第1课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
[考试要求] 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相______且______ 多边形 互相______且______
侧棱 ____________ 相交于______但不一定相等 延长线交于______
侧面 形状 ____________ ________ ______
(2)特殊的棱柱
①侧棱垂直于底面的棱柱叫做________．
②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做________．
③底面是正多边形的直棱柱叫做________．
④底面是平行四边形的四棱柱叫做____________．
(3)正棱锥
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
(4)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，______于底面 相交于______ 延长线交于______
轴截面 ______ ____________ __________ ______
侧面 展开图 ______ ______ ______
2．立体图形的直观图
(1)画法：常用____________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍__________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的______．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展 开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝______ S圆锥侧＝_____ S圆台侧＝ ______________
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝____
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝____
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝______ V＝_____
[常用结论]
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( )
(2)菱形的直观图仍是菱形． ( )
(3)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P119例4改编)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
2．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′被一个平面截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
4．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为________．
考点一 基本立体图形
结构特征
[典例1] (多选)下列说法中正确的是( )
A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
直观图
[典例2] 如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是( )
A．AB＝2
B．A′D′＝2
C．四边形ABCD的周长为4＋2＋2
D．四边形ABCD的面积为6
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
展开图
[典例3] 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半．
(3)在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
[跟进训练]
1．(1)(多选)下列说法中正确的是( )
A．长方体是直四棱柱
B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
(2)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是：“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
(3)(多选)(2025·河北冀州中学期中)如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的△ABC的直观图，OA＝2，S△ABC＝，则在直观图中，以下说法正确的是( )
A．O′A′＝2
B．△A′B′C′的面积为
C．OA边上的高为
D．O′A′边上的高为
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考点二 空间几何体的表面积与体积
表面积
[典例4] (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π B．48π
C．36π D．32π
(2)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
体积
[典例5] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
(2)(2024·天津模拟)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O为四边形ACC1A1对角线的交点，设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1，四棱锥O-BCC1B1的体积为V2，则V2∶V1＝( )
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶6 D．2∶3
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
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求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求解
等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)
[跟进训练]
2．(1)(2024·山东枣庄一模)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为( )
A．6π B．16π
C．26π D．32π
(2)(2024·北京西城二模)楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形．若AB＝6 cm，EF＝3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为( )
A．18 cm3 B．24 cm3
C．30 cm3 D．48 cm3
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为________．
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第1课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
梳理·必备知识
1．(1)平行 全等 平行 相似 平行且相等
一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 (2)直棱柱 斜棱柱 正棱柱 平行六面体 (4)垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 矩形 扇形 扇环
2．(1)斜二测画法 (2)垂直 分别平行于坐标轴 不变 一半
3．2πrl πrl π(r1＋r2)l
