6.2.4　组合数 同步练习（2课时，含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

6．2.4　组　合　数(1)
一、 单项选择题
1 (2024成都期末)已知＝C，则n的值为(　　)
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2 (2024泰州期中)正十二边形的对角线的条数是(　　)
A. 56 B. 54 C. 48 D. 44
3 在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动．某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A，B，C三种类型的花灯，其中A种花灯4个，B种花灯5个，C种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A，B，C三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为(　　)
A. 30 B. 70 C. 40 D. 84
4 小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗．如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是(　　)
A. 345 B. 465 C. 1 620 D. 1 860
5 篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成．某场篮球赛中，某队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，在这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则该队的主教练可选择的出场阵容的种数为(　　)
A. 16 B. 28 C. 84 D. 96
6 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则集合A各子集中的元素之和为(　　)
A. 320 B. 240 C. 160 D. 8
二、 多项选择题
7 (2024内江期中)下列结论中，正确的是(　　)
A. C＝
B. A＝nA(m，n为正整数，且n>m>1)
C. C＋C＝C
D. 满足方程Cx2－x16＝C的x值可能为1或3
8 在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若任意选科，选法总数为C
B. 若化学必选，选法总数为CC
C. 若思想政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D. 若物理必选，化学、生物学至少选一门，选法总数为CC＋1
三、 填空题
9 (2024上海期末)若6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取3件产品，至少有2件正品的概率为________．
10 (2024福州期中)已知C＝C，则C＋C＝________．
11 现有学号分别为1号、2号、3号、…、9号的9位同学依次站成一排，老师请他们从1号同学开始依次从如图所示的装有标号为1至9号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能的不同站法有________种．
四、 解答题
12 (2024扬州月考)(1) 求3C＋A的值；
(2) 求C＋C＋…＋C的值；
(3) 解关于n的不等式C13 (2024北京大峪中学期中)现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件．
(1) 一共有多少种不同的抽法？
(2) 若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(3) 若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
6．2.4　组　合　数(2)
一、 单项选择题
1 (2024南京期末)若关于x的不等式x2－2x－m>0的解集为{x|x<－2或x>n}，则C等于(　　)
A. 70 B. 90 C. 180 D. 495
2 现有3名男医生，3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的派遣方法有(　　)
A. 24种 B. 54种 C. 36种 D. 60种
3 某高三教学楼共5层，甲、乙、丙、丁4人走进该教学楼2～5层的某一层楼上课，则满足仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有(　　)
A. 27种 B. 81种 C. 54种 D. 108种
4 (2024玉林期末)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数为(　　)
A. 432 B. 240 C. 192 D. 96
5 如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为(　　)
A. 30 B. 42　　 C. 54 D. 56
6 某校学生到学校农场参加劳动实践，在剥黄豆、翻土、喷农药、捉鱼、喂马5个劳动项目中自主选择3个参加．已知某班41名学生中选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合的人数最多，那么选该项目组合的人数至少是(　　)
A. 4 B. 5 C. 9 D. 10
二、 多项选择题
7 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若每个盒子放一个球，则共有24种不同的放法
B. 恰有一个空盒的放法共有144种
C. 恰有两个空盒的放法共有288种
D. 恰有三个空盒的放法共有196种
8 (2024咸阳期中)某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法中错误的是(　　)
A. 若任意选择三门课程，则选法总数为C
B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为CC
C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为C－C
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为CC－C
三、 填空题
9 (2024北京朝阳期末)袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有________种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则P(X＝2)＝________．
10 (2024上海期末)如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只(视作点)连成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．
11 (2024洛阳期末)校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录，跳高记录，跳远记录工作，其中甲、乙、丙不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有________种．
四、 解答题
12 (2024淮安期中)4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛(淮安站)盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的4位与冠、亚、季军合影．根据下列条件解答问题．
(1) 4人均来自不同学校有多少种安排？
(2) 4人中有男有女有多少种安排？
(3) 若4人已经选出，请分别解答下列两个问题：
①4名同学不相邻有多少种安排；
②冠军在中间，亚军、季军不在冠军同侧有多少种安排．
13 (2024咸阳月考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目A1，A2，A3，2个小品类节目B1，B2和1个相声类节目C的演出顺序，根据要求解答下列问题．
(1) 若两个小品类节目B1，B2不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？
(2) 若歌舞类节目A1，A2必须排在一起，A3和B1，B2排在一起，并且A3在B1，B2中间，一共有多少种排法？
(3) 若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？
6．2.4　组　合　数(1)
