猜想归纳
猜想归纳：归纳猜想题是指给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），通过学生认真阅读、仔细观察、综合分析、顺势归纳和大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。这一过程体现了总结归纳的数学思想，是人们认识新生事物的一般过程，也是人们探索发现新知的重要手段，有利于培养创造性思维能力。
猜想归纳在不同类型题目中的使用思路
数式规律中的猜想归纳
1.观察数式规律：对给定的数式进行仔细观察，关注数式的结构、符号、数值等方面。例如在观察数列时，可能要分析数字的增减变化、差值、倍数关系等。如数列1，3，5，7，9，11，可发现后一个数与前一个数的差是2
2.归纳总结规律：在观察到规律后，对数式进行变形、替换、推导等操作。像上述数列1，3，5，7，9，11，可改写为1，1+2，1+2×2，1+2×3，1+2×4，1+2×5，进而得出第n个数为1+2×(n-1)=2n-1
3.提出猜想：基于归纳总结的规律，提出一个合理推断。例如对于数式1+2+2 + +2 ，通过观察和归纳后，可猜想其计算方法与等比数列相关。
4.证明或验证猜想：通过进一步推导、代数运算、数学归纳法等手段来证明或验证猜想。如计算1+2+2 + +2 时，设S=1+2+2 + +2 ，①×2得2S=2+2 +2 + +2 ，② - ①得S=2 -1，从而验证了计算方法的正确性
图案规律中的猜想归纳
1.观察图案：仔细观察给出图案的形状、颜色、大小等特征，尝试找出变化规律。例如在广场地砖拼图案问题中，观察每次拼成图案中地砖数量的变化情况
2.提出猜想：根据观察到的规律，提出能描述图案变化规律的猜想。如第1次拼成形图案有4块地砖（4 = 2×(1×2)），第2次有12块地砖（12 = 2×(2×3)），第3次有24块地砖（24 = 2×(3×4)），可猜想第n次拼成的图案中地砖数为2×n(n + 1)=2n + 2n
3.验证猜想：通过计算或推理来验证猜想的正确性。如果猜想的描述与图案的实际规律一致，那么猜想就是正确的。如按照上述猜想计算第4次拼成图案的地砖数为2×4×(4 + 1)=40块，与实际情况相符，验证了猜想的正确性
几何图形相关的猜想归纳
1.认清图形：拿到题目后，明确所求的图形是什么样的，避免出现误解。例如在多个等边三角形排列求面积问题中，要准确确定所求三角形的具体形状和位置
2.分析共性和联系：观察这些图形之间的共性和联系，比如在求多个等边三角形组成图形的面积时，发现所求三角形高相等，进而将问题转化为底边的问题。通过分析图形中线段的平行关系等，得出底边的规律
3.总结规律并应用：根据分析得到的共性和联系，总结出一般性的规律，并应用到具体问题的求解中。如在多个等边三角形排列问题中，根据总结出的规律求出相应三角形的面积表达式
一．选择题（共10小题）
1．（2025 九龙坡区校级二模）用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（ ）块正六边形瓷砖．
A．81 B．91 C．96 D．187
【分析】根据所给图形，依次求出图形中六边形瓷砖的块数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
铺设一环需要的六边形瓷砖块数为：1；
铺设二环需要的六边形瓷砖块数为：7＝1+1×6；
铺设三环需要的六边形瓷砖块数为：19＝1+1×6+2×6；
铺设四环需要的六边形瓷砖块数为：37＝1+1×6+2×6+3×6；
…，
所以铺设n环需要的六边形瓷砖块数为：1+1×6+2×6+…+6（n﹣1）＝3n（n﹣1）+1．
当n＝6时，
3n（n﹣1）+1＝3×6×5+1＝91（块），
即铺设六环需要的六边形瓷砖块数为91块．
故选：B．
2．（2025 献县模拟）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，﹣2，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A．58 B．63 C．68 D．73
【分析】根据题意，依次求出每次操作后所产生的新数串的所有数之和，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
当开始的数串为2，9，7时，
操作第1次后所产生的新数串为：2，7，9，﹣2，7，它们的和为：2+7+9﹣2+7＝23；
操作第2次后所产生的新数串为：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，它们的和为：2+5+7+2+9﹣11﹣2+9+7＝28；
操作第3次后所产生的新数串为：2，3，5，2，7，﹣5，2，7，9，﹣20，﹣11，9，﹣2，11，9，﹣2，7，它们的和为：2+3+5+2+7﹣5+2+7+9﹣20﹣11+9﹣2+11+9﹣2+7＝33；
…，
所以操作第n次后所产生的新数串的和为5n+18．
当n＝10时，
5n+18＝5×10+18＝68，
即操作第10次后所产生的新数串的和为68．
故选：C．
3．（2025 重庆二模）如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）
A．30 B．34 C．38 D．42
【分析】根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中三角形的个数为：2＝1×4﹣2；