4．Sh Sh 4πR2 πR3
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)×
二、1．D [设球的半径为r，则S圆柱＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，S球＝4πr2，所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πr2∶6πr2＝2∶3，故选D．]
2．C [由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]
3．B [设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]
4．12 [设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝S△ABC·AA1＝a·16＝12a，
当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，
所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．]
考点一
考向1 典例1 AD [由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的几何体是圆台，故A正确；
各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面是菱形，不一定是正方体，故B错误；
底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；
棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．故选AD．]
考向2 典例2
D [由题意可知A′D′＝，直观图的原图形如图所示，所以AB＝4，AD＝2，CD＝2，作CE⊥AB于点E，可求得BC＝2．
所以四边形ABCD的周长为6＋2，四边形ABCD的面积为．
故选D．]
考向3 典例3 B [如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，
由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短．
所以最短路线长为BC1＝．故选B．]
跟进训练
1．(1)AC (2)C (3)ABC [(1)长方体是直四棱柱，A正确；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错误；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；平行六面体是棱柱，D错误．故选AC．
(2)如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，圆木的高AB＝24尺，BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后长度最小为BD＝＝26(尺)，即为2丈6尺．故选C．
(3)由题意知O′A′＝OA＝2，所以A正确；
在△ABC中，过B作BD∥y轴，交x轴于点D如图①，在直观图中的x′轴上取O′D′＝OD，
连接D′B′，如图②，则D′B′＝DB，
由于BD⊥AC于点D，则BD为原图形中OA边上的高，且BD＝2B′D′，S△ABC＝，BD＝2B′D′＝，所以C正确；
在直观图中作B′E′⊥A′C′于点E′，B′D′＝B′E′＝B′E′＝，所以D错误；
S△A′B′C′＝A′C′×B′E′＝，所以B正确．
故选ABC．]
考点二
考向1 典例4 (1)A
(2)B [(1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝，故OO1＝2，所以R2＝＋r2＝2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π．故选A．
(2)设正六棱柱的底面边长为a，由题意知正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为a，正六棱锥的侧棱长为a，正六棱锥的侧面积S1＝6×a2，
正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以．故选B．]
考向2 典例5 (1)B (2)A (3) [(1)设圆柱和圆锥的底面半径均为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π．故选B．
(2)如图，连接OA1，A1B，
则V1＝，
＝V1，
所以＝V1，
又O为A1C的中点，
所以点A1到平面BCC1B1的距离是点O到平面BCC1B1的距离的2倍，则＝＝2V2，
所以V1＝2V2，即＝．故选A．
(3)法一：如图所示，设O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O．因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×(22＋12＋)×＝．
法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2．连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×(22＋12＋)×＝．(或者V四棱锥P-ABCD＝×22×＝，＝V四棱锥P-ABCD，所以＝V四棱锥P-ABCD－＝V四棱锥P-ABCD＝＝．)
]
跟进训练
2．(1)B (2)C (3)1 [(1)圆台的上底面圆半径r′＝1，下底面圆半径r＝3，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有解得所以圆台的侧面积S＝πl＝π×4＝16π．故选B．
(2)如图所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，
因为底面ABCD为正方形，所以AB∥DC，又AB 平面EFCD，DC 平面EFCD，所以AB∥平面EFCD，
又平面EFCD∩平面ABFE＝EF，所以AB∥EF，
因为G，H分别为AB，DC的中点，AB＝6 cm，EF＝3 cm，
所以EF∥GB，EF＝GB，则四边形EGBF为平行四边形，则EG∥FB，
同理EH∥FC，又GH∥BC，所以EGH-FBC为三棱柱，由题意，可得V四棱锥E-AGHD＝S矩形AGHD·h＝AD·AG·h＝×6×3×2＝12(cm3)．
又V三棱柱EGH-FBC＝3V三棱锥B-EGH＝3V三棱锥E-BGH＝3××V四棱锥E-AGHD＝·V四棱锥E-AGHD＝×12＝18(cm3)．
所以该多面体的体积为V＝V四棱锥E-AGHD＋V三棱柱EGH-FBC＝12＋18＝30(cm3)．故选C．
(3)如图，易知＝，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1-A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝，所以＝＝××D1A1＝×2＝1．
]
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第七章 立体几何与空间向量
第七章 立体几何与空间向量
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新高考卷三年考情图解
第七章 立体几何与空间向量
高考命题规律把握
1．常考点：空间几何体的表面积与体积、空间线面位置关系的证明、立体几何中的向量方法．
空间几何体的表面积与体积主要考小题：一是柱、锥、台体的体积与表面积的计算，二是球与柱、锥、台体的切接问题；空间线面位置关系的证明与立体几何中的向量方法主要考解答题，第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算．
2．轮考点：空间几何体的结构．
常与数学文化结合以客观题的形式出现，主要考查对空间几何体的结构认知，难度较小．
第1课时
基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
