)(多选)(2024·湖北武汉二模)下列命题正确的是( )
A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．若为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列
C．若为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
D．若数列的前n项和为Sn，则“an>0”是“为递增数列”的充分不必要条件
√
√
(1)B (2)BD [(1)因为{an}是各项均为正数的等比数列，a5a6＋a4a7＝18，
所以a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，即a5a6＝9，
则a1a10＝a2a9＝…＝a5a6＝9，
记S＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a10，
则S＝log3a10＋log3a9＋…＋log3a1，
两式相加得2S＝log3＋log3＋…＋log3＝10×log39＝20，
所以S＝10，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝10．
故选B．
(2)对于A，若a1＝－b1且数列{an}，{bn}公比相等，则a1＋b1＝0，显然{an＋bn}不是等比数列，A错误；
对于B，设{an}的公比为q，而S3＝a1(1＋q＋q2)，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1(q3＋q4＋q5)，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a1(q6＋q7＋q8)，
所以S3，S6－S3，S9－S6是公比为q3的等比数列，B正确；
对于C，同B分析，Sn＝a1(1＋q＋…＋qn-1)，S2n－Sn＝a1(qn＋qn+1＋…＋q2n-1)，S3n－S2n＝a1，
若n为偶数，q＝－1时，显然各项均为0，不为等比数列，C错误；
对于D，若an>0，则Sn＝Sn－1＋an>Sn－1且n≥2，易知为递增数列，充分性成立；
若为递增数列，则Sn>Sn－1 Sn－1＋an>Sn－1且n≥2，显然{an}为－1，2，2，2，…满足，但an>0不恒成立，必要性不成立，
所以“an>0”是“为递增数列”的充分不必要条件，D正确．
故选BD．]
名师点评 应用等比数列性质的两个关注点
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2025·湖南长沙模拟)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是( )
A．0C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6
(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
√
√
√
－2
(1)ABD (2)－2 [(1)A项，a1>1且a6a7>1>0 q>0，而<0 a6－1和a7－1异号，
由a1>1知a6－1>0，a7－1<0，即a6>1，a7<1，0B项，从前面的求解过程知a1>1，0那么0C项，因为是正项数列，所以Sn没有最大值，故C项错误；
D项，从前面的分析过程可知的前6项均大于1，从第7项起均小于1，所以Tn的最大值为T6，故D项正确．
故选ABD．
(2)法一：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1． ①
又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8， ②
所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．
法二：设数列{an}的公比为q．因为a4a5＝a3a6≠0，而a2a4a5＝a3a6，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2．]
【教用·备选题】
(1)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于
( )
A．40 B．36
C．54 D．81
(2)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
√
2
(1)C (2)2 [(1)在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，
∴a7＋a8＝(a3＋a4)·＝24×＝54．故选C．
(2)由题意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，
又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)，
所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)．
又q＞0，an＞0，所以q＋1＝3，即q＝2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024·山西临汾二模)已知等比数列，a1＝1，a5＝4，则a3＝
( )
A．2 B．－2
C．±2 D．2
13
课后作业(三十五) 等比数列
√
14
A [由等比数列的性质可知＝a1·a5＝4，所以a3＝±2，又因为＝q2>0，所以a3＝2．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2024·浙江杭州三模)设 Sn 为等比数列的前 n 项和，已知 S3＝a4－2，S2＝a3－2，则公比 q＝( )
A．2 B．－2
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A [由已知，S3＝a4－2，S2＝a3－2，两式相减得，
S3－S2＝a3＝a4－a3，即a4＝2a3，即q＝＝2．
故选A．]
3．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)记等比数列的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B [因为数列为等比数列，且等比数列的前n项和为Sn，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则＝S4·，
即＝S4·，解得S4＝32或S4＝2．
设等比数列的公比为q，则q≠1,
＝＝1＋q4>1，则S8>S4>0，得S4＝2．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2024·黑龙江齐齐哈尔一模)已知数列为等比数列，m，t，p，s均为正整数，设甲：amat＝apas；乙：m＋t＝p＋s，则( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B [设数列的公比为q，首项为a1，
若m＋t＝p＋s，则qm＋t-2＝qp＋s-2，即amat＝apas，满足必要性；当q＝1时，对任意正整数m，t，p，s均有amat＝apas，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．已知两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若＝3，则＝( )
A．3 B．27
C．81 D．243
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D [法一：设等比数列{an}的公比为q1，
则a3＝，{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝＝．
设等比数列{bn}的公比为q2，
则b3＝，B5＝．
因为＝＝3，
所以＝＝＝35＝243．故选D．
法二：由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝，所以{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝，同理可得B5＝，
所以＝＝35＝243．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( )
A．3 B．18
C．54 D．152
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2，
所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，