第②个图案中三角形的个数为：6＝2×4﹣2；
第③个图案中三角形的个数为：10＝3×4﹣2；
…，
所以第n个图案中三角形的个数为（4n﹣2）个．
当n＝11时，
4n﹣2＝4×11﹣2＝42（个），
即第11个图案中三角形的个数为42个．
故选：D．
4．（2025 龙湖区一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷等，当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十五烷的化学式为（ ）
A．C15H31 B．C15H32 C．C15H33 D．C15H34
【分析】根据所给图形，依次求出分子结构模型对应的化学式，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
甲烷的化学式为CH4，
乙烷的化学式为C2H6，
丙烷的化学式为C3H8，
…，
所以n烷的化学式为 nH2n+2（n为大于10的整数）．
当n＝15时，
十五烷的化学式为C15H32．
故选：B．
5．（2025 沙坪坝区校级一模）小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【分析】根据所给图形，依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中，棋子的数量为5＝1×4+1；
第2个图案中，棋子的数量为9＝2×4+1；
第3个图案中，棋子的数量为13＝3×4+1；
…，
所以第n个图案中，棋子的数量为（4n+1）个．
当n＝8时，
4n+1＝4×8+1＝33（个），
即第8个图案中，棋子的数量为33个．
故选：A．
6．（2025 彭水县模拟）有n个依次排列的算式：第1项是a2，第2项是a2+2a+1，用第2项减去第1项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第2项与b2相加作为第3项，将b2加2记为b3，将第3项与b3相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①b5＝2a+9；②若第6项与第5项之差为4057，则a＝2024；③当n＝k时，b1+b2+b3+b4+ +bk＝2ak+k2；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及b1，b2，b3，…，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第1项为：a2，
第2项为：a2+2a+1＝（a+1）2，
b1＝（a+1）2﹣a2＝2a+1，
b2＝b1+2＝2a+3，
第3项为：a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2，
b3＝b2+2＝2a+5，
第4项为：a2+4a+4+2a+5＝（a+3）2，
…，
以此类推，
第n项为：（a+n﹣1）2，bn＝2a+2n﹣1（n为正整数）．
当n＝5时，
b5＝2a+9．
故①正确．
第6项与第5项之差可表示为：（a+5）2﹣（a+4）2，
则（a+5）2﹣（a+4）2＝4057，
解得a＝2024．
故②正确．
当n＝k时，
b1+b2+b3+…+bk
＝2a+1+2a+3+2a+5+…+2a+2k﹣1
＝2ak
＝2ak+k2．
故③正确．
故选：D．
7．（2025 福山区一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是90个，请问这是第几种化合物的分子结构？（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
【分析】根据所给图形，依次求出化合物分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为：4＝1×2+2；
第2种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为：6＝2×2+2；
第3种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为：8＝3×2+2；
…，
所以第n种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为（2n+2）个．
令2n+2＝90，
解得n＝44，
即第44种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为90个．
故选：C．
8．（2025 石家庄一模）已知直线l1：y＝（k﹣1）x+k+1和直线l2：y＝kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．当k＝2，3，4，…，2025时，设直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，…，S2025，则S2+S3+S4+ +S2025的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据题意，依次求出S2，S3，S4，…，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝﹣1代入y＝（k﹣1）x+k+1得，y＝2，
所以直线l1过定点（﹣1，2）；
