第2课时 两条直线的位置关系
[考试要求] 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 ________________ _________________ _______________
垂直 _____________ _______________
相交 ________ _______________
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝__．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝__．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝__．
[常用结论]
1．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(5)点(x，y)关于y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2． ( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1． ( )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为． ( )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．2－
C．－1 D．＋1
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
3．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
4．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
考点一 两条直线位置关系的判断及应用
[典例1] (1)(2024·河南南阳三模)已知直线Ax＋By＋C＝0与直线y＝2x－3垂直，则( )
A．A＝－2B≠0 B．A＝2B≠0
C．B＝－2A≠0 D．B＝2A≠0
(2)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，则a的值为( )
A．1 B．2
C．6 D．1或2
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
[跟进训练]
1．(1)四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为( )
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
(2)使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形，实数m的值最多有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
考点二 两条直线的交点与距离问题
[典例2] (1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
(2)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．
(3)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
2．点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
[跟进训练]
2．(1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．3 B．4
C．2 D．6
(2)已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为________，此时两平行直线方程分别为________．
考点三 对称问题
点(或直线)关于点对称
[典例3] (1)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
关于线对称
[典例4] 已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则的最小值为( )
A． B．2
C． D．2
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
直线关于直线的对称问题
[典例5] 两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．
[跟进训练]
3．(1)(2025·河南信阳模拟)如图，从光源P发出的一束光，遇到平面镜(y轴)上的点B后，反射光线BC交x轴于点C(，0)，若光线PB满足的函数关系式为：y＝kx＋1，则k的值为( )
A． B．
C．1 D．－1
(2)设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________．
第2课时 两条直线的位置关系
梳理·必备知识
1．k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
3．(1) (2) (3)
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)√
二、1．C [由题意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1．]
2．C [∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1．
∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0．]
3．－9 [由得
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9．]
4．2 [由两直线平行可知≠－(m≠0)，即m＝8．
∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝＝2．]
考点一
典例1 (1)D (2)C [(1)直线y＝2x－3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－，即－且A≠0，B≠0，所以B＝2A≠0．故选D．
(2)∵直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，∴k1＝－，k2＝3－a．
∵l1∥l2，∴k1＝k2，即－＝3－a，解得a＝6．故选C．]
跟进训练
1．(1)D (2)B [(1)由kBC＝，
kAB＝，
∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，
∴BC∥AD，AB与CD不平行，
∴四边形ABCD为梯形，
又∵kAD·kAB＝－1，
∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．
(2)要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，
则，解得m＝4；
若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，
则，无解；
若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，
则，解得m＝－；
若三条直线交于一点，由
可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．]
考点二
典例2 (1)B (2)5x＋3y－1＝0 (3)x＋3y－5＝0或x＝－1 [(1)法一：由点到直线的距离公式知，点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝．故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝．故选B．
(2)法一：解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1，2)．设垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为5x＋3y＋c＝0，于是－5＋6＋c＝0，解得c＝－1，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
法二：设经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点的直线系方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋λ－1＝0，由其垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，得3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，得λ＝，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
(3)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．
由题意知，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．即直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．]
跟进训练
2．(1)B (2)3 3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0 [(1)由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，
得其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝＝4．
(2)两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，
当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
|AB|＝，
这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3，
∵直线AB的斜率kAB＝，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．]
考点三
考向1 典例3 (1)B (2)x＋4y－4＝0 [(1)法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为，
因为点在直线3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，
设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，
则O′，M′，
所以所求直线方程为，即3x－2y－2＝0．
(2)设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]
考向2 典例4 D [表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，
B(2，0)的距离之和，如图所示，
设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，
