第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考试要求] 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d____r d____r d____r
代数法： 由 消元得到一元二次方程 根的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
2．圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
外离 外切 相交 内切 内含
图 形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ______________________ d＝|r1－r2| _______________
[常用结论]
1．圆的切线方程的常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交． ( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2．(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切 C．外切 D．内含
3．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0相交，且公共弦长为2，则a＝________．
4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________________________．
考点一 直线与圆的位置关系
[典例1] (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题
该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t．
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t．
[跟进训练]
1．(1)(2024·安徽黄山三模)直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
(2)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r＞0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
考点二 圆与圆的位置关系
[典例2] (1)(2025·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝－x＋1或y＝x＋5
C．y＝－x＋5 D．y＝x＋1或y＝2x＋5
(2)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是( )
A．C1与C2的公切线恰有4条
B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0
C．C1与C2相交弦的弦长为
D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12
(3)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2．
[跟进训练]
2．(1)(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O( )
A．外切 B．相交
C．内切 D．没有公共点
(2)已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________________________________________．
考点三 圆的切线、弦长问题
切线问题
[典例3] 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．求：
(1)过点P的圆C的切线方程；
(2)过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
弦长问题
[典例4] (1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求圆的切线、弦长时需注意的问题
(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜率不存在的情况．
(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．
[跟进训练]
3．(1)由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．3
(2)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
考点四 与圆有关的综合问题
[典例5] 已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2．
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
(2)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．
[跟进训练]
4．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
梳理·必备知识
1．< ＝ > > ＝ <
2．|r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＜|r1－r2|
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)√
二、1．B [圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝，而0<<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．]
2．B [两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4．两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2．因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．]
3．± [圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程：2ax＋4ay－5＝0，
圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)到公共弦距离d＝，则公共弦长为2解得a＝±．]
4．5x－12y＋45＝0或x－3＝0 [化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心O为(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，所以k＝，此时切线方程为5x－12y＋45＝0．
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]
考点一
典例1 (1)A (2)C (3) [(1)法一(代数法)：
由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，所以直线l与圆相交．
法三(点与圆的位置关系法)：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．
(2)如图所示，因为圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离为d＝＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．
(3)因为kAB＝，所以直线AB关于y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，所以≤1，整理可得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤．]
跟进训练
1．(1)C (2)ABD [(1)由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点(0，2)，
又由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，可得点(0，2)在圆C上，
因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2．
故选C．
(2)∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，
∴直线l与圆C相切，A正确；
∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确；
∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＜r，∴直线l与圆C相交，C错误；
∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD．]
考点二
典例2 (1)A (2)BD (3)[4，6] [(1)C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，半径r1＝2半径r2＝＝＝r1－r2，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直＝1，
所以切线斜率为－1，
由方程组
解得
故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，
故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1．故选A．
(2)由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，
d＝|C1C2|＝＝5，r2－r1＜d＜r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为，
故相交弦的弦长为2．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12．
故选BD．
(3)∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3，4)，半径r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交，
