4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点）
2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）
学习目标
导入新课
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
问题引入
相似三角形周长比等于相似比
一
问题：图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，它们都相似吗？
（都相似）
(1)
(2)
(3)
1
2
3
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的周长比=______，
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的周长比=______.
有什么规律吗？
结论： 相似三角形的周长比等于______．
相似比
1 : 2
1 : 2
1 : 3
1 : 3
讲授新课
证明：设△ABC ∽ △A1B1C1，相似比为 k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
想一想：怎么证明这一结论呢？
相似三角形周长的比等于相似比.
归纳总结
相似三角形的面积比等于相似比的平方
二
问题：图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，回答以下问题：
1
2
3
（1）
（2）
（3）
(1)与(2)的相似比=______，
(1)与(2)的面积比=______，
(1)与(3)的相似比=______，
(1)与(3)的面积比=______，
1 : 2
1 : 4
1 : 3
1 : 9
结论： 相似三角形的面积比等于____________．
相似比的平方
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
想一想：怎么证明这一结论呢？
证明：设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，
如图，分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高 AD 和 A′D′.
∵△ABD 和 △A′B′D′ 都是直角三角形，并且∠B =∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳总结
1. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1 : 9，
周长的比为______ .
1 : 3
2 : 3
4 : 9
练一练
例1 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC
与 △DEF 重叠部分的面积是△ABC 的面积的一半.已知 BC = 2，求 △ABC 平移的距离. 　
A
B
C
D
E
F
解：根据题意，可知 EG∥AB.
∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A.
∴△GEC ∽ △ABC.
即，△ABC 平移的距离为
G
A
B
C
D
E
F
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF，∠A =∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的面积和 △DEF 边 EF 上的高.
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
又 ∵∠D =∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∴
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，△ABC 的面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
△DEF 的面积为
A
B
C
D
E
F
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
练一练
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　
B
C
A
D
E
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2).
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
练一练
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC .
∵相似比为 1 : 2，∴面积比为 1 : 4.
∴
A
B
C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1.
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2.
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
当堂练习
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ
的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，
若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则
较小三角形的周长____cm，面积为 cm2.
14
____
5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点 A) 发出的光线照
射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米).
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH.
A
D
E
F
C
B
H
∴ ， 即
解得 CH = 0.9 (米).
∴ 阴影部分的面积为：
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF.
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC = 2 : 3，则 AE : AC = 2 : 5.
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25. ∴ S△ABC = 25.
7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC
于点 D、E，S△ADE＝2S△DCE，求 S△ADE : S△ABC.
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
∴
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
A
B
C
D
E
F
∴
即 S△ADE : S△ABC＝4 : 9.
相似三角形的性质2
相似三角形周长之比等于相似比
课堂小结
相似三角形面积之比等于相似比的平方