第八章 成对数据的统计分析 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

第八章　成对数据的统计分析 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 在某活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据(i，yi)，其中i＝1，2，3，4，5，yi为第i次入口人流量数据(单位：百人)，由此得到y关于i的经验回归方程＝log2(i＋1)＋5.已知＝9，根据回归方程，可预测下午4点时入口游客的人流量为(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)(　　)
A. 9.6 B. 10.0 C. 11.3 D. 12.0
2 关于等高堆积条形图，下列说法中错误的是(　　)
A. 可用颜色和高度两个指标表示两种分类变量的信息
B. 可以估计个体的有关比例
C. 能估计“X与Y有关系”成立的可能性
D. 用ad和bc的差别表示“X与Y有关系”成立的可能性
3 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名 志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：cm)，如图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其经验回归方程为y∧ ＝1.16x－30.75，则下列结论中正确的为(　　)
A. 15名志愿者身高的极差大于臂展的极差
B. 身高相差10 cm的两人臂展相差11.6 cm
C. 身高为190 cm的人臂展一定为189.65 cm
D. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系
4 (2024重庆南开中学期中)某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m(m∈N*)，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.若有99%的把握认为喜欢短视频和性别有关联，则m的最小值为(　　)
附：χ2＝.
临界值表：
α 0.050 0.010
xα 3.841 6.635
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
5 (2024呼和浩特月考)恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比值，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高．某学校社会调查小组通过调查得到如下数据：
年个人消费总额x/万元 1 1.5 2 2.5 3
恩格尔系数y 0.9 0.8 0.5 0.2 0.1
若y与x之间具有线性相关关系，老张年个人消费支出总额为2.8万元，据此估计其恩格尔系数为(参考数据：－5·＝－1.1，－52＝2.5；参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝－)(　　)
A. 0.148 B. 0.138
C. 0.248 D. 0.238
6 红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关．现收集了7组观测数据，用4种模型分别进行拟合．由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图所示的4幅残差图．根据残差图，拟合效果最好的模型是(　　)
模型一的残差图
模型二的残差图
模型三的残差图
模型四的残差图
A. 模型一 B. 模型二
C. 模型三 D. 模型四
二、 多项选择题
7 (2024烟台月考)关于统计量χ2，下列说法中正确的是(　　)
A. 统计量χ2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强
B. 若求出统计量χ2＝6.31，由于6.31比较接近x0.01＝6.635，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01
C. 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的
D. 根据统计量χ2的构造过程可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大
8 (2024南通二模)某农科所针对耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量(单位：t)的关系进行研究，所得部分数据如下表：
耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18
每公顷产量y/t 6 8 m n 11 12
已知mA. m＋n＝17 B. ＝
C. ＝ D. ε1＋ε2＝－1
三、 填空题
9 (2024吉安期中)用模型y＝aebx拟合一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，9)，其中y1y2…y9＝e51.设z＝ln y，则变换后的经验回归方程为＝x＋5，则x1＋x2＋…＋x9＝________．
10 (2024驻马店月考)给出下列说法：①经验回归直线=x+必过点(，　)；②独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立；③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝8.079，则有99%的把握认为这两个变量间有关系．其中正确说法的序号是________．
11 (2024东莞期中)已知x，y之间的一组数据如下表：
x 1 4 9 16
y 1 2.98 5.01 7.01
若y与满足经验回归方程＝b＋a，则此曲线必过点________．
四、 解答题
12 (2024十堰月考)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5.
(1) 根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型？
(2) 根据(1)中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3) 根据(2)的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式：＝，＝－x.
参考数据：＝55，＝979，＝390，＝1221，＝4 607.9.
13 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到的25周岁以上(含25周岁)组和25周岁以下组的频率分布直方图分别如图1，图2.