即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6．]
跟进训练
2．(1)B (2)[0，3] (3)y＝－或y＝或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可) [(1)直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，
则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1．
圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心坐标为(a，b)，半径为，
其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B．
(2)设M(x，y)，因为A(0，2)，O(0，0)，
所以＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)．
因为＝3，
所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，
化简得x2＋(y－1)2＝4，
所以点M的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆．
因为点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，
所以两圆必须相交或相切．
所以1≤≤3，
解得0≤a≤3．
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，3]．
(3)圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切．如图，当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋．
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意
解得所以m的方程为y＝x－．
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
考点三
考向1 典例3 解：由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2．
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1．
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0．
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，
即x－3＝0．
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆C的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d1＝＝r＝2，解得k＝．
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0．
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0．
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1．
考向2 典例4 (1)B (2)4 [(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得
得或
∴|AB|＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋＝r2，
∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0．
综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0．故选B．
(2)由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝．
由|AB|＝2，得＋()2＝12，解得m＝－．又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝．
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝．在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2＝4．]
跟进训练
3．(1)C (2)C [(1)如图，切线长|PM|＝为C
到直线y＝x＋1的距离即时，，故选C．
(2)因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，
令
得
故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．
圆的方程化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝r＝＝2|AP|＝＝4．
故选C．]
考点四
典例5 解：(1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
将直线l：y＝kx－2代入圆O：x2＋y2＝2，
整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，
∴x1＋x2＝，
Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，
当∠AOB为锐角时，
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)·(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴－＜k＜－1或1＜k＜．
故k的取值范围为∪．
(2)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0，
∴x2－tx＋y2－y＝0．
又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，
两圆作差得lCD：tx＋y－2＝0，
即t－2y－2＝0，
由得
∴直线CD过定点．
跟进训练
4．解：(1)设圆心C(a，0)，则＝2?a＝0或a＝－5(舍)，所以圆C的方程为x2＋y2＝4．
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝．
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN?＝0?＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?＋2t＝0?t＝4．所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
综上，存在定点N(4，0)满足题意．
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第八章
解析几何
第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考试要求] 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
链接教材·夯基固本
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d____r d____r d____r
代数法： 由 消元得到一元二次方程 根的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
<
＝
>
>
＝
<
2．圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
外离 外切 相交 内切 内含
图 形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 __________________ d＝|r1－r2| _________
|r1－r2|＜
d＜r1＋r2
d＜|r1－r2|
[常用结论]
1．圆的切线方程的常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交． ( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2． ( )
×
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
B [圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．]
2．(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切 C．外切 D．内含
√
B [两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4．两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2．因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．]
3．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0相交，且公共弦长为2，则a＝________．
± [圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程：2ax＋4ay－5＝0，
圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)到公共弦距离d＝＝，则公共弦长为2＝2，解得a＝±．]
±
4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_____________________ _____．
5x－12y＋45＝0或x－
3＝0
5x－12y＋45＝0或x－3＝0 [化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心O为(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，所以k＝，此时切线方程为5x－12y＋45＝0．