[考试要求] 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
链接教材·夯基固本
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相______且______ 多边形 互相______且______
侧棱 ____________ 相交于______但不一定相等 延长线交于______
侧面 形状 ____________ ________ ______
平行
全等
平行
相似
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
(2)特殊的棱柱
①侧棱垂直于底面的棱柱叫做________．
②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做________．
③底面是正多边形的直棱柱叫做________．
④底面是平行四边形的四棱柱叫做____________．
(3)正棱锥
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
平行六面体
(4)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，______于底面 相交于______ 延长线交于______
垂直
一点
一点
轴截面 ______ ____________ __________ ______
侧面 展开图 ______ ______ ______
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
矩形
扇形
扇环
2．立体图形的直观图
(1)画法：常用____________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍__________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的______．
斜二测画法
垂直
分别平行于坐标轴
不变
一半
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展 开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝______ S圆锥侧＝_____ S圆台侧＝
______________
2πrl
πrl
π(r1＋r2)l
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝____
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝_______
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝______ V＝_________
Sh
Sh
4πR2
πR3
[常用结论]
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．
( )
(2)菱形的直观图仍是菱形． ( )
(3)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方． ( )
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P119例4改编)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
D [设球的半径为r，则S圆柱＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，S球＝4πr2，所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πr2∶6πr2＝2∶3，故选D．]
2．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′被一个平面截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
√
C [由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]
3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为
12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
√
B [设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]
4．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为________．
12
12 [设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝S△ABC·AA1＝a·16＝12a，
当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，
所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．]
考点一 基本立体图形
考向1 结构特征
[典例1] (多选)下列说法中正确的是( )
A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
典例精研·核心考点
√
√
AD [由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的几何体是圆台，故A正确；
各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面是菱形，不一定是正方体，故B错误；
底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；
棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．故选AD．]
考向2 直观图
[典例2] 如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是( )
A．AB＝2
B．A′D′＝2
C．四边形ABCD的周长为4＋2＋2
D．四边形ABCD的面积为6
√
D [由题意可知A′D′＝，直观图的原图形如图所示，所以AB＝
4，AD＝2，CD＝2，作CE⊥AB于点E，可求得BC＝2．
所以四边形ABCD的周长为6＋2＋2，四边形ABCD的面积为×2＝6．故选D．]
【教用·备选题】
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图
△A′B′C′的面积为( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
√
D [法一：如图①②所示的原图形和直观图，
由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，
则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝×a×a＝a2．故选D．
法二：S△ABC＝×a×a sin 60°＝a2，
又S直观图＝S原图＝a2＝a2．故选D．]
考向3 展开图
[典例3] 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
√
B [如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，
由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短．
所以最短路线长为BC1＝＝2．故选B．]
【教用·备选题】
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是( )
A．
B．
C．
D．
√
A [正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为．故选A．]
