4.3.1　等比数列的概念 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4.3.1　等比数列的概念(1)
1. 通过生活中的实例，理解等比数列的概念．
2. 了解等比中项的概念．
3. 探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列与指数函数的关系．
活动一 理解等比数列的概念
类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列值得研究？
1. 请看下面几个问题中的数列：
(1) 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92，93，…，910；①
100，1002，1003，…，10010；②
5，52，53，…，510. ③
(2) 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
，，，，，….④
(3) 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2，4，8，16，32，64，….⑤
(4) 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
a(1＋r)，a(1＋r)2，a(1＋r)3，a(1＋r)4，a(1＋r)5.⑥
思考1
与等差数列类比，上述数列有什么共同的特点？
2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，并写出其递推关系式．
例1　判断下列数列是否为等比数列：
(1) 1，1，1，1，1；
(2) 0，1，2，4，8；
(3) 1，－，，－，.
等比数列的判定：
要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数．
思考2
若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？
活动二 了解等比中项的概念
例2　求下列等比数列中的未知项：
(1) a，2，8，其中a＝　　　　；
(2) 2，m，8，其中m＝　　　　；
(3) －4，b，c，，其中b＝　　　　，c＝　　　　．　
等比中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注意：(1) 两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；(2) 符号相反的两个实数不存在等比中项．
（2024重庆模拟）设n∈N*且n≥2，命题甲：数列{an}为等比数列；命题乙：an＝，则命题甲是命题乙的(　　)
A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　
C. 充要条件　 D. 既不充分也不必要条件
证明数列{an}为等比数列的方法：
(1) 定义法：＝q（q为常数，q≠0，n∈N*，n≥2）；
(2) 等比中项法：＝(n∈N*，n≥2).
活动三　掌握等比数列的通项公式
探究　根据等比数列的定义，类比等差数列的通项公式的推导过程，探究如何求等比数列的通项公式？
思考3
等比数列的通项公式，与哪一类函数形式类似？
例3　若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项．
例4　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N*).
例5　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列．
1. （2024泰州期末）已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2＝2，a3＋a4＝12，则a1的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. D.
2. 在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A. ±4 B. 4 C. ± D.
3. （多选）（2024台州期末）已知数列{an}和{bn}(n∈N*)均为等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A. {a}是等比数列
B. {an＋bn}一定不是等差数列
C. {an·bn}是等比数列
D. {an＋bn}一定不是等比数列
4. 在等比数列{an}中，已知a4＝18，q＝－3，则a7＝　　　　．
5. 在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2) 已知a3＝20，a6＝160，求an；
(3) 已知an＝3×2n，求a1和q.
4．3.1　等比数列的概念(2)
1. 进一步理解等比数列的概念．
2. 能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数、指定的项．
3. 探究并掌握等比数列的一些常用性质．
4. 掌握等比数列的简单实际应用．
活动一 巩固等比数列的基本概念
1.等比数列的定义是什么？等比数列的项有什么特征？
2. 等比中项的概念是什么？证明一个数列是等比数列有几种方法？
3. 等比数列的通项公式是什么？其推导过程用的什么方法？它的任意两项之间有怎样的关系？
活动二　等比数列的通项公式的简单实际应用　
例1　用10000元购买某个理财产品一年．
(1) 若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到0.01元）？
(2) 若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于(1)中按月结算的利息（精确到10-5）？
根据题意，把题目中的一些数组成等比数列，再根据等比数列的通项公式解决它，最后实际问题得到解决．
活动三　等比数列的基本性质　
4. 回顾：等差数列的基本性质：
探究　在等比数列{an}中，
(1) 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am，an，ap，aq有何关系？
(2) 若m＋n＝2p，则am，an，ap有何关系？
例2　(1) 在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9·a10＝100，则a18＝　　　　；
(2) 在等比数列{an}中，若a2·a3·a10·a11＝36，求a5·a8及a6·a7的值．
在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，且a3＋a8＝124，公比为整数，求a10的值．
活动四　等差、等比数列的通项公式的综合应用　
例3　已知数列{an}的首项a1＝3.
(1) 若{an}为等差数列，公差d＝2，证明：数列{3an}为等比数列；
(2) 若{an}为等比数列，公比q＝，证明：数列{log3an}为等差数列．
例4　某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
1. （2024河南月考）现存入银行10 000元，年利率是3.60%，按复利计算，第5年末的本利和是(　　)
A. 10 000×1.0363元 B. 10 000×1.0364元
C. 10 000×1.0365元 D. 10 000×1.0366元
2. 在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　　)
A. B. C. D. 6
3. （多选）（2024茂名期末）已知数列{an}为等差数列，且2a2－a1＝2，数列{bn}为等比数列，且 b2＝1，b4＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. 数列{an}的首项为4 B. a3＝2
C. b8＝64 D. 数列{bn}的公比为±2
4. 在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q＝2，且a1a2…a30＝230，则a1a4a7…a3k＋1…a28＝　　　　．
5. （2024茂名期末）治理垃圾是M市改善环境的重要举措．去年M市产生的垃圾量为100万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的80%.
(1) 写出M市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n(n∈N*)的表达式；
(2) 设Fn为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降的趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
4．3.1　等比数列的概念(1)
【活动方案】
思考1：这些数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．
2. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．递推关系式为＝q，q为常数，q≠0.
