第3课时 圆的方程
[考试要求] 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的定义及方程
定义 平面上到______的距离等于______的点的集合(轨迹)
标准 方程 __________________________________ 圆心__________，半径r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心__， 半径__
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则____________________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则____________________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________________．
[常用结论]
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
3．阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得
＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，＋y2＝，轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． ( )
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． ( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
2．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．(人教A版选择性必修第一册P88练习T2改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．
C． D．(－2，2)
4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
考点一 圆的方程
[典例1] (1)(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．＋＝22
D．＋(y－1)2＝
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[跟进训练]
1．(1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( )
A．(x＋)2＋(y－)2＝
B．(x－)2＋(y＋)2＝2
C．(x－)2＋(y＋)2＝
D．(x＋)2＋(y－)2＝2
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(3)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点二 与圆有关的最值问题
斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例2] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
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建立函数关系求最值
[典例3] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________．
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利用对称性求最值
[典例4] 已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A． B． C．2 D．3
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1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．
3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
[跟进训练]
2．(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
(2)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是( )
A．[－3，1] B．[－1，1]
C．[－1，3] D．[1，3]
(3)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是________．
考点三 与圆有关的轨迹问题
[典例5] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
提醒：注意特殊点的取舍．
[跟进训练]
3．已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝|PM|．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第3课时 圆的方程
梳理·必备知识
1．定点 定长 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
(a，b)
2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
激活·基本技能
一、(1)√ (2)× (3)√ (4)√
二、1．A [法一：AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|＝，所以圆的方程为x2＋y2＝2．
法二(应用常用结论)：以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2．]
2．C [法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r．因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a．又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1，所以r＝2．所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：由已知条件得AB的垂直平分线方程l1：y＝x，由解得
∴圆心坐标为(1，1)，
∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．]
3．C [由题意得解得－2＜k＜，故选C．]
4．x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴ 解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
考点一
典例1 (1)AB (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5 [(1)对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；
对于C，点(0，0)，(－1，1)都不在圆＝22上，故C错误；
对于D，点(4，0)，(－1，1)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB．
(2)法一(三点共圆)：
∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴
＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法二(圆的几何性质)：
由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点(1，－1)．又圆的半径R＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．]
跟进训练
1．(1)D (2)(－2，－4) 5 (3)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 [(1)由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)＝r2(a<0，b>0)，
则即
解得
所以圆C的方程为2＋2＝2．故选D．
(2)由已知方程表示圆，得a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1．
当a＝2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．
(3)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
由题意可得
在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0．
故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．]
考点二
考向1 典例2 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图1)，此时，解得k＝±．
所以的最大值为，最小值为－．
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图2)，此时，解得b＝．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是2＝7＋4，最小值是2＝7－4．
考向2 典例3 12 [法一：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12．
法二：由向量的极化恒等式，得－4，
由于点P在圆：x2＋(y－3)2＝1上，则
当点P坐标为(0，4)时，取得最大值16，
∴的最大值为16－4＝12．]
考向3 典例4 D
[曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心，半径为1的圆， C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心，半径为1的圆．由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|－1，|PN|的最小值为|PC2|－1．
作C2关于直线x＋y＋1＝0对称的点B，设坐标为(m，n)，
可得
解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2)．
连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得
|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝＝5．当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|＋|PC2|的最小值为5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－2＝3．故选D．]
跟进训练
2．(1)C (2)C (3)4＋ [(1)法一(判别式法)：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，
即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，
故x－y的最大值是1＋3．故选C．
法二(换元法)：x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1，