y0)，
则解得
所以对称点为A′(－2，－2)，
则|A′B|＝，
由图知的最小值为2．]
考向3 典例5 C [设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，
则
解得(*)
∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，
∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．故选C．]
跟进训练
3．(1)A (2)2x－y－5＝0 [(1)因为光线PB满足的函数关系式为y＝kx＋1，
令x＝0，可得y＝1，即点B(0，1)，
又因为C，则点C关于y轴的对称点为C′，可得BC′的斜率为kBC′＝
＝，
因为P，B，C′三点共线，可得k＝kBC′，所以k＝．
故选A．
(2)∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，
∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称．
A(－3，1)关于x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．
由两点式，可得所求直线BC的方程为2x－y－5＝0．]
1 / 6(共75张PPT)
第八章
解析几何
第2课时 两条直线的位置关系
[考试要求] 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
链接教材·夯基固本
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 ________________ _________________
_______________
垂直 _____________ _______________
相交 ________ _______________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝_____________________．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝__________．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
__________．
[常用结论]
1．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(5)点(x，y)关于y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2． ( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1． ( )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为． ( )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上． ( )
×
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．2－
C．－1 D．＋1
C [由题意得＝1，即|a＋1|＝，
又a>0，∴a＝－1．]
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
√
C [∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1．
∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0．]
3．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
－9 [由得
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9．]
－9
4．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
2 [由两直线平行可知＝≠－(m≠0)，即m＝8．
∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝＝2．]
2
考点一 两条直线位置关系的判断及应用
[典例1] (1)(2024·河南南阳三模)已知直线Ax＋By＋C＝0与直线y＝2x－3垂直，则( )
A．A＝－2B≠0 B．A＝2B≠0
C．B＝－2A≠0 D．B＝2A≠0
典例精研·核心考点
√
(2)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，则a的值为( )
A．1 B．2
C．6 D．1或2
√
(1)D (2)C [(1)直线y＝2x－3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－，即－＝－且A≠0，B≠0，所以B＝2A≠0．故选D．
(2)∵直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，∴k1＝－，k2＝3－a．
∵l1∥l2，∴k1＝k2，即－＝3－a，解得a＝6．故选C．]
名师点评 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
[跟进训练]
1．(1)四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为( )
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
(2)使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形，实数m的值最多有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
√
√
(1)D (2)B [(1)由kBC＝＝，kAD＝＝，
kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，
∴BC∥AD，AB与CD不平行，
∴四边形ABCD为梯形，
又∵kAD·kAB＝－1，
∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．
(2)要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，
则＝，解得m＝4；
若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，
则＝，无解；
若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，
则＝，解得m＝－；
若三条直线交于一点，由
可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．]
【教用·备选题】
1．已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝
( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
B [因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，则1·a＋1·b＝0，所以a＋b＝0．故选B．]
√
2．已知点P(0，2)，直线l：x＋2y－1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是_____________________．
y＝x＋2(答案不唯一) [直线l：x＋2y－1＝0的斜率为－，故只需所求直线方程斜率不是－即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y＝x＋2．]
y＝x＋2(答案不唯一)
考点二 两条直线的交点与距离问题
[典例2] (1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
(2)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为______________．
(3)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为____________________．
√
5x＋3y－1＝0
x＋3y－5＝0或x＝－1
(1)B (2)5x＋3y－1＝0 (3)x＋3y－5＝0或x＝－1 [(1)法一：由点到直线的距离公式知，点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝．故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝．故选B．
(2)法一：解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1，2)．设垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为5x＋3y＋c＝0，于是－5＋6＋c＝0，解得c＝－1，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
法二：设经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点的直线系方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋λ－1＝0，由其垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，得3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，得λ＝，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
(3)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．即直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．]
名师点评 1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
2．点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
[跟进训练]
2．(1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．3 B．4
C．2 D．6
(2)已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为________，此时两平行直线方程分别为____________________________．
√
3
3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
(1)B (2)3 3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
[(1)由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，
得其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝＝4．
