第4课时 空间直线、平面的平行
[考试要求] 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与__________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与______平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条______平行(简记为“面面平行 线线平行”) a∥b
[常用结论]
1．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
2．与平行关系有关的性质
(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ( )
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )
(4)若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线都平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α
3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
考点一直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定
[典例1] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE．
[四字解题]
读 想 算 思
四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD的中点 线面平 行的证 明方法 线线 平行 取PC的中点M，证明AF∥EM 转化、化归
面面 平行 取CD的中点G，证明平面AFG∥平面PCE
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
线面平行性质定理的应用
[典例2] 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．
证明：FG∥平面AA1B1B．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b α，a α a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
[跟进训练]
1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
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考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例3] 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式] 1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
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2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
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证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．
[跟进训练]
2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l．
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考点三 平行关系的综合应用
[典例4] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三种平行关系的转化
提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．
[跟进训练]
3．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
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第4课时 空间直线、平面的平行
梳理·必备知识
1．此平面内 l∥a a?α l?α 相交 交线 l∥α l?β α∩β＝b
2．相交直线 a∥β b∥β a∩b＝P a?α b?α 相交 交线 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)√ (4)×
二、1．D [若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C．故选D．]
2．D [A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]
3．平行四边形 [∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG．同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．]
4． (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD．
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH．∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝BD，∴AC＝BD且AC⊥BD．]
考点一
考向1 典例1 证明：法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF．
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝CD．
又∵MF∥CD，且MF＝CD，
∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM．
又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
法二(应用面面平行的性质)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG．
∵F，G分别为PD，CD的中点，
∴FG∥PC．又E为AB的中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE綉GC，∴四边形AECG为平行四边形，∴AG∥EC．
又FG?平面PCE，AG?平面PCE，
PC?平面PCE，EC?平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE．
又FG，AG?平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE．又AF?平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
考向2 典例2 证明：在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG．
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG．
而BB1?平面AA1B1B，FG?平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
跟进训练
1．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE．
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE．
又因为OE?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE．
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m．
考点二
典例3 证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1．
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC．
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG．
拓展变式
1．解：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1．
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则＝1．
又由题设可知，
所以＝1，即＝1．
2．证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM．
∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1．
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1．
又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1．
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D．
跟进训练
2．证明：(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1．
又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1．
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C．
又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1．
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1．
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．
考点三
典例4 解：(1)证明：∵在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，
∴NQ∥CD，MQ∥PC．
又∵NQ，MQ?平面PCD，CD，PC?平面PCD，
∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD．
又NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PCD．
(2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且．
证明如下：
取PD的中点E，连接NE，CE，AE，
∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綉AD，
∴NE綉MC，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN∥CE．
∵MN?平面ACE，CE?平面ACE，
∴MN∥平面ACE，且．
跟进训练
3．解：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG．
