6.2.2　排列数 同步练习（2课时，含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

6．2.2　排　列　数(1)
一、 单项选择题
1 (2024淮安月考)若1≤n≤10，且n∈N*，则(11－n)(12－n)…(20－n)等于(　　)
A. A B. A
C. A D. A
2 有甲、乙、丙三位同学， 分别从物理、化学、生物学、思想政治、历史五门课中任选一门，要求物理必须有人选，且每人所选的科目各不相同，则不同的选法种数为(　　)
A. 24 B. 36
C. 48 D. 72
3 从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为(　　)
A. 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B. 甲乙丙，乙丙甲
C. 甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D. 甲乙，甲丙，乙丙
4 (2024六盘水月考)若S＝1！＋2！＋3！＋…＋100！，则S的个位数字是(　　)
A. 0 B. 3
C. 5 D. 8
5 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)
A. 144个 B. 120个
C. 96个 D. 72个
6 英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似的表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，当Rn不超过时，正整数n的最小值是(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、 多项选择题
7 (2024锡东高级中学月考)下列选项中，正确的是(　　)
A. n！＝
B. A＝(n＋1)A
C. A＝
D. A＝
8 (2024渭南月考)排列数A(n>r>1，n，r∈N*)恒等于(　　)
A. A B. n(n－1)A
C. nrA D. nA
三、 填空题
9 A－A(n∈N*)的值为________．
10 (2024天津期中)A－6A－6A＝________．
11 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，则没有女生的选法有________种；若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种.
四、 解答题
12 解下列方程或不等式．
(1) A＝2A；
(2) A<6A.
13 (1) 求证：(n＋1)！－n！＝n·n！；
(2) 求证：＝－；
(3) 求和：＋＋＋…＋.
6．2.2　排　列　数(2)
一、 单项选择题
1 8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为(　　)
A. AA B. AA
C. AA D. AA
2 (2024上海期末)某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为(　　)
A. 36 B. 72
C. 144 D. 240
3 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是(　　)
A. 72 B. 96
C. 108 D. 144
4 (2024忻州月考)用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字大的五位数的个数为(　　)
A. 48 B. 96
C. 60 D. 120
5 (2024忻州月考)学校要安排一场文艺晚会的12个节目(2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目)的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为(　　)
A. AAA B. AAA
C. AAA D. AAA
6 某小区的5个家庭买了一场演唱会的8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为(　　)
A. 48 B. 72 C. 120 D. 240
二、 多项选择题
7 (2024长春期末)3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有(　　)
A. 3名男生必须相邻的排法有144种
B. 3名男生互不相邻的排法有72种
C. 甲在乙的左边的排法有360种
D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
8 用1，2，3，4，5这五个数字，组成三位数，则下列说法中正确的有(　　)
A. 若允许重复，则可组成125个三位数
B. 若不允许重复，则可组成60个三位数
C. 可组成无重复数字的偶数为24个
D. 可组成无重复数字的奇数为24个
三、 填空题
9 某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有________种．
10 (2024长春月考)现有4男3女站成一排，若7人中，甲必须站在排头，则不同的排法有________种，若女生必须排在一起，则不同的排法有________种．
11 将5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，则有________种排法；若产品A与产品B相邻且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
四、 解答题
12 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数．
(1) 在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2) 在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，求“凹数”的个数．
13 (2024福州月考)7位同学站成一排．问：
(1) 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(2) 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
(3) 甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(4) 甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
6．2.2　排　列　数(1)
1. A　(11－n)(12－n)…(20－n)＝(20－n)(19－n)…(12－n)(11－n)，又(20－n)－(11－n)＋1＝10，所以由排列数公式可得(11－n)(12－n)…(20－n)＝A.
2. B　由题意，得每人所选的科目各不相同的选法种数为A＝60，物理没有人选的选法种数为A＝24，则所求的不同的选法种数为60－24＝36.
3. C　若选出的是甲、乙，则站法有甲乙、乙甲；若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙，故选C.
4. B　因为1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，从5！开始一直到100！的个位数字都是0，所以求S的个位数字，则只需将前面四个数加起来，即1＋2＋6＋24＝33，所以S的个位数字是3.
5. B　根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4，5中的1个，末位数字为0，2，4中的1个．分两种情况讨论：①当首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A＝4×3×2＝24(种)情况，此时有3×24＝72(个)；②当首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A＝4×3×2＝24(种)情况，此时有2×24＝48(个)，故共有72＋48＝120(个).
6. B　由题意，得≤，即(n＋1)！≥3 000.因为(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040>3 000，所以n的最小值是6.
7. ABC　对于A，＝＝n！，故A正确；对于B，A＝＝＝＝(n＋1)A，故B正确；对于C，A＝＝，故C正确；对于D，A＝＝，故D错误．故选ABC.
8. BD　A＝(n>r>1，n，r∈N*)，A＝·＝·≠，故A错误；n(n－1)A＝n(n－1)·＝n(n－1)·＝＝，故B正确；nrA＝nr·＝≠，故C错误；nA＝n·＝＝，故D正确．故选BD.
9. 696　由题意，得解得n＝3，所以A－A＝A－A＝720－24＝696.
