6,3.2 二项式系数的性质 同步练习（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3
文档属性
| 名称 | 6,3.2 二项式系数的性质 同步练习（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 52.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-22 19:59:22 | ||
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文档简介
6．3.2 二项式系数的性质
一、 单项选择题
1 在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2 若(－)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项为( )
A. 540 B. －162 C. 162 D. －540
3 (2024东莞期末)如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为( )
A. B. C. D.
4 已知(x－)n(n∈N*)的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中含x项的系数为( )
A. 560 B. 480 C. 126 D. 35
5 (2024陕西模拟)已知(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则＋＋…＋等于( )
A. 32 B. 31 C. 16 D. 15
6 在二项式(＋)n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则该展开式中二项式系数最大的项是( )
A. 第2项 B. 第3项 C. 第4项 D. 第5项
二、 多项选择题
7 (2024泉州期中)设函数f(x，y)＝(1＋my)x(m>0，y>0)，则下列说法中正确的是( )
A. 若x∈N*，则f(x，y)的展开式中常数项为1
B. 当m＝3时，f(7，y)的展开式中二项式系数最大的项为945y2
C. 若f(4，y)＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4，且a3＝32，则m＝2
D. 当m＝2时，若f(4，y)＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4，则ai＝81
8 设常数a∈R，n∈N*，关于二项式(1＋a)n的展开式，下列结论中正确的是( )
A. 若a<，则各项系数随着项数增加而减小
B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a>n
C. 若a＝－2，n＝10，则第7项的系数最大
D. 若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为239
三、 填空题
9 设(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＋a4＝0，则n＝________，a5＝________．
10 (2024南京期末)(x－1)4的展开式中x3的系数是________．
11 若n是正整数，则7n＋7n-1C＋7n-2C＋…＋7C除以9的余数是________．
四、 解答题
12 (2024宿迁期末)在(n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1) 求证：展开式中不存在常数项；
(2) 求展开式中所有的有理项．
13 (2024江苏期中)已知f(x)＝(2x＋5)n展开式的各二项式系数和为512，且(2x＋5)n＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋an(x＋2)n.
(1) 求a1＋a2＋a3＋…＋an；
(2) 求a2的值；
(3) 求证：f(16)－1能被6整除．
6．3.2 二项式系数的性质
1. C 在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大，则＋1＝4，解得n＝6.
2. D 由题意，得＝(－2)n＝64，解得n＝6，所以的展开式的通项为Tk＋1＝C()6-k·＝(－3)k·Cx3-k，令3－k＝0，得k＝3，所以展开式中的常数项为T4＝(－3)3C＝－27×20＝－540.
3. D 由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，其中从左往右第4个数为C＝＝1 140<2 024，从左往右第5个数为C＝＝4 845>2 024，则由组合数的对称性，得杨辉三角第20行的21个数里有21－4×2＝13(个)数大于2 024，所以从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2 024的概率为.
4. A 由题意可知C＝C，解得n＝7，所以的展开式的通项为Tk＋1＝C·x7-k·＝(－2)k·C·.令7－k＝1，解得k＝4，所以该展开式中x的系数为(－2)4·C＝560.
5. B 因为(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)n＝243，解得n＝5，令x＝0，得a0＝1；令x＝，得a0＋＋＋…＋＝＝32，所以＋＋…＋＝31.
6. D 二项式的展开式的通项为C()n－k·＝Ckx.因为前三项的系数成等差数列，所以2C＝C＋C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)，所以该展开式共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大．
7. ACD 对于A，(1＋my)x的展开式的通项为C(my)r＝Cmryr，当r＝0时，Cm0＝1，故A正确；对于B，当m＝3，f(7，y)的展开式的通项为C(3y)r＝3rCyr，当r＝3或r＝4时，二项式系数最大，所以二项式系数最大的项有两项，故B错误；对于C，因为a3＝Cm3＝32，所以m＝2，故C正确；对于D，若m＝2，则f(4，y)＝(1＋2y)4，令y＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋2)4＝81，故D正确．故选ACD.
8. BCD 二项式(1＋a)n的展开式的通项为C·1n－k·(a)k＝Cakx.对于A，当a＝0时，任意项的系数均为0(除常数项)，故A错误；对于B，若a≤n，则最后两项的系数为Can-1，Can，有Can-1≥Can，与已知矛盾，故a>n，故B正确；对于C，若a＝－2，n＝10，则展开式的各项系数为C(－2)0＝1，C(－2)2＝180，C(－2)4＝3 360，C(－2)6＝13 440，C(－2)8＝11 520，C(－2)10＝1 024，所以第7项的系数最大，故C正确；对于D，若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为Ca0＋Ca2＋Ca4＋Ca6＝1×1＋21×2＋35×4＋7×8＝239，故D正确．故选BCD.