(2)两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，
当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
|AB|＝＝3，
这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3，
∵直线AB的斜率kAB＝＝，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．]
考点三 对称问题
考向1 点(或直线)关于点对称
[典例3] (1)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________．
√
x＋4y－4＝0
(1)B (2)x＋4y－4＝0 [(1)法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为，
因为点在直线3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，
设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，
则O′，M′，
所以所求直线方程为＝，
即3x－2y－2＝0．
(2)设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]
考向2 关于线对称
[典例4] 已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则的最小值为( )
A． B．2
C． D．2
√
D [表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，
设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，
则
解得
所以对称点为A′(－2，－2)，
则|A′B|＝＝2，
由图知的最小值为2．]
【教用·备选题】
已知A(0，2)，B(3，－1)，点P为x轴上一动点，则|PA|－|PB|的最大值是( )
A． B．3
C．2 D．
√
A [由已知点A关于x轴的对称点为C(0，－2)，
kBC＝＝，直线BC方程为y＝x－2，
令y＝0得x＝6，所以直线BC与x轴交点为Q(6，0)，
|PA|－|PB|＝|PC|－|PB|≤|CB|
＝＝，当且仅当P是直线BC与x轴交点Q时等号成立．]
考向3 直线关于直线的对称问题
[典例5] 两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
√
C [设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，
则解得(*)
∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，
∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．故选C．]
名师点评 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．
[跟进训练]
3．(1)(2025·河南信阳模拟)如图，从光源P发出的一束光，遇到平面镜(y轴)上的点B后，反射光线BC交x轴于点C(，0)，若光线PB满足的函数关系式为：y＝kx＋1，则k的值为( )
A． B．
C．1 D．－1
(2)设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为______________．
√
2x－y－5＝0
(1)A (2)2x－y－5＝0 [(1)因为光线PB满足的函数关系式为y＝kx＋1，
令x＝0，可得y＝1，即点B(0，1)，
又因为C(，0)，则点C关于y轴的对称点为C′(－，0)，可得BC′的斜率为kBC′＝＝，
因为P，B，C′三点共线，可得k＝kBC′，所以k＝．
故选A．
(2)∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，
∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称．
A(－3，1)关于x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．
由两点式，可得所求直线BC的方程为2x－y－5＝0．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．2 B． C． D．
13
课后作业(四十八) 两条直线的位置关系
√
C [由题意得d＝＝．故选C．]
2．已知直线l1：x＋3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是
( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
C [由x＋3y＋1＝0，得y＝－x－，则＝－，
因为直线l2与l1垂直，所以＝－1，
所以＝－1，得＝，
设直线l2的倾斜角为θ，则tan θ＝，
因为0°≤θ<180°，所以θ＝60°，
故选C．]
3．过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为( )
A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0
C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
C [由解得所以交点坐标为．又因为直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝，即2x－3y＋1＝0．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2025·江苏南京模拟)已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为( )
A． B．
C．5 D．10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
B [直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由得x＝1，y＝2，所以直线过定点A(1，2)，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为＝＝，故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(教材改编)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2 B．2
C．2 D．4
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B [因为菱形四条边都相等，
所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为
＝，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，
于是有＝，得|c1－c2|＝2．故选B．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P，使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为( )
A．(－2，－3) B．(－2，3)
C．(2，5) D．(－2，2)
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B [根据题意画出大致图象，如图．
设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)，
则有
解得故A1(－2，8)．
此时直线A1B的方程为x＝－2．所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2，3)．故选B．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列命题正确的有( )
A．直线l1恒过点(0，1)
B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1
C．若l1∥l2，则m＝±1
D．若l1⊥l2，则m＝0
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
BD [把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，A错误；直线l2：x＋my＋1＝0的方向向量为(1，1)，则直线斜率k＝＝1，得m＝－1，B正确；直线l1方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，C错误；若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：x sin α－y＋1＝0，则( )
A．当m变化时，l1的倾斜角不变
B．当α变化时，l2过定点
C．l1与l2可能平行
D．l1与l2不可能垂直
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
AB [对于A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率始终为k＝－，所以l1的倾斜角不变，故A正确；对于B，直线l2：x sin α－y＋1＝0恒过定点(0，1)，故B正确；对于C，假设l1与l2平行，则－3＝2sin α，即sin α＝－，这与sin α∈[－1，1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行，故C错误；对于D，假设l1与l2垂直，则3sin α－2＝0，即
sin α＝，所以l1与l2可能垂直，故D错误．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为__________．
13
2x＋3y－1＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2x＋3y－1＝0 [∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y－1＝0上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y－1＝0．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(人教A版选择性必修第一册P79T11)在x轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形的面积为10，则点P的坐标为____________________．
13
(9，0)或(－11，0) [设P(a，0)，kAB＝＝1，直线AB的方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，则点P(a，0)到直线AB的距离d＝．因为|AB|＝＝2，S＝×|AB|×d＝＝10，解得a＝9或a＝－11，所以点P(9，0)或(－11，0)．]
(9，0)或(－11，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