名师点评 (1)空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半．
(3)在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
[跟进训练]
1．(1)(多选)下列说法中正确的是( )
A．长方体是直四棱柱
B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
√
√
(2)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是：“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
√
(3)(多选)(2025·河北冀州中学期中)如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的△ABC的直观图，OA＝2，S△ABC＝，则在直观图中，以下说法正确的是( )
A．O′A′＝2
B．△A′B′C′的面积为
C．OA边上的高为
D．O′A′边上的高为
√
√
√
(1)AC (2)C (3)ABC [(1)长方体是直四棱柱，A正确；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错误；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；平行六面体是棱柱，D错误．故选AC．
(2)如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，圆木的高AB＝24尺，BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后长度最小为BD＝＝＝26(尺)，即为2丈6尺．故选C．
(3)由题意知O′A′＝OA＝2，所以A正确；
在△ABC中，过B作BD∥y轴，交x轴于点D如图①，在直观图中的x′轴上取O′D′＝OD，
连接D′B′，如图②，则D′B′＝DB，
由于BD⊥AC于点D，则BD为原图形中OA边上的高，且BD＝2B′D′，S△ABC＝AC×BD＝，BD＝2B′D′＝，所以C正确；
在直观图中作B′E′⊥A′C′于点E′，B′D′＝B′E′＝，B′E′＝，所以D错误；
S△A′B′C′＝A′C′×B′E′＝，所以B正确．
故选ABC．]
【教用·备选题】
1．已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的轴截面面积为( )
A． B． C． D．
√
B [因为圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，所以圆锥的底面周长为1×＝，所以底面半径为，高为＝，所以轴截面面积为＝．故选B．]
2．多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：V(顶点数)＋F(表面数)－E(棱长数)＝2．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼
状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，
C240，C540等，则C84结构含有正六边形的个数为( )
A．12 B．24 C．30 D．32
√
D [设C84结构中形状为正五边形和正六边形的面各有x个和y个，
V＝84，F＝x＋y，E＝3×84÷2．
由欧拉公式V＋F－E＝2，可得84＋x＋y－3×84÷2＝2，即x＋y＝44．
又由多边形的边数可表示C84的棱数，
即(5x＋6y)÷2＝3×84÷2，即5x＋6y＝252，
由解得
故C84结构含有正六边形的个数为32．]
考点二 空间几何体的表面积与体积
考向1 表面积
[典例4] (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π B．48π
C．36π D．32π
√
(2)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为( )
A． B．
C． D．
√
(1)A (2)B [(1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π．故选A．
(2)设正六棱柱的底面边长为a，由题意知正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为a，正六棱锥的侧棱长为a，正六棱锥的侧面积
S1＝6×a＝a2，
正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以＝．故选B．]
考向2 体积
[典例5] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
√
(2)(2024·天津模拟)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O为四边形ACC1A1对角线的交点，设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1，四棱锥
O-BCC1B1的体积为V2，则V2∶V1＝( )
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶6 D．2∶3
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
√
(1)B (2)A (3) [(1)设圆柱和圆锥的底面半径均为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π．故选B．
(2)如图，连接OA1，A1B，
则V1＝，
＝V1，
所以＝V1，
又O为A1C的中点，
所以点A1到平面BCC1B1的距离是点O到平面BCC1B1的距离的2倍，则＝＝2V2，
所以V1＝2V2，即＝．故选A．
(3)法一：如图所示，设O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O．因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×
(22＋12＋)×＝．
法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2．连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面
ABCD，易知BO＝，所以PO＝
＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1
的高为，所以＝×
(22＋12＋)×＝．(或者V四棱锥P-ABCD＝×22×＝，
＝V四棱锥P-ABCD，所以＝
V四棱锥P-ABCD－＝V四棱锥P-ABCD＝＝．)]
名师点评 求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求解
等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)
[跟进训练]
2．(1)(2024·山东枣庄一模)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为( )
A．6π B．16π
C．26π D．32π
√
(2)(2024·北京西城二模)楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形．若AB＝6 cm，EF＝3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为( )
A．18 cm3 B．24 cm3
C．30 cm3 D．48 cm3
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为________．
√
1
(1)B (2)C (3)1 [(1)圆台的上底面圆半径r′＝1，下底面圆半径r＝3，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有解得所以圆台的侧面积S＝πl＝π×4＝16π．故选B．