1. B　由＝C＝，得n－2＝6，所以 n＝8.
2. B　因为对角线的条数等于任意两点连线的条数，再排除边数，所以正十二边形的对角线的条数是C－12＝66－12＝54.
3. B　由题意可知A，B，C三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：A种花灯选2个，B种花灯选1个，C种花灯选1个；A种花灯选1个，B种花灯选2个，C种花灯选1个，故不同的抽取方法有CCC＋CCC＝30＋40＝70(种).
4. B　由题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春.1冬3春的不同情况有CC＝120(种)；2冬2春的不同情况有CC＝225(种)；3冬1春的不同情况有CC＝120(种)，所以小明选取节气的不同情况有120＋225＋120＝465(种).
5. B　有两种出场方案：①中锋1人，控球后卫1人，有CCC＝16(种)出场阵容；②中锋1人，控球后卫2人，有CCC＝12(种)出场阵容，共计28种．
6. B　当集合A的子集为空集时，各元素之和为0；当集合A的子集含有1个元素时，共有C＝5(个)集合，1，2，3，4，5各出现1次；当集合A的子集含有2个元素时，共有C＝10(个)集合，1，2，3，4，5各出现4次；当集合A的子集含有3个元素时，共有C＝10(个)集合，1，2，3，4，5各出现 6次；当集合A的子集含有4个元素时，共有C＝5(个)集合，1，2，3，4，5各出现4次；当集合A的子集含有5个元素时，共有C＝1(个)集合，1，2，3，4，5各出现 1次，所以集合A的各子集中，1，2，3，4，5各出现了1＋4＋6＋4＋1＝16(次)，所以集合A各子集中的元素之和为(1＋2＋3＋4＋5)×16＝240.
7. BD　对于A，C＝，故A错误；对于B，因为A＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)，且A＝(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)，所以A＝nA(m，n为正整数，且n>m>1)，故B正确；对于C，因为C＋C＝＋＝10＋20＝30，又C＝＝35，所以C＋C≠C，故C错误；对于D，因为＝C，所以x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5或x＝3或x＝－7，经检验x＝1或x＝3符合题意，故满足方程＝C的x值可能为1或3，故D正确．故选BD.
8. BD　若任意选科，选法总数为CC，故A错误；若化学必选，选法总数为CC，故B正确；若思想政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，故C错误；若物理必选，化学、生物学至少选一门，选法总数为CC＋1，故D正确．故选BD.
9. 　由题意，得6件产品中有4件正品，2件次品，一次取3件产品，共有C＝20(种)取法，其中至少有2件正品的取法有CC＋C＝16(种)，故至少有2件正品的概率为P＝＝.
10. 126　因为C＝C，由组合数性质可知n＝8，所以C＋C＝C＋C＝56＋70＝126.
11. 1 680　问题相当于先将9位同学看成9个排成一列的盒子，先从这9个不同的盒子中选出3个，并从左往右依次放入1，2，3号球，再从剩余的6个盒子中选出3个，并从左往右依次放入4，5，6号球，最后将7，8，9号球，从左往右依次放入剩余的3个盒子，故共有CCC＝1 680(种)不同的站法．
12. (1) 3C＋A＝3×＋×8×7×6＝280.
(2) C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝＝330.
(3) 由题意，得(n∈N*)，
所以3≤n≤12，且n∈N*.
因为C所以<，
解得n<7.5.
又因为n∈N*，所以n＝3，4，5，6，7.
故不等式的解集为{3，4，5，6，7}．
13. (1) C＝＝4 060(种).
故一共有4 060种不同的抽法．
(2) 抽取可以分成两步完成：
第一步，在2件次品中抽出1件，有C种方法；
第二步，在28件合格品中抽出2件，有C种方法．
由分步乘法计数原理知，不同的抽法有CC＝2×＝756(种).