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]
考点一 直线与圆的位置关系
[典例1] (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
典例精研·核心考点
√
(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
√
(1)A (2)C (3) [(1)法一(代数法)：
由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，所以直线l与圆相交．
法三(点与圆的位置关系法)：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．
(2)如图所示，因为圆心(3，3)到直线3x＋4y－11
＝0的距离为d＝＝2，又因为圆的半径
为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离
为1的点有3个．
(3)因为kAB＝，所以直线AB关于y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，所以≤1，整理可得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤．]
名师点评
1．判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题
该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t．
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t．
[跟进训练]
1．(1)(2024·安徽黄山三模)直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
√
(2)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r＞0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
√
√
√
(1)C (2)ABD [(1)由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点(0，2)，
又由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，可得点(0，2)在圆C上，
因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2．
故选C．
(2)∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确；
∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确；
∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＜r，∴直线l与圆C相交，C错误；
∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD．]
【教用·备选题】
1．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
√
A [计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1．]
2．(2024·广东广州模拟)已知圆C1：x2＋y2－2ax＋4by＋4＝0，则直线ax－2by＋2＝0与圆C2：x2＋y2＝1的位置关系是________．
相交
相交 [因为(x－a)2＋(y＋2b)2＝a2＋4b2－4表示圆C1的方程，
所以a2＋4b2－4>0，即a2＋4b2>4．
因为圆C2的圆心到直线ax－2by＋2＝0的距离＝<＝1，
所以直线ax－2by＋2＝0与圆C2：x2＋y2＝1相交．]
考点二 圆与圆的位置关系
[典例2] (1)(2025·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝－x＋1或y＝x＋5
C．y＝－x＋5 D．y＝x＋1或y＝2x＋5
√
(2)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是( )
A．C1与C2的公切线恰有4条
B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0
C．C1与C2相交弦的弦长为
D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12
(3)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围为________．
√
√
[4，6]
(1)A (2)BD (3)[4，6] [(1)C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，半径r1＝2， C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圆心C2(－3，2)，半径r2＝，因为|C1C2|＝＝r1－r2，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直＝1，
所以切线斜率为－1，
由方程组
解得
故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，
故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1．故选A．
(2)由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，
d＝|C1C2|＝＝5，r2－r1＜d＜r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为，
故相交弦的弦长为2＝．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12．故选BD．
(3)∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3，4)，半径r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交，
即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6．]
【教用·备选题】
1．圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－]
B．[，＋∞)
C．[－]
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
√
D [由圆x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为(0，2)，半径为2．
由圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0得(x＋m)2＋y2＝1，则圆心坐标为(－m，0)，半径为1．
因为两圆至少有三条公切线，
所以两圆外切或外离，所以≥3，
解得m≤－或m≥．故选D．]
2．(多选)已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是( )
A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交
B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离
C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m>
D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝
√
√
AC [圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心为O1(1，0)，半径r1＝2，若m＝4，则圆O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心为O2(5，0)，半径r2＝4，可得|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|，故C
正确；圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d1＝＝，所以|MN|＝＝2＝，故D错误．故选AC．]
名师点评 1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2．
[跟进训练]
2．(1)(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O( )
A．外切 B．相交
C．内切 D．没有公共点
(2)已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．
√
[0，3]
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_____________________________________ ____________________________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(从这三
条公切线中任选一条作答即可)
(1)B (2)[0，3] (3)y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可) [(1)直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，
则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1．
圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心坐标为(a，b)，半径为，
其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B．
(2)设M(x，y)，因为A(0，2)，O(0，0)，
所以＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)．
因为＝3，