(2)如图所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，
因为底面ABCD为正方形，所以AB∥DC，又AB 平面EFCD，DC 平面EFCD，所以AB∥平面EFCD，
又平面EFCD∩平面ABFE＝EF，所以AB∥EF，
因为G，H分别为AB，DC的中点，AB＝6 cm，EF＝3 cm，
所以EF∥GB，EF＝GB，则四边形EGBF为平行四边形，则EG∥FB，
同理EH∥FC，又GH∥BC，所以EGH-FBC为三棱柱，由题意，可得V四棱锥E-AGHD＝S矩形AGHD·h＝AD·AG·h＝×6×3×2＝12(cm3)．
又V三棱柱EGH-FBC＝3V三棱锥B-EGH＝3V三棱锥E-BGH＝3××V四棱锥E-AGHD＝·V四棱锥E-AGHD＝×12＝18(cm3)．
所以该多面体的体积为V＝V四棱锥E-AGHD＋V三棱柱EGH-FBC＝12＋18＝30(cm3)．故选C．
(3)如图，易知＝，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1-A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝，所以＝＝××D1A1＝×2＝1．]
【教用·备选题】
1．(2024·辽宁大连一模)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知底面圆的直径AB＝12 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝4 cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)为
( )
A．π B．π
C．π D．π
√
C [由题意可知，圆锥的母线长为＝2，
所以这个陀螺的表面积为π×62＋2π×6×6＋π×2×6＝π．
故选C．]
2．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
√
B [如图，过点E作EG⊥平面ABCD，垂足为点G，过点F作FH⊥平面ABCD，垂足为点H，过点G作PQ∥AD，交AB于点Q，交CD于点P，过点H作MN∥BC，交AB于点N，交CD于点M，连接EQ，EP，FN，FM．则AQ＋NB＝4－2＝2，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋·FH·S矩形NBCM＝(AQ＋NB)·AD·EG＋S△EPQ·NQ＝×2×3×1＋×3×1×2＝5(立方丈)．]
3．(2024·江苏常州模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为
( )
A． B．
C． D．8π
√
C [设圆锥的半径为R，母线长为l，则R＝1．设圆台的上底面半径为r，母线长为l1，则r＝．
由已知可得，＝＝，所以l＝6．
如图，作出圆锥、圆台的轴截面，
则有＝＝，所以l1＝4．
所以圆台的侧面积为π(R＋r)l1＝4×π＝π．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2025·陕西西安模拟)乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的直径是40 mm，则其表面积约为( )
A．3 000 mm2 B．4 000 mm2
C．5 000 mm2 D．6 000 mm2
13
课后作业(三十八) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
√
14
C [标准尺寸乒乓球的直径是40 mm，标准乒乓球的半径R＝20 mm，故表面积S＝4πR2≈5 000 mm2．故选C． ]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2024·广西来宾一模)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为( )
A．1 B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D [设该正四棱台的高为h，
又其上、下底面边长分别为1，2，体积为3，
则V＝h(12＋22＋)＝＝3，
所以h＝．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．水平放置的四边形ABCD的直观图是直角梯形A′B′C′D′，如图所示．其中B′C′＝A′B′＝1，则原平面图形的面积为( )
A． B．
C．3 D．6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [在直角梯形A′B′C′D′中，B′C′＝A′B′＝1，且∠A′D′C′＝45°，作A′P⊥D′C′于点P，
则四边形A′B′C′P为正方形，△A′PD′为等腰直角三角形，
故A′D′＝，D′C′＝2．
故原图形为直角梯形，且上底AB＝A′B′＝1，高AD＝2A′D′＝2，下底DC＝D′C′＝2．
其面积为×2＝3．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2024·山西晋城二模)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为( )
A．6π B．
C．6π D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意可得解得l＝6，r＝2，
则圆锥的高h＝＝4，
所以此圆锥的体积为h×πr2＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式拼接(不可折断，可以不全部用完)，不可能拼成( )
A．正三棱柱 B．正四棱锥
C．正四棱柱 D．正六棱锥
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D [正三棱柱中9条棱的长度可以相等，A成立；
正四棱锥中8条棱的长度可以相等，B成立；
正四棱柱中12条棱的长度可以相等，C成立；
因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，
所以正六棱锥的侧棱总比底边长，D不成立．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2023·天津高考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B [如图，因为PM＝PC，PN＝PB，所以＝＝＝＝，所以＝＝＝＝(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
7．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，将容器以BC为轴顺时针旋转，则( )
A．有水的部分始终是棱柱
B．水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变
C．棱A1D1始终与水面平行
D．当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时，
BE·BF不是定值
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
AC [对于A，有水的部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而AD∥BC，
并且BC始终与水面平行，即有FG∥BC，若点H在棱DD1上，由面面平行的性质知，
EH∥FG，若点H在棱CD上，EH∥BC，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确；
对于B，因为水面EFGH为矩形，边FG的长度不变，EF随旋转角的变化而变化，矩形EFGH的面积不是定值，B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于C，因为A1D1始终与BC平行，而BC始终与水面平行，并且A1D1不在水面所在平面内，即棱A1D1始终与水面平行，C正确；