例1　(1) 是　(2) 不是　(3) 是
思考2：数列{a}，{a2n－1}，{2an}是等比数列，当{an}的公比为－1时，{an＋an＋1}不是等比数列；当{an}的公比不为－1时，{an＋an＋1}是等比数列．
例2　(1) 　(2) ±4　(3) 2　－1
跟踪训练　D　若数列{an}为等比数列，则有＝，即a＝an－1an＋1，所以an＝±，故充分性不成立；当an＝0时，数列{an}满足an＝，但此时数列{an}不为等比数列，故必要性不成立．综上，命题甲是命题乙的既不充分也不必要条件．
探究：an＝a1qn-1，探究过程略．
思考3：由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，与指数函数类似．
例3　方法一：由a4＝48，a6＝12，得
②的两边分别除以①的两边，得q2＝，解得q＝或q＝－.
把q＝代入①，得a1＝384，
此时a5＝a1q4＝384×＝24.
把q＝－代入①，得a1＝－384，
此时a5＝a1q4＝－384×＝－24.
因此，{an}的第5项是24或－24.
方法二：因为a5是a4与a6的等比中项，
所以a＝a4a6＝48×12＝576，
所以a5＝±＝±24.
因此，{an}的第5项是24或－24.
例4　由题意，得am＝a1qm-1，①
an＝a1qn-1.②
②的两边分别除以①的两边，得＝qn－m，
所以an＝amqn－m.
例5　设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列{an}的各项依次为，，80，80＋d，80＋2d，
则
解得或
所以这个数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，－48.
【检测反馈】
1. A　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，得解得
2. A　由an＝×2n-1＝2n-4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
3. AC　设等比数列{an}的公比为q，等比数列{bn}的公比为q1.对于A，＝q2，所以{a}是等比数列，故A正确；对于B，D，设an＝1，bn＝2，满足数列{an}和{bn}(n∈N*)是等比数列，所以an＋bn＝1＋2＝3，此时{an＋bn}既是等差数列，也是等比数列，故B，D错误；对于C，＝qq1，所以{an·bn}是等比数列，故C正确．故选AC.
4. －486　a7＝a4q3＝18×(－3)3＝－486.
5. (1) a6＝－96　(2) an＝5×2n-1
(3) a1＝6，q＝2
4．3.1　等比数列的概念(2)
【活动方案】
1. 等比数列的定义： x∈N*，＝q(q为常数)，它的项的特征是都不为零．
2. 若＝，则G是a，b的等比中项．证明一个数列是等比数列，可以用定义法，也可以用等比中项法．
3. 等比数列的通项公式是an＝a1qn-1.其推导过程用的是叠乘法．它的任意两项之间的关系是 an＝amqn－m.
例1　(1) 设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，
所以a12＝104(1＋0.400%)12≈10490.702，
所以12个月后的利息为10490.702－104≈490.70(元).
(2) 设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104(1＋r)，公比为1＋r，
于是b4＝104(1＋r)4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104(1＋r)4－104]元．
解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，
得r≥1.205%，
所以当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．
4. 在等差数列{an}中，
(1) 若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.
(2) 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
探究：(1) aman＝apaq　(2) aman＝a
例2　(1) 20
(2) a5·a8＝a6·a7＝±6.
跟踪训练　因为{an}是等比数列，a4·a7＝－512，
所以a3·a8＝－512.
因为a3＋a8＝124，
所以或
所以q＝－(舍去)或q＝－2，所以a10＝512.
例3　(1) 由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1.
设bn＝3an，则＝＝9.
又b1＝33＝27，
所以{3an}是以27为首项，9为公比的等比数列．
(2) 由a1＝3，q＝，
得an＝3×＝33-2n，
则log3an＝log333-2n＝3－2n，
所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2.
又log3a1＝log33＝1，
所以{log3an}是首项为1，公差为－2的等差数列．
例4　设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}．
由题意，知an＝1050×1.05n-1，bn＝1－[90%＋0.4%(n－1)]＝0.104－0.004n，其中n＝1，2，…，24，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn＝1050×1.05n-1×(0.104－0.004n)＝1.05n×(104－4n).
由计算工具计算(精确到0.1)，并列表如下：
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可．
由＝<1，
得n>5，
所以当n≥6时，{anbn}递减．
又a13b13≈98<100，
所以当13≤n≤24时，anbn≤a13b13<100，
所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内．
【检测反馈】
1. C　由复利公式可得第5年末的本利和是 10 000(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365(元).
2. A　由题意，得解得或因为an>an＋1，所以a4＝3，a14＝2，所以＝＝.
3. BCD　对于A，设等差数列{an}的公差为d，由2a2－a1＝2，可得a1＋2d＝2，不能确定a1的值，故A错误；对于B，a3＝a1＋2d＝2，故B正确；对于D，由b2＝1，b4＝4，可得q2＝4，则q＝±2，故D正确；对于C，b8＝b4q4＝64，故C正确．故选BCD.
4. 1　因为等比数列{an}满足an>0(n∈N*)，公比q＝2，a1a2…a30＝230，所以a1a2…a30＝230＝a·21+2+…+29＝a·2435，所以a＝，所以a＝，所以a1a4…a28＝a·23+6+…+27＝a·2135＝1.
5. (1) 设治理n年后，M市的年垃圾排放量构成数列{an}．
当n≤6时，{an}是首项为a1＝100－10＝90，公差为－10的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝90－10(n－1)＝100－10n；
a7＝a6＝×(100－10×6)＝32，
当n≥7时，数列{an}是首项为a7，公比为的等比数列，
所以an＝a7qn-7＝32×.
综上，治理n年后，M市的年垃圾排放量的表达式为an＝
(2) 设Sn为数列{an}的前n项和，则Fn＝.
Fn＋1－Fn＝－＝＝＝，
＝，
由(1)知，当1≤n≤6时，an＝100－10n，此时数列{an}为递减数列；
当n≥7时，an＝32×，此时数列{an}为递减数列．
又a7则有an＋1－a1<0，an＋1－a2<0，…，an＋1－an<0，
即Fn＋1－Fn<0.
所以数列{Fn}为递减数列，
即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的．