因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．故选C．
法三(几何意义)：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得
(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3．
故选C．
(2)将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以＝x2＋y2－2x．因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以＝4x－3－2x＝2x－3．因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．因此－1≤2x－3≤3，从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C．
(3)由题知C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3，
所以|C1C2|＝＝＜r2－r1＝2，即圆C2包含圆C1．
又M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，
要使|PN|－|PM|最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以(|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋．]
考点三
典例5 解：(1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．
又kAC＝，kBC＝，
所以＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)(相关点法)：设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
跟进训练
3．解：(1)设动点P的坐标为(x1，y1)，
因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝|PM|，
所以＝，
整理得＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2．
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以＝2，即(x－x0，y－y0)＝2(6－x，－y)，
解得又点A在轨迹C上运动，
所以(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝，
所以点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝．
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第八章
解析几何
第3课时 圆的方程
[考试要求] 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
链接教材·夯基固本
1．圆的定义及方程
定义 平面上到______的距离等于______的点的集合(轨迹)
标准 方程 ________________________ 圆心__________，半径r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心_______________，
半径______________
定点
定长
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则____________________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则____________________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________________．
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
[常用结论]
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
3．阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，
动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得
＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，＋y2＝，轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． ( )
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． ( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． ( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0． ( )
√
×
√
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
A [法一：AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2．
法二(应用常用结论)：以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2．]
2．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
√
C [法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r．因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a．又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1，所以r＝2．所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：由已知条件得AB的垂直平分线方程l1：y＝x，
由解得
∴圆心坐标为(1，1)，
∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．]
3．(人教A版选择性必修第一册P88练习T2改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．
C． D．(－2，2)
√
C [由题意得解得－2＜k＜，故选C．]
4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_____________．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴ 解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
x2＋y2－2x＝0
考点一 圆的方程
[典例1] (1)(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．＋＝22
D．＋(y－1)2＝
典例精研·核心考点
√
√
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________________．
(1)AB (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5 [(1)对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
对于C，点(0，0)，(－1，1)都不在圆＋＝22上，故C错误；
对于D，点(4，0)，(－1，1)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB．
(2)法一(三点共圆)：
∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴＝＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法二(圆的几何性质)：
由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点(1，－1)．又圆的半径R＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．]
名师点评 求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[跟进训练]
1．(1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( )
A．(x＋)2＋(y－)2＝
B．(x－)2＋(y＋)2＝2
C．(x－)2＋(y＋)2＝
D．(x＋)2＋(y－)2＝2
√
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是___．
(3)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为__________________________________ ________．
(－2，－4)
5
x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－
8y＝0
(1)D (2)(－2，－4) 5 (3)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 [(1)由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)＝r2(a<0，b>0)，
则即
解得
所以圆C的方程为(x＋)2＋(y－)2＝2．故选D．
(2)由已知方程表示圆，得a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1．
当a＝2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．
(3)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
由题意可得
在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0．
故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．]
【教用·备选题】
1．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
√
√
√
ABD [圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝
－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8>0，∴此方程有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD．]
2．如图，点A(0，8)，B(0，2)，那么在x轴正半轴上存在点C，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB最大，这就是著名的米勒定理．那么当∠ACB取得最大时，△ABC外接圆的标准方程是 __________________．
(x－4)2＋(y－5)2＝25