对于D，当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时，有水部分的棱柱的底面为三角形，
而水的体积不变，高BC不变，则底面面积BE·BF不变，即BE·BF为定值，D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(2024·江苏徐州一模)已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为2，则( )
A．该圆台的体积为26π
B．该圆台外接球的表面积为π
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BC [由已知得圆台的上、下底面半径分别为1，3，
对于A，圆台的体积为π×2＝π，A错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于B，如图是圆台的轴截面ABCD，外接球球心为O，设外接球半径为R，
当球心在梯形ABCD内时，＝2，解得R2＝，
当球心在梯形ABCD外时(图略)，＝2，方程无解，
所以外接球的表面积为4πR2＝π，B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于C，用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面中，轴截面的周长最大，
又母线长为＝4，则最大周长为4＋4＋2＋6＝16，C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于D，如图，挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
π×4＋2π×1×＋π×＝26π＋2π，D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
9．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆，则图中阴影部分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5π
5π [该旋转体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以该旋转体的表面积为π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．(人教A版必修第二册P116练习T3改编)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____个面；若被截正方体的棱长是60 cm，那么该石凳的表面积是_________________cm2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14
10 800＋3 600
14 10 800＋3 600 [由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，石凳的8个面为三角形，6个面为正方形，所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是60 cm，那么石凳的表面积是
S＝8××30×30×sin 60°＋6×30×30＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
11．(2025·陕西安康模拟)随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高)．已知瓷器的高为38 cm，在高为20 cm处有最大直径(外径)为48 cm，则该瓷器的外表面积约为(π取3.14) ( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
A．6 270 cm2
B．6 275 cm2
C．6 280 cm2
D．6 300 cm2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C [由题意可知，球的半径为R＝24 cm，上球冠的高h1＝6 cm，下球冠的高h2＝4 cm，
设下底面圆的半径为r，则r2＝242－202＝176，
所以该瓷器的外表面积为4π×242－2π×24×6－2π×24×4＋π×176＝
2 000π≈6 280．
故选C．]
12．(2025·陕西西安模拟)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小，则盲盒内剩余空间的体积为( )
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [依题意，要将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，
如图，正四面体ABCD的棱长为8 cm，
所以该正方体的棱长为4 cm，盲盒内剩余空间
的体积为4××4×4×4＝(cm3)．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A．V3＝2V2
B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2
D．2V3＝3V1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
CD [设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝×2×2×2＝，V2＝×2×2×1＝．连接BD交AC于点M，连接EM，FM(图略)，则FM＝，EM＝，EF＝3，则FM2＋EM2＝EF2，故S△EMF＝＝，V3＝×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故选CD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
1 [设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线长l＝2r，由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r，
1
所以圆锥的体积为V1＝×π×r2×r＝πr3，
球的体积V2＝πR3＝π×＝πr3，
所以＝＝．
圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，
所以＝＝1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
谢 谢！课后作业(三十八) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．(2025·陕西西安模拟)乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的直径是40 mm，则其表面积约为( )
A．3 000 mm2 B．4 000 mm2
C．5 000 mm2 D．6 000 mm2
2．(2024·广西来宾一模)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为( )
A．1 B．
C． D．
3．水平放置的四边形ABCD的直观图是直角梯形A′B′C′D′，如图所示．其中B′C′＝A′B′＝1，则原平面图形的面积为( )
A． B．
C．3 D．6
4．(2024·山西晋城二模)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为( )
A．6π B．
C．6π D．
5．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式拼接(不可折断，可以不全部用完)，不可能拼成( )
A．正三棱柱 B．正四棱锥
C．正四棱柱 D．正六棱锥
6．(2023·天津高考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，将容器以BC为轴顺时针旋转，则( )
A．有水的部分始终是棱柱
B．水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变