9. 5 －32 因为(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，所以a3＋a4＝C·(－2)3＋C·(－2)4＝0，解得n＝5，则a5＝C·(－2)5＝－32.
10. －8 因为(x－1)4＝x4－Cx3＋Cx2－Cx＋1，＝1－＋，所以(x－1)4的展开式中x3的系数是－4－C＝－8.
11. 0或7 由二项式定理可知7n＋7n-1C＋7n-2C＋…＋7C＝(7＋1)n－1＝8n－1，又8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C9n-1＋C9n-2－…＋C9×(－1)n-1＋(－1)n－1，所以当n为偶数时，除以9的余数为0；当n为奇数时，除以9的余数为7.
12. (1) 易知第2，3，4项的二项式系数依次为C，C，C，可得C＋C＝2C，即n＋＝2×，整理，得(n－2)(n－7)＝0，
解得n＝7或n＝2(舍去)，
所以二项式为，
假设第k＋1项为常数项，其中k∈N，
则可得C(2x)7-k＝27-kC为常数项，
所以7－k＝0，解得k＝ N*，不符合题意，
故假设不成立，所以展开式中不存在常数项．
(2) 由(1)可知，的展开式的通项为C(2x)7-k＝27-kC，
则有理项需满足7－k∈Z，且k≤7.
当k＝0时，7－k＝7∈Z，此时有理项为27Cx7＝128x7；
当k＝2时，7－k＝4∈Z，此时有理项为25Cx4＝672x4；
当k＝4时，7－k＝1∈Z，此时有理项为23Cx＝280x；
当k＝6时，7－k＝－2∈Z，此时有理项为21Cx-2＝.
综上，展开式中所有的有理项为128x7，672x4，280x，.
13. (1) 由题意可知2n＝512，得n＝9，
则(2x＋5)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a9(x＋2)9，
令x＝－1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝39，
令x＝－2，得a0＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝39－1.
(2) 令x＋2＝t，得x＝t－2，
则(2t＋1)9＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a9t9，
所以a2＝C·22＝144.
(3) 由题意，得f(16)－1＝(32＋5)9－1＝(36＋1)9－1＝369＋C·368＋C·367＋…＋C·36，其中每一项都能被6整除，
所以f(16)－1能被6整除．
一、 单项选择题
1 在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2 若(－)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项为( )
A. 540 B. －162 C. 162 D. －540
3 (2024东莞期末)如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为( )
A. B. C. D.
4 已知(x－)n(n∈N*)的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中含x项的系数为( )
A. 560 B. 480 C. 126 D. 35
5 (2024陕西模拟)已知(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则＋＋…＋等于( )
A. 32 B. 31 C. 16 D. 15
6 在二项式(＋)n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则该展开式中二项式系数最大的项是( )
A. 第2项 B. 第3项 C. 第4项 D. 第5项
二、 多项选择题
7 (2024泉州期中)设函数f(x，y)＝(1＋my)x(m>0，y>0)，则下列说法中正确的是( )
A. 若x∈N*，则f(x，y)的展开式中常数项为1
B. 当m＝3时，f(7，y)的展开式中二项式系数最大的项为945y2
C. 若f(4，y)＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4，且a3＝32，则m＝2
D. 当m＝2时，若f(4，y)＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4，则ai＝81
8 设常数a∈R，n∈N*，关于二项式(1＋a)n的展开式，下列结论中正确的是( )
A. 若a<，则各项系数随着项数增加而减小
B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a>n
C. 若a＝－2，n＝10，则第7项的系数最大
D. 若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为239
三、 填空题
9 设(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＋a4＝0，则n＝________，a5＝________．
10 (2024南京期末)(x－1)4的展开式中x3的系数是________．
11 若n是正整数，则7n＋7n-1C＋7n-2C＋…＋7C除以9的余数是________．
四、 解答题
12 (2024宿迁期末)在(n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1) 求证：展开式中不存在常数项；
(2) 求展开式中所有的有理项．
13 (2024江苏期中)已知f(x)＝(2x＋5)n展开式的各二项式系数和为512，且(2x＋5)n＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋an(x＋2)n.