将x＝﹣1代入y＝kx+k+2得，y＝2，
所以直线l2过定点（﹣1，2），
则直线l1与直线l2相交于点（﹣1，2）．
当k＝2时，
直线l1的函数解析式为y＝x+3，直线l2的函数解析式为y＝2x+4，
则直线l1和l2与x轴的交点坐标分别为（﹣3，0）和（﹣2，0），
所以S2．
同理可得，，…，
所以，
所以S2+S3+S4+ +S2025
．
故选：D．
9．（2025 双柏县一模）观察下列单项式：3x，﹣6x2，9x3，﹣12x4，15x5，﹣18x6…，则第n个单项式为（ ）
A．3nxn B．﹣3nxn
C．（﹣1）n 3nxn D．（﹣1）n+1 3nxn
【分析】根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
所给单项式的系数依次为3，﹣6，9，﹣12，15，﹣18，…，
所以第n个单项式的系数可表示为：（﹣1）n+1 3n；
所给单项式的次数依次为1，2，3，4，5，6，…，
所以第n个单项式的次数可表示为：n，
所以第n个单项式可表示为：（﹣1）n+1 3nxn．
故选：D．
10．（2025 南岗区一模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．如果我们规定一个新数“i”使它满足i2＝﹣1（即x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1， ，那么i2025＝（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【分析】根据题意，发现in运算结果的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i ，
所以从i1开始，运算结果按i，﹣1，﹣i，1循环．
又因为2025÷4＝506余1，
所以i2025＝i．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．（2025 恩施市一模）如图，在平面直角坐标系Oxy中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2025＝ ．
【分析】根据题意，依次求出S1，S2，S3，…，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∵△P1OA1是等腰直角三角形，且直角顶点P1（3，3），
∴．
∵△P2A1A2是等腰直角三角形，
∴令点P2的坐标为（6+a，a）．
将点P2的坐标代入y得，
，
解得a，
∴．
同理可得，，…，
所以（n为正整数）．
当n＝2025时，
．
故答案为：．
12．（2025 桓台县二模）已知一次函数的图象与y轴相交于点A1，以OA1为边作等边△OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作y轴的平行线与该一次函数的图象交于点A2，与x轴交于点C1，以C1A2为边作等边△C1A2B2（点B2在点B1的右边），以同样的方式依次作等边△C2A3B3，等边△C3A4B4， ，则点A2025的纵坐标为 ．
【分析】根据题意，依次求出点A1，A2，A3，…，的纵坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝0代入得，
y＝1，
所以点A1的纵坐标为1．
因为△OA1B1是等边三角形，
所以点B1的横坐标为，
将x代入得，
y，
所以点A2的纵坐标为．
同理可得，点A3的纵坐标为，点A4的纵坐标为，…，
所以点An的纵坐标可表示为．
当n＝2025时，
点A2025的纵坐标为．
故答案为：．
13．（2025 潍坊一模）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…依次类推，点A2025的坐标为 （﹣22025，0） ．
【分析】根据△AOB的变换方式，可得出每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，再根据△AOB的边长变化规律即可解决问题．
【解答】解：因为360°÷60°＝6，
所以每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现．
又因为2025÷6＝337余3，
所以第2025次变换后点A的对应点与点A3在一条方向线上，即在x轴的负半轴上．
因为A（1，0），
所以△AOB的边长为1，
则根据变换方式可知，△A1OB1的边长为2，△A2OB2的边长为22，△A3OB3的边长为23，…，△AnOBn的边长为2n．
所以△A2025OB2025的边长为22025，
所以点A2025的坐标为（﹣22025，0）．
故答案为：（﹣22025，0）．
14．（2025 雁塔区校级模拟）围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．如图所示的棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中黑棋和白棋的总个数为9，第②个图形中黑棋和白棋的总个数为14，第③个图形中黑棋和白棋的总个数为19，…，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋和白棋的总个数为 44 ．