a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，
由等比数列的性质可得＝a1 ·a3，
即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，
所以a1＝2或a1＝－1(舍)，
所以a2＝6，设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n．
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k+1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(2025·河南洛阳模拟)折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动．在一次数学实践课上，某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形的斜边长为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A [由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折6次后，得到腰长为＝的等腰直角三角形，
所以斜边长为＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
9．(2025·河南郑州期末)设等比数列的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则( )
A．a＝－1 B．的公比为2
C．an＝2n D．S9＝1 023
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BC [因为Sn＝2n+1＋a，所以a1＝4＋a，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8．
因为{an}是等比数列，所以＝a1a3，即42＝8(4＋a)，解得a＝－2，则A错误；
等比数列{an}的公比q＝＝2，则B正确；
因为a1＝2，q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n，则C正确；
因为a＝－2，所以Sn＝2n+1－2，所以S9＝210－2＝1 022，则D错误．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，则( )
A．数列{an＋2n}是等比数列
B．数列是等比数列
C．an＝2×3n－2n+1
D．Sn＝2(3n－2n)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABD [an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，
又a1＋2＝4≠0，＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2n，Sn＝＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确；
＋1＝＋1＝＝，
又因为＋1＝2≠0，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，B正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
11．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝__________________．
①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(－2)n(答案不唯一)
(－2)n(答案不唯一) [设等比数列{an}的公比为q，
由anan＋1<0，可知q<0，
又|an|<|an＋1|，所以|q|>1，
所以q<－1，所以q可取－2，
设a1＝－2，
则an＝－2·(－2)n-1＝(－2)n(答案不唯一)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝_____________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[由题意得a1＝1－a1，故a1＝．
当n≥2时，由得an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1，
则＝，
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝．
由等比数列的性质可得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n－1a2n＋1＝，
所以数列{a2n－1a2n＋1}是以＝为首项，为公比的等比数列，
则Tn＝＝＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
四、解答题
13．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4．
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证．
(2)由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知b1·2k-1＝a1＋(m－1)·d＋a1，
即b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m，
因为1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，解得2≤k≤10(k∈N*)，
故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．在直角坐标平面内，将函数f (x)＝2－及g(x)＝在第一象限内的图象分别记作C1，C2，点Pn在C1上．过Pn作平行于x轴的直线，与C2交于点Qn，再过点Qn作平行于y轴的直线，与C1交于点Pn＋1．
(1)若a1＝，请直接写出a2，a3的值；
(2)若0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
解：(1)易知当a1＝时，
则由题意 f ＝f ＝2－＝，
所以P1，故Q1，又Q1在C2上，
所以＝ a2＝，故Q1，且f＝f ＝2－＝，
所以P2，故Q2，且Q2在C2上，所以＝ a3＝，
综上a2＝，a3＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(2)证明：依题意，由Pn可得Qn，
因为Qn在C2上，所以f＝，
又f＝2－，
所以＝2－，整理可得an＋1＝，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
所以an＋1－＝①，且an＋1＋＝②，
由①÷②得＝－，
又由0所以是以－为公比的等比数列．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
谢 谢！课后作业(三十五) 等比数列
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．(2024·山西临汾二模)已知等比数列，a1＝1，a5＝4，则a3＝( )
A．2 B．－2
C．±2 D．2
2．(2024·浙江杭州三模)设 Sn 为等比数列的前 n 项和，已知 S3＝a4－2，S2＝a3－2，则公比 q＝( )
A．2 B．－2
C． D．－
3．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)记等比数列的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．(2024·黑龙江齐齐哈尔一模)已知数列为等比数列，m，t，p，s均为正整数，设甲：amat＝apas；乙：m＋t＝p＋s，则( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
5．已知两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若＝3，则＝( )
A．3 B．27
C．81 D．243
6．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( )
A．3 B．18
C．54 D．152