因为HG?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD．
又因为EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．
又因为AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH．
(2)设EF＝x(0因为EF∥AB，FG∥CD，所以，
则，所以FG＝6－x．
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH的周长l＝2＝12－x．
又因为0即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．
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第七章
立体几何与空间向量
第4课时 空间直线、平面的平行
[考试要求] 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
链接教材·夯基固本
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与__________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
此平面内
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面_____，那么该直线与______平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
相交
交线
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
相交直线
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条______平行(简记为“面面平行 线线平行”) a∥b
相交
交线
[常用结论]
1．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
2．与平行关系有关的性质
(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ( )
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． ( )
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面． ( )
(4)若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α． ( )
×
×
√
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D [若α∩β＝l，a∥l，a α，a β，a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a α，a∥l，b β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C．故选D．]
2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线都平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α
√
D [A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]
3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________．
平行四边形
平行四边形 [∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG．同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]
4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形．
AC＝BD
AC＝BD且AC⊥BD
(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD．
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH．∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，∴AC＝BD且AC⊥BD．]
考点一 直线与平面平行的判定与性质
考向1 直线与平面平行的判定
[典例1] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE．
典例精研·核心考点
[四字解题]
读 想 算 思
四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD的中点 线面平 行的证 明方法 线线 平行 取PC的中点M，证明AF∥EM 转化、
化归
面面 平行 取CD的中点G，证明平面AFG∥平面PCE
[证明] 法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF．
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝CD．
又∵MF∥CD，且MF＝CD，
∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM．
又∵AF 平面PCE，EM 平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
法二(应用面面平行的性质)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG．
∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC．又E为AB的中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE綉GC，∴四边形AECG为平行四边形，∴AG∥EC．
又FG 平面PCE，AG 平面PCE，
PC 平面PCE，EC 平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE．
又FG，AG 平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE．又AF 平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
考向2 线面平行性质定理的应用
[典例2] 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．
证明：FG∥平面AA1B1B．
[证明] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG．
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG．
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
名师点评 判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b α，a α a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
[跟进训练]
1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE．
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE．
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE．
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m．
考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例3] 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG．
[证明] (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1．
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC．
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG．
[拓展变式] 1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
解：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1．
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则＝＝1．
又由题设可知＝，
所以＝1，即＝1．
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
[证明] 如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM．
∵A1B 平面A1BD1，DM 平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1．
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1．
又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1．
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM 平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D．
名师点评 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．
[跟进训练]
2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l．
[证明] (1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1．
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1．
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C．
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1．
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1．
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．
【教用·备选题】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
[证明] (1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又∵F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF．