【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑棋和白棋的总个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中黑棋和白棋的总个数为：9＝1×5+4；
第②个图形中黑棋和白棋的总个数为：14＝2×5+4；
第③个图形中黑棋和白棋的总个数为：19＝3×5+4；
…，
所以第n个图形中黑棋和白棋的总个数为（5n+4）个．
当n＝8时，
5n+4＝5×8+4＝44（个），
即第⑧个图形中黑棋和白棋的总个数为44个．
故答案为：44．
三．解答题（共4小题）
15．（2025 包河区二模）某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图5中，六月雪盆景数量为 12 ，九里香盆景数量为 30 ；
（2）若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中六月雪盆景及九里香盆景的数量，发现规律即可解决问题．
（2）结合（1）中发现的规律进行计算即可．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
图1中，六月雪的盆数为4＝1×2+2，九里香的盆数为2＝1×2；
图2中，六月雪的盆数为6＝2×2+2，九里香的盆数为6＝2×3；
图3中，六月雪的盆数为8＝3×2+2，九里香的盆数为12＝3×4；
…，
所以图n中，六月雪的盆数为（2n+2）盆，九里香的盆数为n（n+1）盆．
当n＝5时，
2n+2＝2×5+2＝12（盆），n（n+1）＝5×6＝30（盆），
即图5中，六月雪的盆数为12盆，九里香的盆数为30盆．
故答案为：12，30．
（2）由（1）知，
令2n+2+n（n+1）＝132，
解得n＝10（舍负），
则2n+2＝22，n（n+1＝）110，
即该图案中六月雪的盆数为22盆，九里香的盆数为110盆．
16．（2025 蜀山区二模）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去……
（1）第4次操作后共得到等边三角形的个数为 13 ，第n次操作后共得到等边三角形的个数为 3n+1 ；
（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，求：
（i）a3＝ ；
（ii）1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025＝ ．
【分析】（1）根据所给操作方式，依次求出所得等边三角形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据题意，依次求出所得最小等边三角形的边长，发现规律并进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
第1次操作后共得到的等边三角形的个数为：4＝1×3+1；
第2次操作后共得到的等边三角形的个数为：7＝2×3+1；
第3次操作后共得到的等边三角形的个数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n次操作后共得到的等边三角形的个数为（3n+1）个．
当n＝4时，
3n+1＝3×4+1＝13（个），
即第4次操作后共得到的等边三角形的个数为13个．
故答案为：13，3n+1．
（2）（i）由题知，
因为，，
所以．
故答案为：．
（ii）由上述过程可知，
a1+a2+a3+…+a2025．
令S，
则，
两式相减得，
，
即，
所以1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025．
故答案为：．
17．（2025 安徽模拟）已知图1中有1个等边三角形，记作a1＝1；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作a2＝5；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作a3＝9；……．按照此规律解答下列问题：
（1）图4中有 13 个等边三角形，记作a4＝ 13 ；
（2）图n中有 （4n﹣3） 个等边三角形，记作an＝ 4n﹣3 ；（结果用含n的代数式表示，不用说理）
（3）在求1+2+3+…+100的值时，可令s＝1+2+3+…+100，则s＝100+99+98+…+1，∴2s101×100，∴s＝1+2+3+…+1005050，按此方法计算a1+a2+a3+ +an（结果用含n的代数式表示）．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图中等边三角形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据题中所给计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
图1中等边三角形的个数为：1＝1×4﹣3；
图2中等边三角形的个数为：5＝2×4﹣3；
图3中等边三角形的个数为：9＝3×4﹣3；
…，
所以图n中等边三角形的个数为（4n﹣3）个，即an＝4n﹣3．
当n＝4时，
4n﹣3＝4×4﹣3＝13（个），
则图4中等边三角形的个数为13个，即a4＝13．
故答案为：13，13．
（2）由（1）知，
图n中等边三角形的个数为（4n﹣3）个，即an＝4n﹣3．
故答案为：（4n﹣3），4n﹣3．
（3）由题知，
a1+a2+a3+ +an＝1+5+9+…+4n﹣3．