C．棱A1D1始终与水面平行
D．当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时，BE·BF不是定值
8．(2024·江苏徐州一模)已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为2，则( )
A．该圆台的体积为26π
B．该圆台外接球的表面积为π
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为π
三、填空题
9．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆，则图中阴影部分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________．
10．(人教A版必修第二册P116练习T3改编)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(如图)，则该几何体共有________个面；若被截正方体的棱长是60 cm，那么该石凳的表面积是________cm2．
11．(2025·陕西安康模拟)随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高)．已知瓷器的高为38 cm，在高为20 cm处有最大直径(外径)为48 cm，则该瓷器的外表面积约为(π取3.14) ( )
A．6 270 cm2 B．6 275 cm2
C．6 280 cm2 D．6 300 cm2
12．(2025·陕西西安模拟)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小，则盲盒内剩余空间的体积为( )
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
13．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A．V3＝2V2 B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1
14．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是________．
课后作业(三十八)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [标准尺寸乒乓球的直径是40 mm，标准乒乓球的半径R＝20 mm，故表面积S＝4πR2≈5 000 mm2．故选C． ]
2．D [设该正四棱台的高为h，
又其上、下底面边长分别为1，2，体积为3，
则V＝h(12＋22＋)＝＝3，
所以h＝．故选D．]
3．C [在直角梯形A′B′C′D′中，B′C′＝A′B′＝1，且∠A′D′C′＝45°，作A′P⊥D′C′于点P，
则四边形A′B′C′P为正方形，△A′PD′为等腰直角三角形，
故A′D′＝，D′C′＝2．
故原图形为直角梯形，且上底AB＝A′B′＝1，高AD＝2A′D′＝2，下底DC＝D′C′＝2．
其面积为×2＝3．
故选C．]
4．B [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意可得解得l＝6，r＝2，
则圆锥的高h＝＝4，
所以此圆锥的体积为h×πr2＝．
故选B．]
5．D [正三棱柱中9条棱的长度可以相等，A成立；
正四棱锥中8条棱的长度可以相等，B成立；
正四棱柱中12条棱的长度可以相等，C成立；
因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，
所以正六棱锥的侧棱总比底边长，D不成立．
故选D．]
6．B [如图，因为PM＝PC，PN＝PB，所以＝
＝＝＝，所以＝＝＝＝(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B．
]
7．AC [对于A，有水的部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而AD∥BC，
并且BC始终与水面平行，即有FG∥BC，若点H在棱DD1上，由面面平行的性质知，
EH∥FG，若点H在棱CD上，EH∥BC，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确；
对于B，因为水面EFGH为矩形，边FG的长度不变，EF随旋转角的变化而变化，矩形EFGH的面积不是定值，B错误；
对于C，因为A1D1始终与BC平行，而BC始终与水面平行，并且A1D1不在水面所在平面内，即棱A1D1始终与水面平行，C正确；
对于D，当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时，有水部分的棱柱的底面为三角形，
而水的体积不变，高BC不变，则底面面积BE·BF不变，即BE·BF为定值，D错误．故选AC．]
8．BC [由已知得圆台的上、下底面半径分别为1，3，
对于A，圆台的体积为π×2＝π，A错误；
对于B，如图是圆台的轴截面ABCD，外接球球心为O，设外接球半径为R，
当球心在梯形ABCD内时，＝2，解得R2＝，
当球心在梯形ABCD外时(图略)，＝2，方程无解，
所以外接球的表面积为4πR2＝π，B正确；
对于C，用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面中，轴截面的周长最大，
又母线长为＝4，则最大周长为4＋4＋2＋6＝16，C正确；
对于D，如图，挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
π×4＋2π×1×＋π×＝26π＋2π，D错误．
故选BC．]
9．5π [该旋转体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以该旋转体的表面积为π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π．]
10．14 10 800＋3 600 [由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，石凳的8个面为三角形，6个面为正方形，所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是60 cm，那么石凳的表面积是
S＝8××30×30×sin 60°＋6×30×30＝．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．C [由题意可知，球的半径为R＝24 cm，上球冠的高h1＝6 cm，下球冠的高h2＝4 cm，
设下底面圆的半径为r，则r2＝242－202＝176，
所以该瓷器的外表面积为4π×242－2π×24×6－2π×24×4＋π×176＝2 000π≈6 280．
故选C．]
12．C [依题意，要将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，
如图，正四面体ABCD的棱长为8 cm，
所以该正方体的棱长为4 cm，盲盒内剩余空间的体积为4××4×4×4＝(cm3)．故选C．]
13．CD [设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝×2×2×2＝，V2＝×2×2×1＝．连接BD交AC于点M，连接EM，FM(图略)，则FM＝，EM＝，EF＝3，则FM2＋EM2＝EF2，故S△EMF＝＝，V3＝×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故选CD．]
14． 1 [设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线长l＝2r，由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r，
所以圆锥的体积为V1＝×π×r2×r＝πr3，
球的体积V2＝πR3＝π×＝πr3，
所以＝＝．
圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，
所以＝＝1．]
1 / 4
