4.4 第4课时 黄金分割 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
学习目标
1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；
2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）
导入新课
通过观察，你觉得下面那副图最有美感？
事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.
黄金分割的概念
一
一个五角星如下图所示.
问题：度量 C 到点 A、B 的距离， 与 相等吗？
A
C
B
A
B
C
讲授新课
A
B
C
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ， 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比.
概念学习
1.计算黄金比.
解：由 ，得 AC = AB·BC.
设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x.
∴ x = 1 ×(1 - x)，即 x + x – 1 = 0.
解方程得：x1= (不合题意，舍去)，x2= .
黄金比
做一做
2.如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图:
1.经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB.
2.连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB.
3.在 AB 上截取 AC = AE.
思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗
A
B
D
E
C
∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点.
A
B
D
E
C
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
F
C
A
E
B
D
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么？
点 E 是 AB 的黄金分割点
（即 ）是黄金比
矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
A
B
C
D
E
F
例1 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金
分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得 x = 0.96.
设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y≈0.075，而 0.075 m = 7.5 cm.
故她应该穿约为 7.5 cm 高的高跟鞋看起来会更美.
1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( )
(A) 12.36 cm (B) 13.6 cm
(C) 32.36 cm (D) 7.64 cm
A
练一练
【解析】选A. 0.618×20 = 12.36(cm).
2.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似
于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm）
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知
∴AC2 = (10 - AC)×10，解得 AC ≈ 6.2 cm.
6.2
【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB
= ( - 40) cm，AD = AB - BD = (120 - ) cm，
所以 DC = AC - AD = ( - 160) cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、
B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =__________cm，DC =___________cm.
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30°左右.特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上.这不免让
人联想起许多与北纬 30° 有关
的地方.奇石异峰，名川秀水的
黄山，庐山，九寨沟等等.衔远
山，吞长江的中国三大淡水湖
也恰好在这黄金分割的纬度上.
大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比，普通树叶的宽与长之比也接近 0.618.
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病.人体最感舒适的温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与 0.618 有千丝万缕的联系，尚待开拓研究.人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似 0.618.
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
B
C
A
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468 米.设计师在 263 米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.
人的俊美，体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏黄金比例 0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系.也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现.
1.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1 = S2 D．S1≥S2
P
A
B
C
当堂练习
3.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？
2.点 C 是线段 AB 的黄金分割点，如果 AB = 4，求线段 AC 的长度．
AC = 4×0.618 = 2.472 或者 AC = 4×(1 - 0.618) = 1.518.
离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m
4. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 36°， BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：D 是 AC 的黄金分割点.
证明：∵在等腰△ABC 中，顶角∠A = 36°，
∴∠ABC =∠C = 72°，
∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD =∠DBC = 36°.
在△ACB 和△BCD 中，
∵∠C =∠C，∠A =∠CBD = 36°，
∴△ACB∽△BCD. ∴AC : BC = BC : DC.
A
B
C
D
∵∠DBC = 36°，∠C = 72°，
∴∠BDC = 72°.
∴BD = BC.
∴AD = BC.
∴AC : AD = AD : DC.
即点 D 是 AC 的黄金分割点．
∵∠A = ∠ABD，
∴AD = BD.
A
B
C
D
6.如图，设 AB 是已知线段，在AB 上作正方形 ABCD；
取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF = EB；以线段 AF 为边作正方形 AFGH.点 H 就是 AB 的黄金分割点.
解：设 AB = 1，那么在 Rt△BAE 中，
A
B
C
D
E
F
G
H
点 H 就是 HB 的黄金分割点.
黄金分割
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比.
课堂小结
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段 : 原线段 =
定义