令s＝1+5+9+…+4n﹣3，
则s＝4n﹣3+4n﹣7+4n﹣11+…+1，
所以2sn（4n﹣2），
所以s＝n（2n﹣1）＝2n2﹣n，
故a1+a2+a3+ +an＝2n2﹣n．
18．（2025 蜀山区校级一模）观察下列各个式子：
；
；
；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1） + ；
（2） + （用含n的式子填空），并证明该等式．
【分析】（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
因为；
；
；
…，
则用含n的式子可表示为：．
当n＝5时，
．
故答案为：．
（2）由（1）知，
．
证明如下：
右边
＝左边，
所以此等式成立．
故答案为：．
(
1
)猜想归纳
猜想归纳：归纳猜想题是指给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），通过学生认真阅读、仔细观察、综合分析、顺势归纳和大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。这一过程体现了总结归纳的数学思想，是人们认识新生事物的一般过程，也是人们探索发现新知的重要手段，有利于培养创造性思维能力。
猜想归纳在不同类型题目中的使用思路
数式规律中的猜想归纳
1.观察数式规律：对给定的数式进行仔细观察，关注数式的结构、符号、数值等方面。例如在观察数列时，可能要分析数字的增减变化、差值、倍数关系等。如数列1，3，5，7，9，11，可发现后一个数与前一个数的差是2
2.归纳总结规律：在观察到规律后，对数式进行变形、替换、推导等操作。像上述数列1，3，5，7，9，11，可改写为1，1+2，1+2×2，1+2×3，1+2×4，1+2×5，进而得出第n个数为1+2×(n-1)=2n-1
3.提出猜想：基于归纳总结的规律，提出一个合理推断。例如对于数式1+2+2 + +2 ，通过观察和归纳后，可猜想其计算方法与等比数列相关。
4.证明或验证猜想：通过进一步推导、代数运算、数学归纳法等手段来证明或验证猜想。如计算1+2+2 + +2 时，设S=1+2+2 + +2 ，①×2得2S=2+2 +2 + +2 ，② - ①得S=2 -1，从而验证了计算方法的正确性
图案规律中的猜想归纳
1.观察图案：仔细观察给出图案的形状、颜色、大小等特征，尝试找出变化规律。例如在广场地砖拼图案问题中，观察每次拼成图案中地砖数量的变化情况
2.提出猜想：根据观察到的规律，提出能描述图案变化规律的猜想。如第1次拼成形图案有4块地砖（4 = 2×(1×2)），第2次有12块地砖（12 = 2×(2×3)），第3次有24块地砖（24 = 2×(3×4)），可猜想第n次拼成的图案中地砖数为2×n(n + 1)=2n + 2n
3.验证猜想：通过计算或推理来验证猜想的正确性。如果猜想的描述与图案的实际规律一致，那么猜想就是正确的。如按照上述猜想计算第4次拼成图案的地砖数为2×4×(4 + 1)=40块，与实际情况相符，验证了猜想的正确性
几何图形相关的猜想归纳
1.认清图形：拿到题目后，明确所求的图形是什么样的，避免出现误解。例如在多个等边三角形排列求面积问题中，要准确确定所求三角形的具体形状和位置
2.分析共性和联系：观察这些图形之间的共性和联系，比如在求多个等边三角形组成图形的面积时，发现所求三角形高相等，进而将问题转化为底边的问题。通过分析图形中线段的平行关系等，得出底边的规律
3.总结规律并应用：根据分析得到的共性和联系，总结出一般性的规律，并应用到具体问题的求解中。如在多个等边三角形排列问题中，根据总结出的规律求出相应三角形的面积表达式
一．选择题（共10小题）
1．（2025 九龙坡区校级二模）用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（ ）块正六边形瓷砖．
A．81 B．91 C．96 D．187
2．（2025 献县模拟）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，﹣2，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A．58 B．63 C．68 D．73
3．（2025 重庆二模）如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）
A．30 B．34 C．38 D．42
4．（2025 龙湖区一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷等，当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十五烷的化学式为（ ）
A．C15H31 B．C15H32 C．C15H33 D．C15H34
5．（2025 沙坪坝区校级一模）小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
