第七章 随机变量及其分布 同步练习（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

第七章　随机变量及其分布
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一、 单项选择题
1 (2024西宁二模)在某电路上有M，N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M，N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是(　　)
A. B. C. D.
2 下列说法中，错误的是(　　)
A. 若随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ<4)＝0.79，则P(ξ≤－2)＝0.21
B. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变
C. 若随机变量ξ服从二项分布B，则E(ξ)＝1
D. 若方差D(X)＝3，则D(2X＋1)＝7
3 (2024湖州中学月考)已知正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，X～N(1，σ2)，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是(　　)
A. －P(X≤0)
B. －P(X≥2)
C. －P(1≤X≤2)
D. P(X≤2)－P(X≤0)
4 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)
A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的
C. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的
5 已知箱中装有2个白球和3个黑球，现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)2个球，规定：①取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，取出2球所得分数之和记为随机变量ξ1；②取出一个白球得1分，取出一个黑球得2分，取出2球所得分数之和记为随机变量ξ2，则下列结论中正确的是(　　)
A. E(ξ1)B. E(ξ1)D(ξ2)
C. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
D. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)＝D(ξ2)
6 (2023铜仁模拟预测)中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”“食堂届的天花板”，仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”“风味餐厅”“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食，记第n次就餐去“公寓食堂”的概率为pn，第n次就餐去“风味餐厅”的概率为qn，显然p1＝1，q1＝0.下列判断中正确的是(　　)
A. pn＋1·pn的最大值为
B. pn＋1·pn的最小值为
C. pn＋1·pn的最大值为
D. pn＋1·pn的最小值为
二、 多项选择题
7 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负．设这支篮球队与其他篮球队比赛胜负的事件是独立的，并且胜利的概率是，则下列说法中正确的是(　　)
A. 这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率为
B. 这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率为
C. 这支篮球队在6场比赛中胜场数的数学期望为2
D. 这支篮球队在6场比赛中胜场数的方差为1
8 掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用X表示掷完6次后甲、乙两盒中球的总个数，则下列结论中正确的是(　　)
A. E(X)＝3　　 B. E(－3X＋2)＝7
C. D(X)＝3　　 D. D(－3X＋2)＝
三、 填空题
9 (2024安徽部分学校月考)某商场搞抽奖活动，将30副甲品牌耳机和20副乙品牌耳机放入抽奖箱中，让顾客从中随机抽1副，两个品牌的耳机外包装相同，耳机的颜色都只有黑色和白色，记事件A＝“抽到白色耳机”，B＝“抽到乙品牌耳机”，若P(A|B)＝，P(B|A)＝，则抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有________副．
10 (2024武汉模拟预测)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为________．
11 已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m(0四、 解答题
12 (2023南通期末)袋中装有5个乒乓球，其中 2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
(1) 若直到取到新球为止，求抽取次数X的分布列及其均值；
(2) 若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
13 共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1) 从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2) 记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为n分的概率为Bn(比如：B1表示累计得分为1分的概率，B2表示累计得分为2分的概率，n∈N*)，试探求Bn与Bn－1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．
第七章　随机变量及其分布
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1. A　记事件A为“在某次通电后M，N有且只有一个需要更换”，事件B为“M需要更换”，则P(A)＝0.3×(1－0.2)＋(1－0.3)×0.2＝0.38，P(AB)＝0.3×(1－0.2)＝0.24，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
2. D　对于A，因为P(ξ<4)＝0.79，所以P(ξ≥4)＝1－0.79＝0.21.因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝0.21，故A正确；对于B，由方差的性质知B正确；对于C，若随机变量ξ服从二项分布B(5，)，则E(ξ)＝5×＝1，故C正确；对于D，D(2X＋1)＝4×3＝12，故D错误．
3. C　对于A，B，正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线关于直线x＝1对称，可得图中阴影部分可表示为P(0≤X≤1)＝P(X≤1)－P(X≤0)＝－P(X≤0)＝－P(X≥2)，故A，B正确；对于C，由对称性可得－P(1≤X≤2)＝P(X≥2)＝P(X≤0)，故C错误；对于D，由对称性可得P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，所以图中阴影部分面积可表示为P(0≤X≤1)＝[P(X≤2)－P(X≤0)]，故D正确．
4. C　因为盒中有10个螺丝钉，所以从盒中随机地抽取4个 的事件总数为C＝210.因为其中有3个是坏的，所以恰有1个坏的，4个全是好的，恰有2个好的，至多2个坏的取法数分别为CC＝105，C＝35，CC＝63，C＋CC＋CC＝203，所以恰有1个坏的概率为＝，4个全是好的概率为＝，恰有2个好的概率为＝，至多2个坏的概率为＝.故当抽取的4个螺丝钉中恰有2个好的概率为.