(1) 求a1＋a2＋a3＋…＋an；
(2) 求a2的值；
(3) 求证：f(16)－1能被6整除．
6．3.2 二项式系数的性质
1. C 在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大，则＋1＝4，解得n＝6.
2. D 由题意，得＝(－2)n＝64，解得n＝6，所以的展开式的通项为Tk＋1＝C()6-k·＝(－3)k·Cx3-k，令3－k＝0，得k＝3，所以展开式中的常数项为T4＝(－3)3C＝－27×20＝－540.
3. D 由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，其中从左往右第4个数为C＝＝1 140<2 024，从左往右第5个数为C＝＝4 845>2 024，则由组合数的对称性，得杨辉三角第20行的21个数里有21－4×2＝13(个)数大于2 024，所以从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2 024的概率为.
4. A 由题意可知C＝C，解得n＝7，所以的展开式的通项为Tk＋1＝C·x7-k·＝(－2)k·C·.令7－k＝1，解得k＝4，所以该展开式中x的系数为(－2)4·C＝560.
5. B 因为(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)n＝243，解得n＝5，令x＝0，得a0＝1；令x＝，得a0＋＋＋…＋＝＝32，所以＋＋…＋＝31.
6. D 二项式的展开式的通项为C()n－k·＝Ckx.因为前三项的系数成等差数列，所以2C＝C＋C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)，所以该展开式共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大．
7. ACD 对于A，(1＋my)x的展开式的通项为C(my)r＝Cmryr，当r＝0时，Cm0＝1，故A正确；对于B，当m＝3，f(7，y)的展开式的通项为C(3y)r＝3rCyr，当r＝3或r＝4时，二项式系数最大，所以二项式系数最大的项有两项，故B错误；对于C，因为a3＝Cm3＝32，所以m＝2，故C正确；对于D，若m＝2，则f(4，y)＝(1＋2y)4，令y＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋2)4＝81，故D正确．故选ACD.
8. BCD 二项式(1＋a)n的展开式的通项为C·1n－k·(a)k＝Cakx.对于A，当a＝0时，任意项的系数均为0(除常数项)，故A错误；对于B，若a≤n，则最后两项的系数为Can-1，Can，有Can-1≥Can，与已知矛盾，故a>n，故B正确；对于C，若a＝－2，n＝10，则展开式的各项系数为C(－2)0＝1，C(－2)2＝180，C(－2)4＝3 360，C(－2)6＝13 440，C(－2)8＝11 520，C(－2)10＝1 024，所以第7项的系数最大，故C正确；对于D，若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为Ca0＋Ca2＋Ca4＋Ca6＝1×1＋21×2＋35×4＋7×8＝239，故D正确．故选BCD.
9. 5 －32 因为(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，所以a3＋a4＝C·(－2)3＋C·(－2)4＝0，解得n＝5，则a5＝C·(－2)5＝－32.
10. －8 因为(x－1)4＝x4－Cx3＋Cx2－Cx＋1，＝1－＋，所以(x－1)4的展开式中x3的系数是－4－C＝－8.
11. 0或7 由二项式定理可知7n＋7n-1C＋7n-2C＋…＋7C＝(7＋1)n－1＝8n－1，又8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C9n-1＋C9n-2－…＋C9×(－1)n-1＋(－1)n－1，所以当n为偶数时，除以9的余数为0；当n为奇数时，除以9的余数为7.
12. (1) 易知第2，3，4项的二项式系数依次为C，C，C，可得C＋C＝2C，即n＋＝2×，整理，得(n－2)(n－7)＝0，
解得n＝7或n＝2(舍去)，
所以二项式为，
假设第k＋1项为常数项，其中k∈N，
则可得C(2x)7-k＝27-kC为常数项，
所以7－k＝0，解得k＝ N*，不符合题意，
故假设不成立，所以展开式中不存在常数项．
(2) 由(1)可知，的展开式的通项为C(2x)7-k＝27-kC，
则有理项需满足7－k∈Z，且k≤7.
当k＝0时，7－k＝7∈Z，此时有理项为27Cx7＝128x7；
当k＝2时，7－k＝4∈Z，此时有理项为25Cx4＝672x4；
当k＝4时，7－k＝1∈Z，此时有理项为23Cx＝280x；
当k＝6时，7－k＝－2∈Z，此时有理项为21Cx-2＝.
综上，展开式中所有的有理项为128x7，672x4，280x，.
13. (1) 由题意可知2n＝512，得n＝9，
则(2x＋5)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a9(x＋2)9，
令x＝－1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝39，
令x＝－2，得a0＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝39－1.
(2) 令x＋2＝t，得x＝t－2，
则(2t＋1)9＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a9t9，
所以a2＝C·22＝144.
(3) 由题意，得f(16)－1＝(32＋5)9－1＝(36＋1)9－1＝369＋C·368＋C·367＋…＋C·36，其中每一项都能被6整除，
所以f(16)－1能被6整除．