(x－4)2＋(y－5)2＝25 [因为点A，B是y轴正半轴上的两个定点，点C是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理及圆的几何性质可知，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB最大．由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线必过△ABC外接圆的圆心，所以弦AB的中点G的纵坐标，即为△ABC外接圆半径的大小，即r＝5，依题意，设△ABC的外接圆圆心为(a，5)，a＞0，可得△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－5)2＝25，把点A(0，8)代入圆的方程，求得a＝4(负值舍去)，所以△ABC的外接圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25．]
3．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－．
此时C(0，－1)，AB的中点M即为圆心，
半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为＋y2＝．
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0．
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0．
令
可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和．
考点二 与圆有关的最值问题
考向1 斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例2] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图1)，此时＝，解得k＝±．
所以的最大值为，最小值为－．
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图2)，此时＝，解得b＝－2±．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4．
考向2 建立函数关系求最值
[典例3] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________．
12
12 [法一：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12．
法二：由向量的极化恒等式，得＝－＝－4，
由于点P在圆：x2＋(y－3)2＝1上，则
当点P坐标为(0，4)时，取得最大值16，
∴的最大值为16－4＝12．]
考向3 利用对称性求最值
[典例4] 已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A． B． C．2 D．3
√
D [曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心，半径为1的圆，C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心，半径为1的圆．由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|－1，|PN|的最小值为|PC2|－1．
作C2关于直线x＋y＋1＝0对称的点B，设坐标为(m，n)，可得
解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2)．
连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得
|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝＝5．当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|＋|PC2|的最小值为5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－2＝3．故选D．]
名师点评
1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．
3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
[跟进训练]
2．(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
√
(2)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是( )
A．[－3，1] B．[－1，1]
C．[－1，3] D．[1，3]
(3)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是________．
√
4＋
(1)C (2)C (3)4＋ [(1)法一(判别式法)：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，
即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，
故x－y的最大值是1＋3．故选C．
法二(换元法)：x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1，
因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．故选C．
法三(几何意义)：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得
(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3．
故选C．
(2)将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以＝x2＋y2－2x．因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以＝4x－3－2x＝2x－3．因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．因此－1≤2x－3≤3，从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C．
(3)由题知C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3，
所以|C1C2|＝＝＜r2－r1＝2，即圆C2包含圆C1．
又M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，
要使|PN|－|PM|最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以(|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋．]
【教用·备选题】
1．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1，0)，B(1，0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
√
B [法一：易得|PA|2＋|PB|2＝4，可得＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，所以|PA|＋|PB|≤2．故选B．
法二：易得|PA|2＋|PB|2＝4，设∠PAB＝θ，则|PA|＝2cos θ，|PB|＝2sin θ，所以|PA|＋|PB|＝2cos θ＋2sin θ＝2sin ，所以(|PA|＋|PB|)max＝2．故选B．]
2．(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
√
A [圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1．因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．]
考点三 与圆有关的轨迹问题
[典例5] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．
又kAC＝，kBC＝，
所以＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)(相关点法)：设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
名师点评 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
提醒：注意特殊点的取舍．
[跟进训练]
3．已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝|PM|．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
解：(1)设动点P的坐标为(x1，y1)，
因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝|PM|，
所以＝，
整理得＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2．
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以＝2，即(x－x0，y－y0)＝2(6－x，－y)，
解得又点A在轨迹C上运动，
所以(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝，
所以点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝．
【教用·备选题】
1．(多选)(2024·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A，B．点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10
C．在C上存在点M，使得＝2
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9
√
√
AD [由题意可设点P，由A，B，＝，得＝，
化简得x2＋y2＋8x＝0，即＋y2＝16，A正确；
点(1，1)到圆上的点的最大距离为d＝＋4<10，故不存在点D符合题意，B错误；
设M(x0，y0)，由＝2，得＝，又＝16，
联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，C错误；
C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为d＋r＝5＋4＝9，D正确．
故选AD．]
2．在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是_______________________．
[－2－1，2－1]
[－2－1，2－1] [设P(x，y)，则＝，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5，0)为圆心，2为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2．故实数a的取值范围是[－2－1，2－1]．]
3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．
解：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．
设P(x，y)，因为PA⊥PB，
所以＝－1(x≠±a)．
化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．