10. 0　A－6A－6A＝7A－6A－A＝0.
11. 24　186　没有女生的选法有A＝24(种).一共有A种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A－A＝186(种).
12. (1) 因为A＝2A，由解得n≥3且n∈N*，
由原式可得2n(2n－1)(2n－2)＝2(n＋1)n(n－1)(n－2)，解得n＝5或n＝0或n＝1.
又因为n≥3，所以n＝5.
(2) 因为A<6A，
由解得3≤x≤8且x∈N*.
由原不等式，得<6×，
化简，得x2－19x＋84<0，解得7又3≤x≤8且x∈N*，所以x＝8.
13. (1) (n＋1)！－n！＝(n＋1)n！－n！＝n·n！.
(2) ＝＝＝－.
(3) 由(2)知＝－，
所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－.
6．2.2　排　列　数(2)
1. A　先将8名学生排成一排的排法有A种，再把2位教师插入8名学生之间的9个位置(包含头尾的位置)，共有A种排法，故2位教师不相邻的排法种数为AA.
2. B　分步完成：甲不担任四辩，共有3种选择；又因为乙也不担任四辩，共有2种选择；从剩下4名同学中任选2人，且任意排序，共有A＝12(种)，所以一共有3×2×12＝72(种)安排方法．
3. C　先选一个偶数排个位，有3种选法．①若5排在十位或十万位，则1，3有三个位置可排，共2AA＝24(个)；②若 5排在百位、千位或万位，则1，3只有两个位置可排，共3AA＝12(个)，所以共计3×(24＋12)＝108(个)六位偶数．
4. A　万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为AA＝96，所以个位上的数字比十位上的数字大的五位数的个数为＝48.
5. B　先捆绑2个小品节目，再和4个音乐节目、4个舞蹈节目排列，然后插入2个话剧节目，故不同的排法数为AAA.
6. C　若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有2A＝48(种)不同的分配方法；若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有AA＝72(种)不同的分配方法．综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法．
7. ACD　对于A，将3名男生捆绑在一起看成一个元素，所以排法有AA＝144(种)，故A正确；对于B，将3名男生放入到3名女生形成的4个空位中，所以排法有AA＝144(种)，故B错误；对于C，3名男生和3名女生全排列，排法有A＝720(种)，其中甲在乙的左边的排法占总数的，所以有720×＝360(种)排法，故C正确；对于D，先选2人与甲、乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余2人全排列，所以有排法AAA＝144(种)，故D正确．故选ACD.
8. ABC　用1，2，3，4，5这五个数字，组成三位数，若允许重复，则可组成53＝125(个)，故A正确；若不允许重复，则可组成A＝5×4×3＝60(个)，故B正确；组成无重复数字的偶数分为两类，一类是2作个位数，共有A个，另一类是4作个位数，也有A个，因此符合条件的偶数共有A＋A＝4×3＋4×3＝24(个)，故C正确；组成无重复数字的奇数有AA＝3×4×3＝36(个)，故D错误．故选ABC.
9. 42　由题意知，甲的位置影响乙的排列，所以当甲排在第一位时，共有A＝24(种)编排方案，当甲排在第二位时，共有AA＝18(种)编排方案，所以编排方案共有24＋18＝42(种).
10. 720　720　甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的6人全排列，有A种情况，则甲必须站在排头有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种)排法．根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A种情况，和4名男生全排列，有A种情况，所以有AA＝6×120＝720(种)不同排法．
11. 48　36　当产品A，B相邻时，不同的摆法有AA＝48(种).当A，B相邻，A，C也相邻时，摆法为A在中间，C，B在A的两侧，不同的摆法有AA＝12(种)，故产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48－12＝36(种).
12. (1) 偶数分为两类：
若个位数是0，则共有A＝12(个)；
若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有2×3×3＝18(个)，
所以符合条件的三位偶数的个数为12＋18＝30.
(2) “凹数”分三类：
若十位是0，则有A＝12(个)；
若十位是1，则有A＝6(个)；
若十位是2，则有A＝2(个)，
所以符合条件的“凹数”的个数为12＋6＋2＝20.
13. (1) 将甲、乙看成一个整体，和其余5人全排列，则共有AA＝1440(种)排法．
(2) 由题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有A种排法，再将这个整体与其余4人全排列，有A种排法，所以共有AA＝6×120＝720(种)排法．
(3) 将甲、乙看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取两个元素放在排头和排尾，有A种排法，将剩余的4个元素进行全排列有A种排法，最后排甲、乙有A种排法，所以共有AAA＝20×24×2＝960(种)排法．
(4) 将甲、乙、丙三个同学看成一个整体，将另外四个同学看成一个整体，则共有AAA＝24×6×2＝288(种)排法．