所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，
化简得x2＋(y－1)2＝4，
所以点M的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆．
因为点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，
所以两圆必须相交或相切．
所以1≤≤3，
解得0≤a≤3．
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，3]．
(3)圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切．如图，当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋．
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意
解得所以m的方程为y＝x－．
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
考点三 圆的切线、弦长问题
考向1 切线问题
[典例3] 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．求：
(1)过点P的圆C的切线方程；
(2)过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解：由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2．
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1．
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0．
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，
即x－3＝0．
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆C的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d1＝＝r＝2，解得k＝．
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0．
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0．
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1．
考向2 弦长问题
[典例4] (1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
√
(2)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
4
(1)B (2)4 [(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得
得或
∴|AB|＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d 2＋＝r2，
∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0．
综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0．故选B．
(2)由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝．
由|AB|＝2，得＋()2＝12，解得m＝－．又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝．
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，
则∠DCE＝．在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2＝4．]
名师点评 求圆的切线、弦长时需注意的问题
(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜率不存在的情况．
(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．
[跟进训练]
3．(1)由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．3
(2)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
√
√
(1)C (2)C [(1)如图，切线长|PM|＝，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即＝2时，|PM|的最小值为，故选C．
(2)因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得
故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．
圆的方程化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝r＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故选C．]
考点四 与圆有关的综合问题
[典例5] 已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2．
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
(2)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．
解：(1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
将直线l：y＝kx－2代入圆O：x2＋y2＝2，
整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，
当∠AOB为锐角时，
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴－＜k＜－1或1＜k＜．
故k的取值范围为(－，－1)∪(1，)．
(2)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0，
∴x2－tx＋y2－y＝0．
又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，
两圆作差得lCD：tx＋y－2＝0，
即t－2y－2＝0，
由得
∴直线CD过定点．
名师点评 立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．
[跟进训练]
4．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a，0)，则＝2 a＝0或a＝－5(舍)，所以圆C的方程为x2＋y2＝4．
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN ＝0 ＝0 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 ＋2t＝0 t＝4．所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
综上，存在定点N(4，0)满足题意．
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024·山东淄博二模)若圆C：x2＋2x＋y2－3＝0，则直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
13
课后作业(五十) 直线与圆、圆与圆的位置关系
√
A [l：mx＋y＝0经过定点(0，0)，由于02＋2×0＋02－3＝－3<0，则定点在圆内．
故直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是相交．故选A．]
题号
1
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13
2．(2025·河南郑州模拟)以点(1，1)为圆心的圆C截直线y＝x＋2所得的弦长为2，则圆C的半径为( )
A．1 B．
C．2 D．
题号
1
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12
13
√
D [由题意可知：圆心(1，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以圆C的半径为r＝＝．故选D．]
3．(2025·山东潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是( )
A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3)
C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3)
题号
1
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12
√
13
C [将P(3，0)代入圆方程得32＋02－2×3＝3>0，则该点在圆外， C：x2＋y2－2x＝0，
即C：(x－1)2＋y2＝1，则其圆心为(1，0)，半径为1，
当切线斜率不存在时，此时直线方程为x＝3，显然不符合题意，故舍去，
则设切线方程为：y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，
则有＝1，解得k＝±，此时切线方程为y＝±(x－3)．故选C．]
题号
1
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12
13
4．(2024·山东大联考)已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．内含
题号
1
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√
13
D [圆M：x2＋y2＋2ay＝0 x2＋(y＋a)2＝a2，所以圆心M(0，－a)，半径为a．
由点到直线距离公式得：＝＝，且a>0，所以a＝．
又圆N的圆心N(2，－2)，半径为1．