7．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．(2025·河南洛阳模拟)折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动．在一次数学实践课上，某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形的斜边长为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2025·河南郑州期末)设等比数列的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则( )
A．a＝－1 B．的公比为2
C．an＝2n D．S9＝1 023
10．(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，则( )
A．数列{an＋2n}是等比数列
B．数列是等比数列
C．an＝2×3n－2n+1
D．Sn＝2(3n－2n)
三、填空题
11．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________．
①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|．
12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________．
四、解答题
13．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4．
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
14．在直角坐标平面内，将函数f (x)＝2－及g(x)＝在第一象限内的图象分别记作C1，C2，点Pn在C1上．过Pn作平行于x轴的直线，与C2交于点Qn，再过点Qn作平行于y轴的直线，与C1交于点Pn＋1．
(1)若a1＝，请直接写出a2，a3的值；
(2)若0课后作业(三十五)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [由等比数列的性质可知＝a1·a5＝4，所以a3＝±2，又因为＝q2>0，所以a3＝2．故选A．]
2．A [由已知，S3＝a4－2，S2＝a3－2，两式相减得，
S3－S2＝a3＝a4－a3，即a4＝2a3，即q＝＝2．
故选A．]
3．B [因为数列为等比数列，且等比数列的前n项和为Sn，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则＝S4·，
即＝S4·，解得S4＝32或S4＝2．
设等比数列的公比为q，则q≠1,
＝＝1＋q4>1，则S8>S4>0，得S4＝2．
故选B．]
4．B [设数列的公比为q，首项为a1，
若m＋t＝p＋s，则qm＋t-2＝qp＋s-2，即amat＝apas，满足必要性；当q＝1时，对任意正整数m，t，p，s均有amat＝apas，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．]
5．D [法一：设等比数列{an}的公比为q1，
则a3＝，{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝＝．
设等比数列{bn}的公比为q2，
则b3＝，B5＝．
因为＝＝3，
所以＝＝＝35＝243．故选D．
法二：由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝，所以{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝，同理可得B5＝，
所以＝＝35＝243．故选D．]
6．C [因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2，
所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，
a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，
由等比数列的性质可得＝a1 ·a3，
即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，
所以a1＝2或a1＝－1(舍)，
所以a2＝6，设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54．
故选C．]
7．C [∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n．
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k+1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．故选C．]
8．A [由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折6次后，得到腰长为＝的等腰直角三角形，
所以斜边长为＝．故选A．]
9．BC [因为Sn＝2n+1＋a，所以a1＝4＋a，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8．
因为{an}是等比数列，所以＝a1a3，即42＝8(4＋a)，解得a＝－2，则A错误；
等比数列{an}的公比q＝＝2，则B正确；
因为a1＝2，q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n，则C正确；
因为a＝－2，所以Sn＝2n+1－2，所以S9＝210－2＝1 022，则D错误．故选BC．]
10．ABD [an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，
又a1＋2＝4≠0，＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2n，Sn＝＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确；
＋1＝＋1＝＝，
又因为＋1＝2≠0，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，B正确．故选ABD．]
11．(－2)n(答案不唯一) [设等比数列{an}的公比为q，
由anan＋1<0，可知q<0，
又|an|<|an＋1|，所以|q|>1，
所以q<－1，所以q可取－2，
设a1＝－2，
则an＝－2·(－2)n-1＝(－2)n(答案不唯一)．]
12． [由题意得a1＝1－a1，故a1＝．
当n≥2时，由得an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1，
则＝，
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝．
由等比数列的性质可得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n－1a2n＋1＝，
所以数列{a2n－1a2n＋1}是以＝为首项，为公比的等比数列，
则Tn＝＝＝．]
13．解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证．
(2)由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知b1·2k-1＝a1＋(m－1)·d＋a1，
即b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m，
因为1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，解得2≤k≤10(k∈N*)，
故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9．
[B组 在综合中考查关键能力]
14．解：(1)易知当a1＝时，
则由题意 f＝f＝2－＝，
所以P1，故Q1，又Q1在C2上，
所以＝ a2＝，故Q1，且f＝f＝2－＝，
所以P2，故Q2，且Q2在C2上，所以＝ a3＝，
综上a2＝，a3＝．
(2)证明：依题意，由Pn可得Qn，
因为Qn在C2上，所以f＝，
又f＝2－，
所以＝2－，整理可得an＋1＝，
所以an＋1－＝①，且an＋1＋＝②，
由①÷②得＝－，
又由0所以是以－为公比的等比数列．
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