7.1.2 全概率公式 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3
文档属性
| 名称 | 7.1.2 全概率公式 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 30.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-22 20:00:16 | ||
图片预览
文档简介
7．1.2 全概率公式
一、 单项选择题
1 已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
2 设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为( )
A. 0.72 B. 0.96 C. 0.86 D. 0.84
3 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是( )
A. 0.817 5 B. 0.717 5 C. 0.505 D. 0.457 5
4 (2024赣州期中)赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市．已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量(单位：箱)的占比分别为60%，40%，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为90%，80%，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为( )
A. 85% B. 86% C. 87% D. 88%
5 (2024东北师大附中月考)某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为.已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为( )
A. B. C. D.
6 (2024宿迁一模)人工智能领域让贝叶斯公式：P(A|B)＝站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频的占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为( )
A. 0.1% B. 0.4% C. 2.4% D. 4%
二、 多项选择题
7 (2024泰州中学月考)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以事件A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以事件B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论中正确的是( )
A. P(A2B)＝ B. P(B|A1)＝
C. 事件A1，A2互斥 D. P(B)＝
8 (2024青桐鸣联考)设A，B为同一随机试验中的两个随机事件，则下列结论中正确的是( )
A. 若P(A∪B)＝1，P(A)＝，P(B)＝，则A，B相互对立
B. 若P(A∪B)＝1，P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝
C. 若P(A)＝，P(B)＝，则P(B∣)＝
D. 若P(A)＝，P(A|)＝，P(A|B)＝，则P(B)＝
三、 填空题
9 (2023汉中期末)某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10.设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，则取到的元件是次品的概率为________．
10 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
11 甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1 个白球和1个黑球(除颜色外，球的大小、形状完全相同).先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以事件A1，A2，A3表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，以事件B表示从乙袋中取出的球是红球，则P(B|A1)＝________，P(B)＝________．
四、 解答题
12 (2024临沂期中)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示．
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.2 0.3 0.3 0.2
比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7
(1) 当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率；
(2) 当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率．
13 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1) 求任意取出的零件是合格品的概率；
(2) 如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
7.1.2 全概率公式
1. C 由题意，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.
2. C 设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘火车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”．由题意知，P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式，得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.86.
3. B 设事件A1为“药材来自甲地”，事件A2为“药材来自乙地”，事件A3为“药材来自丙地”，事件B为“抽到优等品”，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.65，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.85.由全概率公式，得P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0.65×0.4＋0.7×0.35＋0.85×0.25＝0.717 5.
4. B 设“甲果园提供赣南脐橙”为事件A，“乙果园提供赣南脐橙”为事件B，“赣南脐橙为优品”为事件C，则P(A)＝60%，P(B)＝40%，P(C|A)＝90%，P(C|B)＝80%.由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝60%×90%＋40%×80%＝86%.
5. A 由题意，设“第一周去自由校区开会”为事件A，“第二周去自由校区开会”为事件B，则P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，则P(A|B)＝＝＝＝.
6. C 记“视频是AI合成”为事件A，“鉴定结果为AI”为事件B，则P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B|A)＝0.98，P(B|)＝0.04.由贝叶斯公式，得P(A|B)＝＝≈0.024.
7. BCD 由题意，得P(B|A2)＝＝，P(A2)＝，所以P(A2B)＝×＝，故A错误；从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以P(B|A1)＝，故B正确；由互斥事件的概念可知，事件A1，A2互斥，故C正确；由全概率公式，得P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝×＋×＝，故D正确．故选BCD.
8. AC 由P(A∪B)＝1，得P(A＋B＋AB)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1.对于A，P(A)＝，则P(B)＋P(AB)＝.由P(B)＝，得P(AB)＝0，所以A∩B＝ ，又A∪B＝Ω，所以A，B相互对立，故A正确；对于B，由P(B)＝，P(A)＝，得P(AB)＝1－－＝，所以P(A)＝P(AB＋A)＝P(AB)＋P(A)＝，故B错误；对于C，由P(A)＝，得P()＝，所以P(B|)＝＝，故C正确；对于D，由P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)，得＝P(B)＋[1－P(B)]，解得P(B)＝，故D错误．故选AC.
9. 0.012 设事件A为“取到一件次品”，事件B1为“取到的次品是甲厂生产的”，事件B2为“取到的次品是乙厂生产的”，则P(B1)＝0.9，P(B2)＝0.1，P(A|B1)＝0.01，P(A|B2)＝0.03.由全概率公式，得取到次品的概率为P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.01×0.90＋0.03×0.10＝0.012.
10. 设事件A为“一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥．由题意，得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，所以P(D|A)＝P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
11. 由题意，得P(A1)＝＝，P(A1B)＝×＝，所以P(B|A1)＝＝＝.又P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(A2B)＝×＝，P(A3B)＝×＝，所以P(B|A2)＝＝＝，P(B|A3)＝＝＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝.
12. (1) 记“甲跑第一棒”为事件A1，“甲跑第二棒”为事件A2，“甲跑第三棒”为事件A3，“甲跑第四棒”为事件A4，“运动队获胜”为事件B，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.6＋0.3×0.8＋0.3×0.7＋0.2×0.7＝0.71.
(2) P(A4|B)＝＝＝＝.
13. 设事件Ai表示“零件是第i台车床加工的”，i＝1，2，事件B表示“取出的零件是废品”，事件C表示“取出的零件是合格品”．
由题意，得P(A1)＝，P(B|A1)＝0.03，P(A2)＝，P(B|A2)＝0.02，则P(C|A1)＝0.97，P(C|A2)＝0.98.
(1) 由全概率公式，得P(C)＝＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)·P(C|A2)＝×0.97＋×0.98≈0.973.