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，由题意得平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，
∴A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，
∴H为BC的中点．
考点三 平行关系的综合应用
[典例4] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，
∴NQ∥CD，MQ∥PC．
又∵NQ，MQ 平面PCD，CD，PC 平面PCD，
∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD．
又NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PCD．
(2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且＝．
证明如下：
取PD的中点E，连接NE，CE，AE，
∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綉AD，
∴NE綉MC，∴四边形MCEN是平行四边形，
∴MN∥CE．
∵MN 平面ACE，CE 平面ACE，
∴MN∥平面ACE，且＝．
名师点评 三种平行关系的转化
提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．
[跟进训练]
3．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，
所以EF∥HG．
因为HG 平面ABD，EF 平面ABD，所以EF∥平面ABD．
又因为EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．
又因为AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH．
(2)设EF＝x(0因为EF∥AB，FG∥CD，所以＝，
则＝＝＝1－，所以FG＝6－x．
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH的周长l＝2＝12－x．
又因为0即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．
【教用·备选题】
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB．
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH为平行四边形，
所以CE∥DH，又DH 平面PAD，CE 平面PAD，因此CE∥平面PAD．
(2)存在，当点F为AB的中点时，平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
则AF＝AB．因为CD＝AB，所以AF＝CD．
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD．
又AD 平面PAD，CF 平面PAD，
所以CF∥平面PAD．
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，CE，CF 平面CEF，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024·浙江杭州质检)已知α，β是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是( )
A．平面α内存在无数条直线与β平行
B．存在直线l与α，β所成的角相等
C．存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β
D．平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等
13
课后作业(四十一) 空间直线、平面的平行
√
14
C [对于A，如果α∩β＝l，则在α内与l平行的直线有无数条，这无数条直线都与平面β平行，但此时α不平行于β，故A错误；
对于B，如果α∩β＝m，在空间内必存在直线l α，l β，且l与m平行，此时l也与两个平面平行，即直线l与α，β所成的角都等于0°，故B错误；
对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，若γ∥α且γ∥β，则也一定有α∥β，则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，”故C正确；
对于D，当α∥β时，α内必存在不共线的三个点到β的距离相等，但当α∩β＝m时，同样可以在α内找到不共线的三个点到β的距离相等，故D错误，故选C．]
题号
1
3
5
2
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11
12
13
14
2．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥C1E，则四边形AEC1F的形状是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
题号
1
3
5
2
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13
14
√
A [∵AF∥C1E，∴A，F，C1，E四点共面．
∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
平面ABB1A1∩平面AEC1F＝AE，
平面CDD1C1∩平面AEC1F＝C1F，
∴AE∥C1F，
∴四边形AEC1F为平行四边形．故选A．]
题号
1
3
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13
14
3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝( )
A． B． C． D．
题号
1
3
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2
4
6
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13
14
√
D [连接AC交BE于点G，连接FG．因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝．又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即＝＝，所以＝．
故选D．]
题号
1
3
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2
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12
13
14
4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
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14
√
C [由AB∥α∥β，易得＝，
即＝，所以BD＝＝＝．故选C．]
5．如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
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14
√
A B
C D
D [对于A，如图1，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，MN 平面ABC，AC 平面ABC，
所以直线MN∥平面ABC；
题号
1
3
5
2
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13
14
对于B，如图2，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，MN 平面ABC，AD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
题号
1
3
5
2
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12
13
14
对于C，如图3，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，MN 平面ABC，BD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
题号
1
3
5
2
4
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11
12
13
14
对于D，如图4，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不满足直线MN∥平面ABC．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
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8
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11
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13
14
6．(2024·河南周口期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则( )
A．AC1＝4 B．BC1＝4
C．AB1＝6 D．B1C＝6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
√
B [如图，
取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，
由MD∥A1B1∥AB，DE∥BC1，
又MD 平面ABC1，AB 平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，
同理可得DE∥平面ABC1，又MD∩DE＝D，MD，DE 平面 MDE，
所以平面MDE∥平面ABC1．又MN∥平面ABC1，
故点N的轨迹为线段DE，又由DE＝BC1＝2，可得BC1＝4．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
14
二、多项选择题
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则( )
A．OM∥PA
B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA
D．OM∥平面PBA
题号
1
3
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2
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14
√
√
BC [由题意知，OM是△BPD的中位线，
所以OM∥PD，又PD∩PA＝P，故A不正确；
因为PD 平面PCD，OM 平面PCD，
所以OM∥平面PCD，故B正确；
同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；
OM与平面PBA相交于点M，故D不正确．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则( )