所以|MN|＝＝，|a－1|＝．
由<，所以两圆内含．故选D．]
题号
1
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题号
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12
5．(2025·湖北八校联考)过点(－2，0)与圆x2＋y2＝1相切的两条直线的夹角为α，则cos α＝( )
A． B．
C． D．－
13
√
题号
1
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11
12
A [Rt△AOB中，|AO|＝2，|OB|＝1，
∴∠BAO＝，即∠BAC＝，cos∠BAC＝，故选A．]
13
题号
1
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11
12
6．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，A(－3，0)，若圆C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则正数a的取值范围为( )
A．(0，1] B．
C． D．
13
√
题号
1
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9
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11
12
D [设P(x，y)，则由|PA|＝2|PO|，得到＝2，
整理得到(x－1)2＋y2＝4，又点P在圆C上，
所以(x－1)2＋y2＝4与圆C有交点，
又(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，圆C的圆心为(a，a)，半径为R＝a，
所以|2－a|≤≤2＋a，解得1≤a≤3＋2，故选D．]
13
题号
1
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二、多项选择题
7．(2024·福建南平二模)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)，则( )
A．直线l过定点(3，1)
B．圆C被x轴截得的弦长为4
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
13
√
√
√
题号
1
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13
ACD [对于A，直线l的方程变形为：(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直线l恒过定点P(3，1)，故A正确；
对于B，圆C的圆心C(1，2)，半径r＝5，
C(1，2)到x轴的距离为2，所以圆C被x轴截得的弦长为2＝2，故B错误；
题号
1
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13
对于C，当m＝－2时，直线l：3x＋y－10＝0，
此时圆心C(1，2)到直线l的距离d＝＝，
而r－d＝5－<4，
所以当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确；
对于D，当PC⊥l时，弦长最短，
此时kl＝－＝－＝2，因为直线l过定点P(3，1)，
所以l的方程为y－1＝2(x－3)，化简为2x－y－5＝0，故D正确．故选ACD．]
题号
1
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12
8．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
13
√
√
√
题号
1
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12
ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，B不正确．
13
题号
1
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12
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，C，D都正确．故选ACD．]
13
题号
1
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12
三、填空题
9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值
_________________________________．
13
2
题号
1
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12
2 [设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
13
题号
1
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12
10．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
13
－或－
题号
1
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12
－或－ [点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0，
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝＝1．
化为24k2＋50k＋24＝0，
∴k＝－或－．]
13
题号
1
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11
12
11．已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________．
13
2
题号
1
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10
11
12
2 [设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2，
又b≠－，则λ≠1，整理得x2＋y2－x＋＝0，
所以
解得
13
题号
1
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11
12
如图所示，S△MAB＝|AB|·|yM|，
由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0，1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面积的最大值为×1＝．]
13
题号
1
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11
12
四、解答题
12．已知圆C：x2＋y2＝25，点P(3，4)．
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．
13
题号
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12
解：(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3≠5＝r，不成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝5，
解得k＝－，所以直线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0．
所以过点P的圆C的切线方程为3x＋4y－25＝0．
13
题号
1
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12
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3，则直线被截得弦长为l＝2＝8，成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
13
题号
1
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12
圆心到直线的距离为d＝，
直线被截得弦长为l＝2
＝2＝8，解得k＝．
所以直线方程为y－4＝(x－3)，即7x－24y＋75＝0．
综上，直线m的方程为x＝3或7x－24y＋75＝0．
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题号
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12
13．已知圆C：x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0，m∈R．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当m＝0时，点P为直线l：＝1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值，并写出此时直线AB的方程．
13
题号
1
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12
解：(1)证明：依题意，将圆C的方程x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0化为
x2＋y2＋4y－1＋(1－x－2y)m＝0，
令1－x－2y＝0，即x＝1－2y，则(1－2y)2＋y2＋4y－1＝0恒成立，
解得x＝1，y＝0，即圆C过定点(1，0)．
(2)当m＝0时，圆C：x2＋(y＋2)2＝5，
直线l：＝1，
设P(s，t)，依题意四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝2×|PA|×，
13
题号
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12
当|PA|取得最小值时，四边形PACB的面积最小，
又|PA|＝，即当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，
圆心C(0，－2)到直线l：＝1的距离即为|PC|的最小值，
即|PC|min＝＝2，|PA|min＝＝，