当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离是( )
A．2 B．2
C．3 D．
13
课后作业(四十九) 圆的方程
√
14
C [由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，
即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝3．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2024·辽宁大连一模)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D [令该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x－a)2＋y2＝r2，则有解得
故该圆方程为(x－2)2＋y2＝10．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A [设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2024·广东五校联考)“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A [点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内 (0－1)2＋(b－2)2<2 1所以“1题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．(2025·江苏常州模拟)实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝2，则的取值范围是( )
A．
B．[－1，7]
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [由圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2，可得圆心为(1，1)，半径为r＝，
又由＝，所以表示圆上的点P(x，y)与点A(0，－2)连线的斜率，
当直线AP与圆相切时，如图所示，设＝t，可得tx－y－2＝0，
令＝，整理得t2＋6t－7＝0，解得t＝－7或t＝1，
可得的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2025·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则||的最大值为( )
A．16 B．12
C．8 D．6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B [因为||＝2||，||max＝|OC|＋1＝＋1＝6，所以||max＝12．故选B．]
二、多项选择题
7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A．F＝4
B．圆关于直线y＝－2x对称
C．圆与y轴相切
D．的最大值为9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABD [由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
化成圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；
因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；
圆心到y轴的距离d＝2＜4，则圆与y轴相交，C错误；
的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2，1)的距离，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2，1)的距离与半径之和，
故的最大值为
＋4＝9，D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(2024·江苏南京模拟)已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有( )
A．|PA|·|PB|＝10 B．＝3
C．|PA|2＋|PB|2＝10 D．|PA|2－|PB|2＝10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BC [如图所示，以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设P(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0)．
A项，若|PA|·|PB|＝10，
则＝10，
整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，
以－x代替x，以－y代替y，方程不变，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，
令x＝0，得y＝±；
令y＝0，得x＝±；
所以该轨迹不是圆，故A错误；
B项，由|PA|＝3|PB|，得|PA|2＝9|PB|2，
即(x＋2)2＋y2＝9，
整理得x2＋y2－5x＋4＝0，即＋y2＝，
所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C项，若|PA|2＋|PB|2＝10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，
即x2＋y2＝1，所以点P的轨迹为圆，故C正确；
D项，因为|PA|2－|PB|2＝10，
所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，
即x＝，所以点P的轨迹为直线，故D错误．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
9．已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是_____________________．(写出一个符合题意的整数值)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
0或1(只写一个即可)
0或1(只写一个即可) [由题设知⊥，即点M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为，
所以点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝＝0，即直线过圆心，
所以点M到直线y＝x＋2的距离范围是[0，]，
所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．(教材改编)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为____________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
x2＋y2＝25 [设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
则＝10，a2＋b2＝100，
且∴ 代入a2＋b2＝100，
得4x2＋4y2＝100，即x2＋y2＝25，
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25．]
x2＋y2＝25
四、解答题
11．在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，D(0，a)四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点P(x，y)在圆E上，求x2＋2x＋y2的取值范围．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
解：(1)设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
将点A，B，C的坐标分别代入圆的方程，
得
解得D＝－2，E＝－6，F＝5，
得圆的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0．
将点D的坐标代入上述所得圆的方程，
得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或5．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(2)点P(x，y)在圆E：(x－1)2＋(y－3)2＝5上，
x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，
其几何意义为圆E上的点到M(－1，0)距离的平方减1．
如图，|EM|＝＝，
∴x2＋2x＋y2的最小值为()2－1＝17－2；
x2＋2x＋y2的最大值为()2－1＝17＋2．
∴x2＋2x＋y2的取值范围是[17－2，17＋2]．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．(多选)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为( )
A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4
B．点P到原点O的距离的最大值为5
C．△PAB面积的最大值为4
D．的最大值为18
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABD [设动点P(x，y)，
则由＝2，得＝2，
即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，
化简得x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；
因为点P的轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，
则点P到原点O的距离的最大值为d＝
＋2＝5，B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，
所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误；
又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，
因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，
所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)，
则≤－5×(－5)－7＝18，D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．(2024·浙江杭州期中)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
则A，B，
C，设P(x，y)，
由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆， |PA|的最大值等于|MA|＋r＝＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及△POM的面积．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
13
14
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4．
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．