图1 图2
(1) 从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名25周岁以下工人的概率；
(2) 规定日平均生产件数不少于80者为生产能手，请你根据已知条件列出2×2列联表，并依据α＝0.1的独立性检验，分析生产能手与工人所在的年龄组是否有关．
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
第八章　成对数据的统计分析
本 章 复 习
1. C　设x＝log2(i＋1)，i＝1，2，3，4，5，则＝x＋5，所以＝＝≈＝1.9，且＝9，则9＝×1.9＋5，得＝，所以＝log2(i＋1)＋5，下午4点对应的i＝7，预测此时游客的人流量为＝×log28＋5≈11.3.
2. D　颜色和高度是两个不同指标，可以用来表示两种分类变量的信息，故A正确；由等高堆积条形图的性质可知，条形图可以估计个体的有关比例，故B正确；通过等高堆积条形图中的比例分布，可以估计“X与Y有关系”成立的可能性，故C正确；由独立性检验的观测值计算公式χ2＝可知，D错误．
3. D　对于A，身高极差大约是18，臂展极差大约是23，故A不正确；对于B，身高相差10 cm的两人展臂的估计值相差11.6 cm，但不是准确值，经验回归方程上的点并不都是准确的样本点，故B不正确；对于C，身高为190 cm，代入经验回归方程可得臂展等于189.65 cm，但不是准确值，故C错误；对于D，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故D正确．
4. B　根据题意，可得如下的2×2列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男 3m 3m 6m
女 4m 2m 6m
合计 7m 5m 12m
所以χ2＝＝.因为有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即χ2≥6.635，所以≥6.635，所以m≥19.352.又m∈N*，则m的最小值为20.
5. A　＝＝＝－0.44，＝0.5，＝2，故＝－＝0.5－(－0.44)×2＝1.38，则＝－0.44x＋1.38，所以估计老张的恩格尔系数为－0.44×2.8＋1.38＝0.148.
6. D　当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好．对比4个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄．
7. CD　对于A，统计量χ2的值越大，两个分类变量的相关的可能性越大，与线性相关程度无关，故A错误；对于B，因为χ2＝6.31<6.635，在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类变量有关系，故B错误；对于C，根据独立性检验思想可知，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确；对于D，根据独立性检验思想可知χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大，故D正确．故选CD.
8. ABD　对于A，因为＝510，＝－62＝24，所以2＝81，可得＝9，所以×(6＋8＋m＋n＋11＋12)＝9，可得m＋n＝17，故A正确；对于B，因为＝×(8＋10＋12＋14＋16＋18)＝13，又r＝＝，＝(8－13)2＋(10－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2＋(18－13)2＝70，所以＝××＝40，所以＝＝＝，故B正确；对于C，＝－＝9－×13＝，故C错误；对于D，因为＝x＋，所以ε1＝m－(×12＋)，ε2＝n－，所以ε1＋ε2＝m＋n－18＝－1，故D正确．故选ABD.
9. 6　因为经验回归直线＝x＋5恒过点(，)，又因为y1y2…y9＝e51，ln (y1y2…y9)＝51，即＝×(ln y1＋ln y2＋…＋ln y9)＝＝，所以＝＋5＝，解得＝.又＝＝，所以x1＋x2＋…＋x9＝6.
10. ①②④　①显然正确；对于②，独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立，故②正确；对于③，相关系数r的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故③错误；对于④，在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝8.079>6.635，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，故④正确．
11. (6.25，4)　依题意，得的平均数为＝2.5，y的平均数为＝4，所以此曲线必过点(6.25，4).
12. (1) y＝c＋dx2适宜，由散点图可知，相关点并不聚集在一条直线上，所以要用非线性模型拟合，故用y＝c＋dx2作为企业利润y关于年份代码x的回归方程类型．
(2) 由题意，得＝(xi)2＝11，＝＝78，＝＝＝0.85，
＝－×()＝78－0.85×11＝68.65，
所以＝68.65＋0.85x2.
(3) 令x＝6，则＝68.65＋0.85×62＝99.25，
所以估计2024年的企业利润为99.25亿元．
13. (1) 由已知，得样本中有25周岁以上(含25周岁)工人60名，25周岁以下工人40名，
所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人有60×0.05＝3(名)，记为A1，A2，A3；25周岁以下的工人有40×0.05＝2(名)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).
其中，至少有一名25周岁以下工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，故所求概率P＝.
(2) 由题中频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上(含25周岁)的生产能手有60×0.25＝15(名)，25周岁以下的生产能手有40×0.375＝15(名)，据此可得2×2列联表如下：
单位：名
生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上(含25周岁) 15 45 60
25周岁以下 15 25 40
合计 30 70 100
零假设为H0：生产能手与工人所在的年龄组无关．
χ2＝≈1.79<2.706＝x0.1.
依据α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即认为生产能手与工人所在的年龄组无关．