4．1　数列的概念 同步学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4．1　数列的概念
4.1.1　数列的概念(1)
1. 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数．
2. 理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的任意一项，由数列的前几项写出数列的通项公式．
活动一 理解数列及其通项公式的概念
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如：
1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168.
2. 在两河流域发掘的一块泥版(编号K90，约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示15天中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240.
3. －的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
－，，－，，….
问题1：分析上述3个例子，这些例子有什么共同特点？
数列的定义：
问题2：数列的项与它的项数分别指什么？{an}与an有何区别？
问题3：数列{an}的第n项an与项数n一定能用关系式表示吗？
问题4：数列的分类？
问题5：什么叫做数列的通项公式？
　活动二 理解数列的通项公式
　例1　根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
(1) an＝；
(2) an＝cos .
例2　如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
思考1
数列作为一类特殊的函数，其特殊性主要体现在哪些方面？它的图象有什么特点？
作出下列各数列的图象．
(1) 3，5，7，9，…；
(2) 数列；
(3) 数列{n2－4n＋3}．
活动三　会用观察法写出数列的一个通项公式
例3　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
(1) 1，－，，－，…；
(2) 2，0，2，0，….
思考2
(1) 如何表示正负相间的数列对应项的符号？
(2) 能否写出a，b，a，b，…的通项公式？
写出以下各数列的一个通项公式：
(1) 1，，，，，…；
(2) 0.9，0.99，0.999，0.999 9，….
1. 数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式，即an＝f(n).
2. 如果一个数列有通项公式，在形式上可以不止一个．
1. 下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是(　　)
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
2. 数列0，，，，，…的一个通项公式是(　　)
A. an＝ B. an＝ C. an＝ D. an＝
3. (多选)(2024绵阳开学考试)下列说法中，正确的是(　　)
A. 数列的项数是无限的
B. 数列的图象是一系列孤立的点
C. 数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
D. 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数
4. 已知数列，，，，，…，则5是它的第________项．
5. (2023全国随堂练习)根据下列图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式．
(1)
(1)　(4)　　　(7)　 　
(2)
(3)　　 (8)　　　　 (15) 　
4．1.2　数列的概念(2)
1. 巩固数列的概念，会根据数列的递推关系式写出数列中的项，并猜想数列的通项公式.
2. 了解数列的分类.
3. 理解数列{an}的前n项的和Sn与an之间的关系．
活动一 了解数列的递推关系式
例1　下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
　(1)　　 　　(2)　　　　(3)　　　　(4)
递推公式的定义：
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
例2　已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋(n≥2)，写出这个数列的前5项．
活动二 了解数列的单调性和最值
思考
与函数类比，你能定义数列的单调性吗？
例3　写出数列1，，，，，…的一个通项公式，并判断它的单调性．
已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*).
(1) 求证：an＞－2；
(2) 判断数列{an}的单调性．
对于数列{an}，
(1) 若an＜an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递增数列；
(2) 若an＞an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递减数列；
(3) 若an＝an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为常数列；
(4) 若an与an＋1大小关系不定，则称数列{an}为摆动数列．
例4　（2024上海课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断数列{an}的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．
求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项．
求数列的最大（小）项的方法
(1) 由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件．
(2) 可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项；利用不等式组(n>1)找到数列的最小项．
活动三　理解Sn与an的关系　
数列{an}的前n项和的定义：
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
例5　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，你能求出{an}的通项公式吗？
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，求数列{an}的通项公式．
数列{an}的通项公式an与前n项和Sn的关系及注意点：
an＝
①当n＝1时，若a1适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况需并入n≥2时的通项公式；
②当n＝1时，若a1不适合Sn－Sn－1，则通项公式an用分段函数的形式表示．
1. （2024郑州期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2－n＋4，则a4的值为(　　)
A. 20 B. 28 C. 32 D. 48
2. 在数列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝2an－1，则a3的值为(　　)
A. －5 B. －4 C. －3 D. －2
3. （多选）（2024南通期末）已知Sn为数列{an}的前n项和，若对任意n∈N*，an＋an＋1＝2n＋1都成立，则下列结论中正确的是(　　)
A. S2＝3 B. a1＝1 C. S8＝36 D. an＝n
4. （2024重庆期末）设n∈N*，已知数列{an}满足an＋1＝若a4＝12，则a1＝　　　　．
5. 已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1) 求证：此数列为递增数列；
(2) 求数列{an}中的最小项；
(3) 求满足an<的n的最大值.