由题设知＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2．
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故点O在线段PM的垂直平分线上．又点P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，故直线l的方程为x＋3y－8＝0．
又|OM|＝|OP|＝2，点O到直线l的距离为，所以|PM|＝，所以S△POM＝＝，故△POM的面积为．
题号
1
3
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2
4
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14
谢 谢！课后作业(四十九) 圆的方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共91分
一、单项选择题
1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离是( )
A．2 B．2
C．3 D．
2．(2024·辽宁大连一模)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
4．(2024·广东五校联考)“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2025·江苏常州模拟)实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝2，则的取值范围是( )
A．
B．[－1，7]
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
6．(2025·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则||的最大值为( )
A．16 B．12
C．8 D．6
二、多项选择题
7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A．F＝4
B．圆关于直线y＝－2x对称
C．圆与y轴相切
D．的最大值为9
8．(2024·江苏南京模拟)已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有( )
A．|PA|·|PB|＝10 B．＝3
C．|PA|2＋|PB|2＝10 D．|PA|2－|PB|2＝10
三、填空题
9．已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)
10．(教材改编)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
四、解答题
11．在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，D(0，a)四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点P(x，y)在圆E上，求x2＋2x＋y2的取值范围．
12．(多选)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为( )
A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4
B．点P到原点O的距离的最大值为5
C．△PAB面积的最大值为4
D．的最大值为18
13．(2024·浙江杭州期中)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及△POM的面积．
课后作业(四十九)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，
即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝3．故选C．]
2．D [令该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x－a)2＋y2＝r2，则有解得
故该圆方程为(x－2)2＋y2＝10．故选D．]
3．A [设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
4．A [点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内 (0－1)2＋(b－2)2<2 1所以“15．C [由圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2，可得圆心为(1，1)，半径为r＝，
又由＝，所以表示圆上的点P(x，y)与点A(0，－2)连线的斜率，
当直线AP与圆相切时，如图所示，设＝t，可得tx－y－2＝0，
令＝，整理得t2＋6t－7＝0，解得t＝－7或t＝1，可得的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选C．
]
6．B [因为||＝2||，||max＝|OC|＋1＝＋1＝6，所以||max＝12．故选B．]
7．ABD [由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
化成圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；
因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；
圆心到y轴的距离d＝2＜4，则圆与y轴相交，C错误；
的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2，1)的距离，
从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2，1)的距离与半径之和，
故的最大值为
＋4＝9，D正确．故选ABD．]
8．BC [如图所示，以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设P(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0)．
A项，若|PA|·|PB|＝10，
则＝10，
整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，
以－x代替x，以－y代替y，方程不变，
故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，
令x＝0，得y＝±；
令y＝0，得x＝±；
所以该轨迹不是圆，故A错误；
B项，由|PA|＝3|PB|，得|PA|2＝9|PB|2，
即(x＋2)2＋y2＝9，
整理得x2＋y2－5x＋4＝0，即＋y2＝，
所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故B正确；
C项，若|PA|2＋|PB|2＝10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，
即x2＋y2＝1，所以点P的轨迹为圆，故C正确；
D项，因为|PA|2－|PB|2＝10，
所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，
即x＝，所以点P的轨迹为直线，故D错误．故选BC．]
9．0或1(只写一个即可) [由题设知⊥，即点M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为，
所以点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝＝0，即直线过圆心，
所以点M到直线y＝x＋2的距离范围是[0，]，
所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．]
10．x2＋y2＝25 [设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
则＝10，a2＋b2＝100，
且∴ 代入a2＋b2＝100，
得4x2＋4y2＝100，即x2＋y2＝25，
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25．]
11．解：(1)设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
将点A，B，C的坐标分别代入圆的方程，
得
解得D＝－2，E＝－6，F＝5，
得圆的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0．
将点D的坐标代入上述所得圆的方程，
得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或5．
(2)点P(x，y)在圆E：(x－1)2＋(y－3)2＝5上，
x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，
其几何意义为圆E上的点到M(－1，0)距离的平方减1．
如图，|EM|＝＝，
∴x2＋2x＋y2的最小值为()2－1＝17－2；
x2＋2x＋y2的最大值为()2－1＝17＋2．
∴x2＋2x＋y2的取值范围是[17－2，17＋2]．
[B组 在综合中考查关键能力]
12．ABD [设动点P(x，y)，
则由＝2，得＝2，
即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，
化简得x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；
因为点P的轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，
则点P到原点O的距离的最大值为d＝
＋2＝5，B正确；
又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，
所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误；
又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，
因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，
所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)，
则≤－5×(－5)－7＝18，D正确．
故选ABD．]
13． [以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则A，B，
C，设P(x，y)，
由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆， |PA|的最大值等于|MA|＋r＝＝．]
14．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4．
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．
由题设知＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2．
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故点O在线段PM的垂直平分线上．又点P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，故直线l的方程为x＋3y－8＝0．
又|OM|＝|OP|＝2，点O到直线l的距离为，所以|PM|＝，所以S△POM＝＝，故△POM的面积为．
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