(2) P(A2|B)＝
＝
＝＝0.25.
一、 单项选择题
1 已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
2 设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为( )
A. 0.72 B. 0.96 C. 0.86 D. 0.84
3 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是( )
A. 0.817 5 B. 0.717 5 C. 0.505 D. 0.457 5
4 (2024赣州期中)赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市．已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量(单位：箱)的占比分别为60%，40%，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为90%，80%，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为( )
A. 85% B. 86% C. 87% D. 88%
5 (2024东北师大附中月考)某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为.已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为( )
A. B. C. D.
6 (2024宿迁一模)人工智能领域让贝叶斯公式：P(A|B)＝站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频的占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为( )
A. 0.1% B. 0.4% C. 2.4% D. 4%
二、 多项选择题
7 (2024泰州中学月考)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以事件A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以事件B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论中正确的是( )
A. P(A2B)＝ B. P(B|A1)＝
C. 事件A1，A2互斥 D. P(B)＝
8 (2024青桐鸣联考)设A，B为同一随机试验中的两个随机事件，则下列结论中正确的是( )
A. 若P(A∪B)＝1，P(A)＝，P(B)＝，则A，B相互对立
B. 若P(A∪B)＝1，P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝
C. 若P(A)＝，P(B)＝，则P(B∣)＝
D. 若P(A)＝，P(A|)＝，P(A|B)＝，则P(B)＝
三、 填空题
9 (2023汉中期末)某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10.设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，则取到的元件是次品的概率为________．
10 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
11 甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1 个白球和1个黑球(除颜色外，球的大小、形状完全相同).先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以事件A1，A2，A3表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，以事件B表示从乙袋中取出的球是红球，则P(B|A1)＝________，P(B)＝________．
四、 解答题
12 (2024临沂期中)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示．
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.2 0.3 0.3 0.2
比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7
(1) 当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率；
(2) 当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率．
13 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1) 求任意取出的零件是合格品的概率；
(2) 如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
7.1.2 全概率公式
1. C 由题意，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.
2. C 设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘火车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”．由题意知，P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式，得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.86.
3. B 设事件A1为“药材来自甲地”，事件A2为“药材来自乙地”，事件A3为“药材来自丙地”，事件B为“抽到优等品”，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.65，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.85.由全概率公式，得P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0.65×0.4＋0.7×0.35＋0.85×0.25＝0.717 5.
4. B 设“甲果园提供赣南脐橙”为事件A，“乙果园提供赣南脐橙”为事件B，“赣南脐橙为优品”为事件C，则P(A)＝60%，P(B)＝40%，P(C|A)＝90%，P(C|B)＝80%.由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝60%×90%＋40%×80%＝86%.
5. A 由题意，设“第一周去自由校区开会”为事件A，“第二周去自由校区开会”为事件B，则P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，则P(A|B)＝＝＝＝.
6. C 记“视频是AI合成”为事件A，“鉴定结果为AI”为事件B，则P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B|A)＝0.98，P(B|)＝0.04.由贝叶斯公式，得P(A|B)＝＝≈0.024.
7. BCD 由题意，得P(B|A2)＝＝，P(A2)＝，所以P(A2B)＝×＝，故A错误；从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以P(B|A1)＝，故B正确；由互斥事件的概念可知，事件A1，A2互斥，故C正确；由全概率公式，得P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝×＋×＝，故D正确．故选BCD.
8. AC 由P(A∪B)＝1，得P(A＋B＋AB)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1.对于A，P(A)＝，则P(B)＋P(AB)＝.由P(B)＝，得P(AB)＝0，所以A∩B＝ ，又A∪B＝Ω，所以A，B相互对立，故A正确；对于B，由P(B)＝，P(A)＝，得P(AB)＝1－－＝，所以P(A)＝P(AB＋A)＝P(AB)＋P(A)＝，故B错误；对于C，由P(A)＝，得P()＝，所以P(B|)＝＝，故C正确；对于D，由P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)，得＝P(B)＋[1－P(B)]，解得P(B)＝，故D错误．故选AC.
9. 0.012 设事件A为“取到一件次品”，事件B1为“取到的次品是甲厂生产的”，事件B2为“取到的次品是乙厂生产的”，则P(B1)＝0.9，P(B2)＝0.1，P(A|B1)＝0.01，P(A|B2)＝0.03.由全概率公式，得取到次品的概率为P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.01×0.90＋0.03×0.10＝0.012.
10. 设事件A为“一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥．由题意，得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，所以P(D|A)＝P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
11. 由题意，得P(A1)＝＝，P(A1B)＝×＝，所以P(B|A1)＝＝＝.又P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(A2B)＝×＝，P(A3B)＝×＝，所以P(B|A2)＝＝＝，P(B|A3)＝＝＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝.
12. (1) 记“甲跑第一棒”为事件A1，“甲跑第二棒”为事件A2，“甲跑第三棒”为事件A3，“甲跑第四棒”为事件A4，“运动队获胜”为事件B，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.6＋0.3×0.8＋0.3×0.7＋0.2×0.7＝0.71.
(2) P(A4|B)＝＝＝＝.
13. 设事件Ai表示“零件是第i台车床加工的”，i＝1，2，事件B表示“取出的零件是废品”，事件C表示“取出的零件是合格品”．
由题意，得P(A1)＝，P(B|A1)＝0.03，P(A2)＝，P(B|A2)＝0.02，则P(C|A1)＝0.97，P(C|A2)＝0.98.
(1) 由全概率公式，得P(C)＝＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)·P(C|A2)＝×0.97＋×0.98≈0.973.
(2) P(A2|B)＝
＝
＝＝0.25.