4．1　数列的概念
4.1.1　数列的概念(1)
【活动方案】
问题1：在第1个例子中，记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1＝75，h2＝87，…，h17＝168.hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，它们之间不能交换位置，是具有确定顺序的一列数．
在第2个例子中，记第i天月亮可见部分的数为si，那么s1＝5，s2＝10，…，s15＝240.si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，它们之间不能交换位置，是具有确定顺序的一列数．
在第3个例子中，记－的i次幂为ai，那么a1＝－，a2＝，…，ai＝，….ai中的i反映了幂指数按1，2，3，4，…的顺序排列时的确定位置，它们之间不能交换位置，是具有确定顺序的一列数．
共同特点：这些数据都是按照确定顺序排列的一列数．
数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
问题2：数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
{an}表示按一定顺序排列的数列，an表示数列{an}中的第n项．
问题3：不一定，如3，1，4，1，5，9……是π的每一位，该数列的第n项an与项数n不能用关系式表示．
问题4：根据数列的项数可以将数列分为两类：(1) 有穷数列：项数有限的数列；(2) 无穷数列：项数无限的数列．
问题5：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
例1　(1) 当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15.图象如图1所示．
(2) 当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1.图象如图2所示．
图1 图2
例2　令n2＋2n＝120，解得n＝－12(舍去)或n＝10，所以120是数列{an}的项，是第10项．
思考1：数列是自变量为离散的数的函数，数列的图象是一系列离散的点，具有“散点图”的特点．
跟踪训练　略
例3　(1) 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝.
(2) 这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1＋1.
思考2：(1) 利用(－1)n或(－1)n+1来表示．
(2) an＝
跟踪训练　(1) an＝　(2) an＝
【检测反馈】
1. A　因为19×20＝380，所以380是数列{n(n＋1)}中的第19项.
2. C　将已知数列化为0，，，，，…，故an＝ .
3. BD　对于A，有穷数列的项数是有限的，故A错误；对于B，数列的项数均为正整数，若将项数作为横坐标，项作为纵坐标，画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确；对于C，相同数列中相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误；对于D，数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有穷数列与无穷数列，则数列可看作定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数，故D正确．故选BD.
4. 21　由题意，得an＝，令＝5，解得n＝21.
5. (1) 　
(10)　　　　　 (13)
由a1＝3×1－2＝1，a2＝3×2－2＝4，a3＝3×3－2＝7…，
可知点数的一个通项公式为an＝3×n－2＝3n－2.
(2) 　　
(24)　　　　　　 (35)
由a1＝3×1＝3，a2＝4×2＝8，a3＝5×3＝15…，
可知点数的一个通项公式为an＝(n＋2)×n＝n2＋2n.
4．1.2　数列的概念(2)
【活动方案】
例1　在图(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，
因此，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1.
换个角度观察图中的4个图形．可以发现，a1＝1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形．于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍．这样，该数列的前4项满足a1＝1，a2＝3a1，a3＝3a2，a4＝3a3.由此猜测这个数列满足公式an＝
例2　由题意可知
a1＝1，
a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.
思考：与函数类似，可以定义数列的单调性．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列，特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
例3　an＝，是递减数列．
跟踪训练　(1) 因为f(x)＝＝＝－2＋，
所以an＝－2＋.
因为n∈N*，所以an>－2.
(2) 因为an＝－2＋，
所以an＋1－an＝－(－2＋)＝－＝<0，
即an＋1例4　an＋1－an＝－＝.
当1≤n≤3时，an＋1－an>0，即a1当n＝4时，an＋1－an＝0，即a5＝a4；
当n≥5时，an＋1－an<0，即a5>a6>a7>…，
所以数列{an}在1≤n≤4(n∈N*)时递增，在n≥5(n∈N*)时递减，
所以数列{an}的最大项为a5＝a4＝.
又a1所以数列{an}的最小项为a1＝－1，
所以{an}的最大项为a5＝a4＝，最小项为a1＝－1.
跟踪训练　an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＋.
因为＝7.25，所以数列{an}中的最大项是第7项和第8项中的一项．
因为a7＝108，a8＝107，所以数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为第7项，即108.
例5　因为a1＝S1＝2，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，
且当n＝1时，a1＝2×1＝2依然成立，
所以{an}的通项公式是an＝2n.
跟踪训练　因为a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，显然a1符合上式，所以an＝4n(n∈N*).
【检测反馈】
1. A　a4＝S4－S3＝(3×42－4＋4)－(3×32－3＋4)＝20.
2. A　因为a1＝－，an＋1＝2an－1，所以a2＝2×－1＝－2，a3＝2×(－2)－1＝－5.
3. AC　因为对任意n∈N*，an＋an＋1＝2n＋1都成立，所以S2＝a1＋a2＝2×1＋1＝3，S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝3＋7＋11＋15＝36，故A，C正确；由a1＋a2＝3，无法确定a1的值，则数列{an}的通项公式也无法确定，故B，D错误．故选AC.
4. 2　因为a4＝2a3＝2(a2＋2)＝2(2a1＋2)＝4a1＋4＝12，所以a1＝2.
5. (1) 因为an＝＝1－，
所以an＋1＝1－，
所以an＋1－an＝－＝>0，即an＋1>an，
所以数列{an}为递增数列．
(2) 由(1)知{an}为递增数列，
所以{an}的最小项为a1＝.
(3) 令<，得－2因为n∈N*，所以满足条件的n的最大值为2.