7.4.1　二项分布 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

7．4.1　二 项 分 布
一、 单项选择题
1 (2024广州期中)下列命题中，正确的是(　　)
A. 已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝10，则p＝
B. 若随机变量X满足D(X)＝2，则D(3－X)＝1
C. 已知随机变量X～B，若E(2X＋1)＝9，则n＝4
D. 已知随机变量X～B，则P(X＝3)＝
2 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A. B. C. D.
3 (2024枣庄三中月考)如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，若从顶端投入1 024个小球，则落入3号格子的球数的均值为(　　)
A. 93 B. 120 C. 210 D. 300
4 (2024成都外国语学校适应考)如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024河南期中)小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为(　　)
A. B. C. D.
6 为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工．若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店铺就停业，则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024山东即墨一中月考)一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回地取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为X，则下列结论中正确的是(　　)
A. X～B(10，0.4) B. P(X＝2)＝
C. E(X)＝1.6 D. D(X)＝2.4
8 某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁4位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 4人去了4个不同餐厅就餐的概率为
B. 4人去了同一餐厅就餐的概率为
C. 4人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D. 4人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
三、 填空题
9 (2024清远月考)已知随机变量X～B(3，p)，若E(X)＋D(X)＝，则P(X≥1)＝________．
10 随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差D(X)＝2.4，且P(X＝4)＞P(X＝6)，则期望E(X)＝________．
11 (2024长沙期末)某学校有A，B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐厅的概率均为.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该班3名同学中第 2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值E(X)＝________．
四、 解答题
12 (2024苏州期末)已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．
(1) 求恰有3次命中10环的概率；
(2) 求至多有3次命中10环的概率；
(3) 设命中10环的次数为X，求随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X).
13 某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元．
(1) 求系统G需要维修的概率；
(2) 该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品所需要维修的费用，求ξ的期望；
(3) 为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作．问：p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
7．4.1　二 项 分 布
1. D　对于A，因为随机变量X～B(n，p)，E(X)＝30，D(X)＝10，所以解得p＝，故A错误；对于B，由随机变量X满足D(X)＝2，得D(3－X)＝(－1)2D(X)＝2，故B错误；对于C，由随机变量X～B，得E(X)＝，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝9，解得n＝8，故C错误；对于D，由随机变量X～B，得P(X＝3)＝C＝，故D正确．
2. A　该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为C××＝，有三天出现大潮概率为C×＝，所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝.
3. B　由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码X～B，所以P(X＝3)＝C×＝，又1 024个小球落入3号格子的球数Y～B(1 024，)，所以E(Y)＝1 024×＝120，即落入3号格子的球数均值为120.
4. D　P(X>0)＝P(X＝5)＋P(X＝3)＋P(X＝1)＝＋C××＋C××＝.
5. C　记“红灯等待时间不少于两分钟的概率”为事件A，由题意可知事件A包括小明遇到2个或3个红灯，所以P(A)＝C××＋＝.
6. D　设“两家店铺都不能正常营业”为事件A，若有四人休假概率为＝，有三个人休假的概率为C××＝，所以两家店铺都不能正常营业的概率为P(A)＝＋＝，所以两家店铺该节假日都能正常营业的概率为1－P(A)＝.
7. BC　由题意，得每次抽到黄球的概率都为，有放回地抽取4次，故随机变量X～B，故A错误；所以P(X＝2)＝C××＝，故B正确；又E(X)＝4×＝1.6，D(X)＝4××＝，故C正确，D错误．故选BC.
8. ACD　4位同学随机选择一家餐厅就餐有64种选择方法．对于A，4人去了4个不同餐厅就餐的概率为＝，故A正确；对于B，4人去了同一餐厅就餐的概率为＝，故B不正确；对于C，4人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为＝，故C正确；对于D，每个同学选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数X服从二项分布B，所以E(X)＝4×＝，故D正确．故选ACD.
9. 　由题意，得3p＋3p(1－p)＝，解得p＝或 p＝(舍去)，所以X～B，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
10. 4　由题意，得X～B(10，p)，且D(X)＝10p(1－p)＝2.4，即p2－p＋0.24＝0，解得p＝0.6或p＝0.4.又P(X＝4)＞P(X＝6)，所以Cp4(1－p)10-4>Cp6(1－p)10-6，所以(1－p)2>p2，解得011. 　　设事件A1为“第一天去A餐厅”，事件A2为“第二天去A餐厅”，事件B1为“第一天去B餐厅”，事件B2为“第二天去B餐厅”，由题意，得P(A1)＝P(B1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝，则P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝，所以第二天去A餐厅的概率为.由题意，得每个人第二天去B餐厅的概率为1－＝，X～B，所以E(X)＝3×＝.
12. (1) 设“运动员每次射击命中10环”为事件A，用随机变量ξ表示事件A发生的次数，则由题意，得ξ～B，则恰有3次命中10环的概率即P(ξ＝3)＝C××＝.
(2) 至多有3次命中10环的概率即P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×＝.
(3) 由题意，得E(X)＝np＝4×＝，D(X)＝np(1－p)＝4××＝.
13. (1) 由题意，得系统G需要维修的概率为C××＋C××＝.
(2) 设X为需要维修的系统的个数，则X～B，且ξ＝900X，
所以E(ξ)＝900E(X)＝900×3×＝700.
(3) 当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统G才正常工作．
①若原来的3个电子元件中有1个正常工作，则同时新增的2个必须都正常工作，则概率为C×××p2＝p2；
②若原来的3个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的2个至少有1个正常工作，则概率为C×××[Cp(1－p)＋p2]＝(2p－p2)；
③若原来的3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增2个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为C×＝，
所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为p2＋(2p－p2)＋＝＋.
令＋>1－，解得2－又p<1，所以当2－