Smin＝＝5，即四边形PACB面积的最小值为5，
此时直线PC与直线l垂直，
所以直线PC的方程为y＝2x－2，与直线l联立，解得P(2，2)，
13
题号
1
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12
设以PC为直径的圆Q上任意一点D(x，y)，＝x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
故圆Q的方程为x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
即x2＋y2－2x－4＝0，又圆C：x2＋y2＋4y－1＝0，
两式作差可得直线AB的方程为2x＋4y＋3＝0．
13
谢 谢！课后作业(五十) 直线与圆、圆与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共80分
一、单项选择题
1．(2024·山东淄博二模)若圆C：x2＋2x＋y2－3＝0，则直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．(2025·河南郑州模拟)以点(1，1)为圆心的圆C截直线y＝x＋2所得的弦长为2，则圆C的半径为( )
A．1 B．
C．2 D．
3．(2025·山东潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是( )
A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3)
C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3)
4．(2024·山东大联考)已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．内含
5．(2025·湖北八校联考)过点(－2，0)与圆x2＋y2＝1相切的两条直线的夹角为α，则cos α＝( )
A． B．
C． D．－
6．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，A(－3，0)，若圆C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则正数a的取值范围为( )
A．(0，1] B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·福建南平二模)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)，则( )
A．直线l过定点(3，1)
B．圆C被x轴截得的弦长为4
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
8．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题
9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
10．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
11．已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________．
四、解答题
12．已知圆C：x2＋y2＝25，点P(3，4)．
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．
13．已知圆C：x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0，m∈R．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当m＝0时，点P为直线l：＝1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值，并写出此时直线AB的方程．
课后作业(五十)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [l：mx＋y＝0经过定点(0，0)，由于02＋2×0＋02－3＝－3<0，则定点在圆内．
故直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是相交．故选A．]
2．D [由题意可知：圆心(1，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以圆C的半径为r＝＝．故选D．]
3．C [将P(3，0)代入圆方程得32＋02－2×3＝3>0，则该点在圆外， C：x2＋y2－2x＝0，
即C：(x－1)2＋y2＝1，则其圆心为(1，0)，半径为1，
当切线斜率不存在时，此时直线方程为x＝3，显然不符合题意，故舍去，
则设切线方程为：y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，
则有＝1，解得k＝±，此时切线方程为y＝±(x－3)．故选C．]
4．D [圆M：x2＋y2＋2ay＝0 x2＋(y＋a)2＝a2，所以圆心M(0，－a)，半径为a．
由点到直线距离公式得：＝＝，且a>0，所以a＝．
又圆N的圆心N(2，－2)，半径为1．
所以|MN|＝＝，|a－1|＝．
由<，所以两圆内含．故选D．]
5．A [Rt△AOB中，|AO|＝2，|OB|＝1，
∴∠BAO＝，即∠BAC＝，cos∠BAC＝，故选A．]
6．D [设P(x，y)，则由|PA|＝2|PO|，得到＝2，
整理得到(x－1)2＋y2＝4，又点P在圆C上，
所以(x－1)2＋y2＝4与圆C有交点，
又(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，圆C的圆心为(a，a)，半径为R＝a，
所以|2－a|≤≤2＋a，解得1≤a≤3＋2，故选D．]
7．ACD [对于A，直线l的方程变形为：(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直线l恒过定点P(3，1)，故A正确；
对于B，圆C的圆心C(1，2)，半径r＝5，
C(1，2)到x轴的距离为2，所以圆C被x轴截得的弦长为2＝2，故B错误；
对于C，当m＝－2时，直线l：3x＋y－10＝0，
此时圆心C(1，2)到直线l的距离d＝＝，
而r－d＝5－<4，
所以当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确；
对于D，当PC⊥l时，弦长最短，
此时kl＝－＝－＝2，因为直线l过定点P(3，1)，
所以l的方程为y－1＝2(x－3)，化简为2x－y－5＝0，故D正确．故选ACD．]
8．ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，C，D都正确．故选ACD．
]
9．2 [设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
10．－或－ [点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0，
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝＝1．
化为24k2＋50k＋24＝0，
∴k＝－或－．]
11．2 [设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2，
又b≠－，则λ≠1，整理得x2＋y2－x＋＝0，
所以
解得
如图所示，S△MAB＝|AB|·|yM|，
由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0，1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面积的最大值为×1＝．]
12．解：(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3≠5＝r，不成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝5，
解得k＝－，所以直线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0．
所以过点P的圆C的切线方程为3x＋4y－25＝0．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3，则直线被截得弦长为l＝2＝8，成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
圆心到直线的距离为d＝，
直线被截得弦长为l＝2
＝2＝8，解得k＝．
所以直线方程为y－4＝(x－3)，即7x－24y＋75＝0．
综上，直线m的方程为x＝3或7x－24y＋75＝0．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)证明：依题意，将圆C的方程x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0化为
x2＋y2＋4y－1＋(1－x－2y)m＝0，
令1－x－2y＝0，即x＝1－2y，则(1－2y)2＋y2＋4y－1＝0恒成立，
解得x＝1，y＝0，即圆C过定点(1，0)．
(2)当m＝0时，圆C：x2＋(y＋2)2＝5，
直线l：＝1，
设P(s，t)，依题意四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝2×|PA|×，
当|PA|取得最小值时，四边形PACB的面积最小，
又|PA|＝，即当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，
圆心C(0，－2)到直线l：＝1的距离即为|PC|的最小值，
即|PC|min＝＝2，|PA|min＝＝，
Smin＝＝5，即四边形PACB面积的最小值为5，
此时直线PC与直线l垂直，
所以直线PC的方程为y＝2x－2，与直线l联立，解得P(2，2)，
设以PC为直径的圆Q上任意一点D(x，y)，＝x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
故圆Q的方程为x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
即x2＋y2－2x－4＝0，又圆C：x2＋y2＋4y－1＝0，
两式作差可得直线AB的方程为2x＋4y＋3＝0．
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