5. A　由题意，得随机变量ξ1的所有可能取值分别为2，3，4，则P(ξ1＝2)＝，P(ξ1＝3)＝，P(ξ1＝4)＝，所以E(ξ1)＝2×＋3×＋4×＝，所以D(ξ1)＝×＋×＋×＝.随机变量ξ2的所有可能取值分别为2，3，4，则P(ξ2＝2)＝，P(ξ2＝3)＝，P(ξ2＝4)＝，所以E(ξ2)＝2×＋3×＋4×＝，所以D(ξ2)＝×＋×＋×＝，所以E(ξ1)6. C　因为第n次就餐去“公寓食堂”的概率为pn，第n次就餐去“风味餐厅”的概率为qn，所以第n次就餐去“清真食堂”的概率为1－pn－qn，所以由全概率公式得pn＋1＝qn＋(1－pn－qn)，所以2pn＋1＋pn＝1≥2，即pn＋1·pn≤，当且仅当2pn＋1＝pn＝时等号成立．
7. ABC　这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率为P＝×＝，故A正确；这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率为P＝C××＝20××＝，故B正确；由题意，得胜场数X服从二项分布B，所以E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝，即在6场比赛中这支篮球队胜场数的数学期望为2，方差为，故C正确，D错误．故选ABC.
8. AD　将每一次掷骰子看作一次试验，试验的结果分为丙盒中放一个球(成功)或丙盒中不放球(失败)两种，且丙盒中放一个球(成功)的概率为，用Z表示6次试验中成功的次数，则Z～B(6，)，所以E(Z)＝3.由题意，得X＋Z＝6，所以X＝6－Z，所以E(X)＝E(6－Z)＝6－E(Z)＝3，则E(－3X＋2)＝－3E(X)＋2＝－7，D(Z)＝6××＝，则D(X)＝D(6－Z)＝，D(－3X＋2)＝.故选AD.
9. 10　设抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有x副，则白色耳机有(30－x)副．因为P(A|B)＝，而乙品牌耳机共有20副，所以乙品牌耳机中白色耳机有20×＝15(副)，所以抽奖箱里共有白色耳机(30－x)＋15＝45－x(副)，又P(B|A)＝，则＝，解得x＝10.
10. 　设从i(i＝1，2，3)出发最终从1号仓到达容器外的概率为Pi，所以解得P1＝.
11. 5　由题意，得ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝·＝，P(ξ＝1)＝·＋·＝，P(ξ＝2)＝·＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝≤×2＝，当且仅当m＝5时，等号成立，所以当D(ξ)取到最大值时，m的值为5.
12. (1) 由题意，得X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故抽取次数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2) 每次检验取到新球的概率均为，故X～B，所以E(X)＝5×＝3.
13. (1) 从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，则总得分为随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，
则P(ξ＝3)＝C×＝，P(ξ＝4)＝C××＝＝，
P(ξ＝5)＝C××＝，P(ξ＝6)＝C×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 3 4 5 6
P
所以数学期望E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.
(2) 已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得n－1分，再得2分，概率为Bn－1，其中B1＝.
因为Bn＋Bn－1＝1，即Bn＝－Bn－1＋1，
所以Bn－＝－，
则是首项为B1－＝－，公比为－的等比数列，所以Bn－＝－，
所以Bn＝－.