4.4 探索三角形相似的条件 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
相似三角形
两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
黄金分割
知识点
相似三角形
1
2. 全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1 的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形.
例 1
如图4-4-2，已知△ABC∽△ADE，∠A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.
(1)求△ABC与△ADE的相似比；
解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.
(2)求∠AED的度数和DE的长.
解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.
B
知识点
两角分别相等的两个三角形相似
2
1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似.
2. 数学表达式 如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中，
∵∠A=∠D，且∠B = ∠E，
∴△ABC∽△DEF.
特别提醒:
由两角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角.如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角) 等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
两角分别相等的两个三角形相似
3. 常见的相似三角形的类型
(1)平行线型： 如图4－4－4 ①， 若DE∥BC， 则△ADE∽△ABC.
(2)相交线型： 如图4－4－4 ②， 若∠AED= ∠B， 则△AED∽△ABC.
两角分别相等的两个三角形相似
(3)“子母”型：如图4－4－4 ③， 若∠ACD=∠B， 则△ACD ∽△ABC.
(4)“K”型：如图4－4－4 ④， 若∠A=∠D=∠BCE=90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.
如图4-4-5，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.
求证：△ABF∽△CAF.
例2
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”. 由于∠BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠B =∠4 即可证明.
证明：∵ EF垂直平分AD，∴ AF=DF. ∴∠FAD = ∠3.
又∵∠B =∠3－∠1，∠4 =∠FAD－∠2，∠1 =∠2，
∴∠B =∠4.
又∵∠BFA =∠AFC，∴△ABF ∽△CAF.
2-1.如图， 已知在四边形ABCD中，∠ADB =∠ACB，延长AD， BC相交于点E.求证：△ACE∽△BDE.
证明：∵∠ADB ＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠ACE.
又∵∠E ＝∠E，∴△ACE∽△BDE.
知识点
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3
特别提醒:
运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS 方法.
如图4-4-7，在正方形ABCD 中，P 是BC上的一点，
且BP=3PC，Q是CD的中点. 求证：△ADQ ∽△QCP.
例 3
解题秘方：紧扣“边角关系判定相似三角形定理”证明即可.
3-1.如图，在△ABC中，D，E分别在AB与AC上， 且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4. 求证：△ADE∽△ACB.
知识点
三边成比例的两个三角形相似
4
特别提醒:
由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.
图4-4-9，图4-4-10中小正方形的边长均为1，则图4-4-10中的哪一个三角形(阴影部分)与图4-4-9 中的△ABC相似？
例4
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.
4-1. 如图，在4×4 的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上.
(1)填空：∠ABC=________°，AC= ________；
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(2)判断 ：△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
知识点
黄金分割
5
科学研究表明，当人的下半身长与身高之比为黄金分割比时，看起来最美. 某成年女士的身高为155 cm，以肚脐为分界点，下半身长94 cm，按此比例，该女士所穿高跟鞋的鞋跟最佳高度约为多少？(结果精确到0.1 cm)
例 5
解题秘方：紧扣黄金分割的比例式列出方程解决问题.
5-1.小亮家的房间高为3m. 他打算在四周墙璧涂上涂料以美化居室. 如果从地面算起，涂到的高度与房间高度的比为黄金比时，才使人感到最舒适，那么涂料大约应涂多高？(精确到0.01 m)
已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位置解决问题.
例6
C
探索三角形相似的条件
相似三角形
定义
应用
黄金分割
判定
方法
角角
边角边
边边边