6．（2025 彭水县模拟）有n个依次排列的算式：第1项是a2，第2项是a2+2a+1，用第2项减去第1项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第2项与b2相加作为第3项，将b2加2记为b3，将第3项与b3相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①b5＝2a+9；②若第6项与第5项之差为4057，则a＝2024；③当n＝k时，b1+b2+b3+b4+ +bk＝2ak+k2；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2025 福山区一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是90个，请问这是第几种化合物的分子结构？（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
8．（2025 石家庄一模）已知直线l1：y＝（k﹣1）x+k+1和直线l2：y＝kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．当k＝2，3，4，…，2025时，设直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，…，S2025，则S2+S3+S4+ +S2025的值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2025 双柏县一模）观察下列单项式：3x，﹣6x2，9x3，﹣12x4，15x5，﹣18x6…，则第n个单项式为（ ）
A．3nxn B．﹣3nxn
C．（﹣1）n 3nxn D．（﹣1）n+1 3nxn
10．（2025 南岗区一模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．如果我们规定一个新数“i”使它满足i2＝﹣1（即x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1， ，那么i2025＝（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
二．填空题（共4小题）
11．（2025 恩施市一模）如图，在平面直角坐标系Oxy中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2025＝ ．
12．（2025 桓台县二模）已知一次函数的图象与y轴相交于点A1，以OA1为边作等边△OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作y轴的平行线与该一次函数的图象交于点A2，与x轴交于点C1，以C1A2为边作等边△C1A2B2（点B2在点B1的右边），以同样的方式依次作等边△C2A3B3，等边△C3A4B4， ，则点A2025的纵坐标为 ．
13．（2025 潍坊一模）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…依次类推，点A2025的坐标为 ．
14．（2025 雁塔区校级模拟）围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．如图所示的棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中黑棋和白棋的总个数为9，第②个图形中黑棋和白棋的总个数为14，第③个图形中黑棋和白棋的总个数为19，…，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋和白棋的总个数为 ．
三．解答题（共4小题）
15．（2025 包河区二模）某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图5中，六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ；
（2）若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？
16．（2025 蜀山区二模）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去……
（1）第4次操作后共得到等边三角形的个数为 ，第n次操作后共得到等边三角形的个数为 ；
（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，求：
（i）a3＝ ；
（ii）1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025＝ ．
17．（2025 安徽模拟）已知图1中有1个等边三角形，记作a1＝1；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作a2＝5；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作a3＝9；……．按照此规律解答下列问题：
（1）图4中有 个等边三角形，记作a4＝ ；
（2）图n中有 个等边三角形，记作an＝ ；（结果用含n的代数式表示，不用说理）
（3）在求1+2+3+…+100的值时，可令s＝1+2+3+…+100，则s＝100+99+98+…+1，∴2s101×100，∴s＝1+2+3+…+1005050，按此方法计算a1+a2+a3+ +an（结果用含n的代数式表示）．
18．（2025 蜀山区校级一模）观察下列各个式子：
；
；
；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1） + ；
（2） + （用含n的式子填空），并证明该等式．