A．AC∥平面BA1C1
B．D1O∥平面BA1C1
C．平面ACD1∥平面BA1C1
D．平面ODD1∥平面BA1C1
题号
1
3
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2
4
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11
12
13
14
√
√
√
ABC [对于A，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，
所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1．
又A1C1 平面BA1C1，AC 平面BA1C1，
所以AC∥平面BA1C1，故A正确；
对于B，连接B1D1交A1C1于点O1，连接BO1，
由正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为BD，B1D1的中点，
因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，
则OB∥O1D1且OB＝O1D1，
题号
1
3
5
2
4
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13
14
所以四边形OBO1D1为平行四边形，所以OD1∥BO1，
又OD1 平面BA1C1，BO1 平面BA1C1，
所以D1O∥平面BA1C1，故B正确；
对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，
又BC1 平面BA1C1，AD1 平面BA1C1，
所以AD1∥平面BA1C1，
又由A项知AC∥平面BA1C1，且AC∩AD1＝A，AC，AD1 平面ACD1，
所以平面ACD1∥平面BA1C1，故C正确；
题号
1
3
5
2
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13
14
对于D，平面ODD1即为平面BDD1B1，
而平面BDD1B1与平面BA1C1相交，
所以平面ODD1与平面BA1C1相交，故D错误．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
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14
三、填空题
9．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ．
可以填入的条件有________．(填序号)
题号
1
3
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2
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14
①或③
①或③ [由面面平行的性质定理可知，①正确；通过画图(图略)知②错误；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以n∥m，③正确．]
题号
1
3
5
2
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14
10．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________________时，平面D1BQ∥平面PAO．
题号
1
3
5
2
4
6
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14
Q为CC1的中点
Q为CC1的中点 [如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO．
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO．
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO．
故Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．]
题号
1
3
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2
4
6
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四、解答题
11．如图，四边形ABCD为长方形，E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l．
证明：(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l ．
题号
1
3
5
2
4
6
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14
[证明] (1)取PB的中点G，连接FG，EG，
因为E，F分别为AD，PC的中点，
所以FG∥CB，FG＝BC．
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE．
因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE．
(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l．
题号
1
3
5
2
4
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12．(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点．
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离．
题号
1
3
5
2
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13
14
解：(1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC．
又CF 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF．
(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC＝，
题号
1
3
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2
4
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14
又AD＝，故△ADM是等腰三角形，由(1)知四边形EFCM为平行四边形，则EM＝FC＝2，由题意知，DM＝DE＝2，所以△EDM是等边三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA＝＝3，OE＝＝，又AE＝2，所以OA2＋OE2＝AE2，故OA⊥OE．
又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面EDM．
易知S△EDM＝×2×＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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14
在△ADE中，cos ∠DEA＝＝，
所以sin ∠DEA＝，S△ADE＝×2×2＝．
设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE＝VA-EDM，得S△ADE·d＝S△EDM·OA，得d＝，
故点M到平面ADE的距离为．
题号
1
3
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2
4
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14
13．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
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2
4
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14
√
B [取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示．
因为点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
所以AM∥A1E，MN∥EF，
又AM 平面A1EF，A1E 平面A1EF，
所以AM∥平面A1EF，
同理MN∥平面A1EF，
题号
1
3
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2
4
6
8
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14
又AM∩MN＝M，AM，MN 平面AMN，
所以平面AMN∥平面A1EF．
因为动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，
且PA1∥平面AMN，所以点P的轨迹是线段EF．
因为A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，所以A1O⊥EF，
所以当点P与点O重合时，PA1的长度取得最小值A1O，
题号
1
3
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2
4
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A1O＝＝，
当点P与点E(或点F)重合时，PA1的长度取得最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝．
所以PA1的长度范围为 ．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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12
13
14
14．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
12
13
14
8
8 [如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×(2＋2)＝8．]
题号
1
3
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谢 谢！课后作业(四十一) 空间直线、平面的平行
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、单项选择题
1．(2024·浙江杭州质检)已知α，β是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是( )
A．平面α内存在无数条直线与β平行
B．存在直线l与α，β所成的角相等
C．存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β
D．平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等