(3) 满足条件的抽法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法．
第一类，恰有1件次品的取法有CC种，
第二类，恰有2件次品的取法有CC种．
由分类加法计数原理知，不同的抽法有CC＋CC＝2×＋1×28＝784(种).
6．2.4　组　合　数(2)
1. A　因为关于x的不等式x2－2x－m>0的解集为{x|x<－2 或x>n}，所以解得故C＝C＝70.
2. C　组队情况有2，4型和3，3型.2，4型只能是1男1女和2男2女，此时有CC种方法；3，3型只能是2男1女和1男2女，此时有CC种方法．综上，共有(CC＋CC)A＝36(种)方法．
3. B　甲在五楼有33＝27种情况；甲不在五楼且不在二楼有CC×32＝54(种)情况．由分类加法计数原理，得共有54＋27＝81(种)不同的情况.
4. C　根据题意，在“射”与“数”之间间隔一艺，先将“射”与“数”进行全排列，从剩余的4艺中选择1个放在“射”与“数”中间，再将这三艺看作一个整体和剩余的3个元素进行全排列，这样的排课方法总数为CAA＝192.
5. B　利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为C－C－C＝42.
6. B　由题意，得一共有C＝10(种)组合方式，假设这10种组合，每种都有4名同学选择，且最后一名同学选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合，则可得选该项目组合的人数至少是5.
7. AB　对于A，每个盒子放一个球，共有A＝24(种)不同的放法，故A正确；对于B，先选后排，分三步完成：第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；第二步：选两球作为一个元素，有C＝6(种)选法，第三步：将三个元素放入三个盒中，有A＝6(种)放法，故共有4×6×6＝144(种)放法，故B正确；对于C，共有C(C＋C＋C)＝84(种)放法，故C错误；对于D，共有C＝4(种)放法，故D错误．故选AB.
8. BD　对于A，若任意选择三门课程，则选法总数为C，故A正确；对于B，若物理和化学至少选一门，则选法总数为CC＋CC，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，则选法总数为C－CC，故C正确；对于D，只选物理、不选化学和历史，选法种数为C＝6；只选化学、不选物理，选法种数为C＝10；物理和化学同时选、不选历史，选法种数为C＝4，所以选法总数是20≠CC－C＝15，故D错误．故选BD.
9. 10　　任取3个球的不同取法种数是C＝10；P(X＝2)＝＝.
10. 　从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有C＝20(种).如图，在正六边形ABCDEF中，直角三角形有△ABD，△ABE，△ACD，△ACF，△AED，△ADF，△BCE，△BCF，△BDE，△BEF，△CDF，△CEF，共12个，由古典概型可知以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率P＝＝.
11. 24　先安排铅球记录工作，从丁、戊中选一人，有C种，再从剩下的4人中选两人负责另外两项工作，有A种，故不同的安排方法共有CA＝2×4×3＝24(种).
12. (1) 根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有CCCCC＝240(种)安排方法．
(2) 根据题意，在12人中选出4人，有C种排法，其中只有男生的选法有C种，只有女生的选法有C种，则4人中有男有女的选法有C－2C＝495－30＝465(种).
(3) ①根据题意，先排好冠亚、季军，再将4名学生安排在空位中，则有AA＝144(种)安排方法；
②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军、季军在冠军同侧情况即可，有A－2AA＝432(种)排法．
13. (1) 因为总共有六个位置，两个小品类节目B1，B2不能排在第一位和最后一位，先将B1，B2排好，则有A种排法，剩下四个节目排四个位置，则有A种排法，故共有AA＝288(种)排法．
(2) 先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为1，2，3，并排列，故有A种排法，A1，A2必须排在一起，共有A种排法，A3在B1，B2中间共有A种排法，故共有AAA＝24(种)排法．
(3) 分两步完成：
第一步，先安排3个歌舞类节目A1，A2，A3，则有A种排法；
第二步，再用插空法安排2个小品类节目B1，B2和1个相声类节目C.
①若2个小品类节目B1，B2和1个相声类节目C互不相邻，则有2A种排法；
②若C与B1，B2中的一个相邻，则有CAA种排法．
故共有A(2A＋CAA)＝120(种)排法．