四、解答题
11．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：
(1)入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解：(1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，
∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0．
由 解得
∴交点M，∴
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解得 ∴Q′(－2，－2)．
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，
又P(2，3)，Q′(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为
＝，
即5x－4y＋2＝0．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|
＝＝，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13．已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．
(1)求证：直线l过定点；
(2)已知点P(－1，－2)，当最小时，求实数m的值．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解：(1)证明：直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，即为(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由解得
即直线l过定点(2，1)．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)由题意可设直线l的方程为＝1，a＞0，b＞0，则A(a，0)，B(0，b)，又直线l过定点(2，1)，则＝1，又点P(－1，－2)，则＝(a＋1，2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋≥9＋2＝13，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4，0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－，经检验符合题意．
13
谢 谢！课后作业(四十八) 两条直线的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、单项选择题
1．点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．2 B． C． D．
2．已知直线l1：x＋3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
3．过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为( )
A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0
C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0
4．(2025·江苏南京模拟)已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为( )
A． B．
C．5 D．10
5．(教材改编)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2 B．2
C．2 D．4
6．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P，使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为( )
A．(－2，－3) B．(－2，3)
C．(2，5) D．(－2，2)
二、多项选择题
7．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列命题正确的有( )
A．直线l1恒过点(0，1)
B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1
C．若l1∥l2，则m＝±1
D．若l1⊥l2，则m＝0
8．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：x sin α－y＋1＝0，则( )
A．当m变化时，l1的倾斜角不变
B．当α变化时，l2过定点
C．l1与l2可能平行
D．l1与l2不可能垂直
三、填空题
9．已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．
10．(人教A版选择性必修第一册P79T11)在x轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形的面积为10，则点P的坐标为________．
四、解答题
11．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
12．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：
(1)入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．
13．已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．
(1)求证：直线l过定点；
(2)已知点P(－1，－2)，当最小时，求实数m的值．
课后作业(四十八)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由题意得d＝＝．故选C．]
2．C [由x＋3y＋1＝0，得y＝－x－，则＝－，
因为直线l2与l1垂直，所以＝－1，
所以＝－1，得＝，
设直线l2的倾斜角为θ，则tan θ＝，
因为0°≤θ<180°，所以θ＝60°，
故选C．]
3．C [由解得所以交点坐标为．又因为直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝，即2x－3y＋1＝0．故选C．]
4．B [直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由得x＝1，y＝2，所以直线过定点A(1，2)，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为＝＝，故选B．]
5．B [因为菱形四条边都相等，
所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为
＝，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，
于是有＝，得|c1－c2|＝2．故选B．]
6．B [根据题意画出大致图象，如图．
设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)，
则有
解得故A1(－2，8)．
此时直线A1B的方程为x＝－2．所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2，3)．故选B．]
7．BD [把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，A错误；直线l2：x＋my＋1＝0的方向向量为(1，1)，则直线斜率k＝＝1，得m＝－1，B正确；直线l1方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，C错误；若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，D正确．故选BD．]
8．AB [对于A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率始终为k＝－，所以l1的倾斜角不变，故A正确；对于B，直线l2：x sin α－y＋1＝0恒过定点(0，1)，故B正确；对于C，假设l1与l2平行，则－3＝2sin α，即sin α＝－，这与sin α∈[－1，1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行，故C错误；对于D，假设l1与l2垂直，则3sin α－2＝0，即sin α＝，所以l1与l2可能垂直，故D错误．]
9．2x＋3y－1＝0 [∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y－1＝0上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y－1＝0．]
10．(9，0)或(－11，0) [设P(a，0)，kAB＝＝1，直线AB的方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，则点P(a，0)到直线AB的距离d＝．因为|AB|＝＝2，S＝×|AB|×d＝＝10，解得a＝9或a＝－11，所以点P(9，0)或(－11，0)．]
11．解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0．
12．解：(1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，
∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0．
由 解得
∴交点M，∴
解得 ∴Q′(－2，－2)．
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，
又P(2，3)，Q′(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为
＝，
即5x－4y＋2＝0．
(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|
＝＝，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)证明：直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，即为(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由解得
即直线l过定点(2，1)．
(2)由题意可设直线l的方程为＝1，a＞0，b＞0，则A(a，0)，B(0，b)，又直线l过定点(2，1)，则＝1，又点P(－1，－2)，则＝(a＋1，2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋≥9＋2＝13，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4，0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－，经检验符合题意．
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