2．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥C1E，则四边形AEC1F的形状是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝( )
A． B． C． D．
4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )
A． B．
C． D．
5．如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是( )
A B
C D
6．(2024·河南周口期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则( )
A．AC1＝4 B．BC1＝4
C．AB1＝6 D．B1C＝6
二、多项选择题
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则( )
A．OM∥PA B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则( )
A．AC∥平面BA1C1
B．D1O∥平面BA1C1
C．平面ACD1∥平面BA1C1
D．平面ODD1∥平面BA1C1
三、填空题
9．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ．
可以填入的条件有________．(填序号)
10．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，平面D1BQ∥平面PAO．
四、解答题
11．如图，四边形ABCD为长方形，E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l．
证明：(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l ．
12．(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点．
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离．
13．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为( )
A． B．
C． D．
14．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
课后作业(四十一)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [对于A，如果α∩β＝l，则在α内与l平行的直线有无数条，这无数条直线都与平面β平行，但此时α不平行于β，故A错误；
对于B，如果α∩β＝m，在空间内必存在直线l α，l β，且l与m平行，此时l也与两个平面平行，即直线l与α，β所成的角都等于0°，故B错误；
对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，若γ∥α且γ∥β，则也一定有α∥β，则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，”故C正确；
对于D，当α∥β时，α内必存在不共线的三个点到β的距离相等，但当α∩β＝m时，同样可以在α内找到不共线的三个点到β的距离相等，故D错误，故选C．]
2．A [∵AF∥C1E，∴A，F，C1，E四点共面．
∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
平面ABB1A1∩平面AEC1F＝AE，
平面CDD1C1∩平面AEC1F＝C1F，
∴AE∥C1F，
∴四边形AEC1F为平行四边形．故选A．]
3．D [连接AC交BE于点G，连接FG．因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝．又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即＝＝，所以＝．
故选D．]
4．C [由AB∥α∥β，易得＝，
即＝，所以BD＝＝＝．故选C．]
5．D [对于A，如图1，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，MN 平面ABC，AC 平面ABC，
所以直线MN∥平面ABC；
对于B，如图2，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，MN 平面ABC，AD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
对于C，如图3，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，MN 平面ABC，BD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
对于D，如图4，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不满足直线MN∥平面ABC．
故选D．]
6．B [如图，
取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，
由MD∥A1B1∥AB，DE∥BC1，
又MD 平面ABC1，AB 平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，
同理可得DE∥平面ABC1，又MD∩DE＝D，MD，DE 平面 MDE，
所以平面MDE∥平面ABC1．又MN∥平面ABC1，
故点N的轨迹为线段DE，又由DE＝BC1＝2，可得BC1＝4．故选B．]
7．BC [由题意知，OM是△BPD的中位线，
所以OM∥PD，又PD∩PA＝P，故A不正确；
因为PD 平面PCD，OM 平面PCD，
所以OM∥平面PCD，故B正确；
同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；
OM与平面PBA相交于点M，故D不正确．故选BC．]
8．ABC [对于A，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，
所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1．
又A1C1 平面BA1C1，AC 平面BA1C1，
所以AC∥平面BA1C1，故A正确；
对于B，连接B1D1交A1C1于点O1，连接BO1，
由正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为BD，B1D1的中点，
因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，
则OB∥O1D1且OB＝O1D1，
所以四边形OBO1D1为平行四边形，所以OD1∥BO1，
又OD1 平面BA1C1，BO1 平面BA1C1，
所以D1O∥平面BA1C1，故B正确；
对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，
又BC1 平面BA1C1，AD1 平面BA1C1，
所以AD1∥平面BA1C1，
又由A项知AC∥平面BA1C1，且AC∩AD1＝A，AC，AD1 平面ACD1，
所以平面ACD1∥平面BA1C1，故C正确；
对于D，平面ODD1即为平面BDD1B1，
而平面BDD1B1与平面BA1C1相交，
所以平面ODD1与平面BA1C1相交，故D错误．
故选ABC．]
9．①或③ [由面面平行的性质定理可知，①正确；通过画图(图略)知②错误；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以n∥m，③正确．]
10．Q为CC1的中点 [如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO．
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO．
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO．
故Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．]
11．证明：(1)取PB的中点G，连接FG，EG，
因为E，F分别为AD，PC的中点，
所以FG∥CB，FG＝BC．
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE．
因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE．
(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l．
12．解：(1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC．
又CF 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF．
(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC＝，
又AD＝，故△ADM是等腰三角形，由(1)知四边形EFCM为平行四边形，则EM＝FC＝2，由题意知，DM＝DE＝2，所以△EDM是等边三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA＝＝3，OE＝＝，又AE＝2，所以OA2＋OE2＝AE2，故OA⊥OE．
又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面EDM．
易知S△EDM＝×2×＝．
在△ADE中，cos ∠DEA＝＝，
所以sin ∠DEA＝，S△ADE＝×2×2＝．
设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE＝VA-EDM，得S△ADE·d＝S△EDM·OA，得d＝，
故点M到平面ADE的距离为．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．B [取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示．
因为点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
所以AM∥A1E，MN∥EF，
又AM 平面A1EF，A1E 平面A1EF，
所以AM∥平面A1EF，
同理MN∥平面A1EF，
又AM∩MN＝M，AM，MN 平面AMN，
所以平面AMN∥平面A1EF．
因为动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，
且PA1∥平面AMN，所以点P的轨迹是线段EF．
因为A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，所以A1O⊥EF，
所以当点P与点O重合时，PA1的长度取得最小值A1O，
A1O＝＝，
当点P与点E(或点F)重合时，PA1的长度取得最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝．
所以PA1的长度范围为 ．故选B．]
14．8 [如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×(2＋2)＝8．
]
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