第5课时 椭圆及其性质
[考试要求] 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．掌握椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的______，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____
焦距 |F1F2|＝____
离心率 e＝∈__________
a，b，c 的关系 c2＝________
[常用结论]
1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ．
(1)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc．
2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( )
(3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(4)＝1(a>b>0)与＝1(a>b>0)的焦距相同． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P109练习T1改编)若椭圆＋y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
3．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△AF1B的周长为________．
4．(人教A版选择性必修第一册P108例3改编)如图，设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，则点M的轨迹方程为________．
考点一 椭圆的定义及应用
[典例1] (1)已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C． D．2
(2)(2024·广东江门二模)已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1内切于圆P，圆P内切于圆B：(x－1)2＋y2＝49，则动圆P的圆心的轨迹方程为________．
(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
(3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化．
[跟进训练]
1．(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．1 B．2
C．4 D．5
(2)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为________．
(3)(教材改编)动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和动点M到定直线l：x＝9的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程为________．
考点二 椭圆的标准方程
椭圆标准方程的特征
[典例2] (多选)(2024·福建龙岩期中)已知曲线C：＝1，则( )
A．当m＝8时，C是圆
B．当m＝10时，C是焦距为4的椭圆
C．当C是焦点在x轴上的椭圆时，5
D．当C是焦点在y轴上的椭圆时，8[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
椭圆标准方程的求法
[典例3] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，()，则椭圆的标准方程为________．
(2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程＝1与＝λ(λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
[跟进训练]
2．(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(2)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________．
考点三 椭圆的简单几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
[典例4] (2025·广东广州模拟)已知椭圆E的方程为＝8，则椭圆E( )
A．长轴长为16
B．短轴长为4
C．焦距为2
D．焦点为(－2，0)，(2，0)
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
离心率问题
[典例5] (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)若椭圆＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
与椭圆有关的最值(范围)问题
[典例6](1)设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c．利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率．利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．
[跟进训练]
3．(1)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)(多选)(2024·广东广州模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋]
C．存在点Q使得＝0
D．的最小值为1
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
过椭圆＝1上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：PM⊥PN．
性质2：PO平分切点弦MN．
性质3：S△MON的最大值为，S△MON的最小值为．
[典例](多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＝1的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则( )
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第5课时 椭圆及其性质
梳理·必备知识
1．常数 焦点 焦距
2．2a 2b 2c (0，1) a2－b2
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、1．A [椭圆＋y2＝1的长轴长2a＝10，而点P到椭圆一个焦点的距离为7，所以P到另一个焦点的距离为2a－7＝3．
故选A．]
2．D [把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝，故选D．]
3．20 [△AF1B的周长为4a＝4×5＝20．]
4．＝1(x≠±3) [设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－3，0)，
所以直线AM的斜率为kAM＝(x≠－3)，
同理，直线BM的斜率为kBM＝(x≠3)，
由已知，有(x≠±3)，化简，
得点M的轨迹方程为＝1(x≠±3)．]
考点一
典例1 (1)C (2)＝1 (3)6＋ 6－ [
(1)由椭圆＝1，得a＝5，b＝3，c＝4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∴m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得
(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos ∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·，
可得64＝100－mn，得mn＝，
故mn·sin ∠F1PF2＝．
故选C．
(2)设圆P的半径为R，则|PA|＝R－1，|PB|＝7－R，则|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝2，
所以点P的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则2a＝6，c＝1，所以a＝3，b2＝a2－c2＝8，
所以动圆P的圆心的轨迹方程为＝1．
(3)椭圆方程可化为＝1．
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，连接AF1，PF1(图略)，
∴|AF1|＝
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤≤|PA|＋|PF|≤6＋．∴，最小值为6－．]
跟进训练
1．(1)B (2)＝1 (3)＝1 [(1)法一：因为＝0，所以PF1⊥PF2，则＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B．
法二：因为＝0，所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B．
(2)由题意得圆F的半径r＝2，圆心F(1，0)，且|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＝1．
(3)设d是点M到直线l：x＝9的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝．
由此得，＝．
将上式两边平方，并化简，得8x2＋9y2＝72，即＝1．]
考点二
考向1
[典例2] AB [对于A，当m＝8时，曲线C为x2＋y2＝3，此时曲线表示圆，所以选项A正确；
对于B，当m＝10时，曲线C为＋y2＝1，此时曲线为椭圆且椭圆C的焦距为2＝4，所以选项B正确；
对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得8对于D，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得5考向2
[典例3] (1)＝1 (2)＝1 (3)＝1或＝1 [(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝．
∴椭圆的标准方程为＝1．
(2)法一(定义法)：椭圆＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4．
由椭圆的定义知，
2a＝，
解得a＝2．
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＝1．
法二(待定系数法)：∵所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．
设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16． ①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＝1，
则＝1． ②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＝1．
(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＝1．
综上得，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．]
跟进训练
2．(1)B (2)＝1 [(1)因为离心率e＝，解得别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为＝－1．
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．故选B．
(2)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝2－2．
因为离心率e＝，所以，
解得a＝2，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为＝1．]
考点三
考向1 典例4 B [因为＝8>4，
所以椭圆E是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，
设椭圆E：＝1(a>b>0)，由题意知2a＝8，
即a＝4．由b2＝a2－c2＝12可知其方程为＝1．
由方程可得长轴长为8，焦距为4，短轴长为4．
故选B．]
考向2 典例5 (1)A (2) [(1)A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，
则kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝＝＝，
又＝1，则＝，
所以＝，即＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝．
故选A．
(2)法一：设点M的坐标是(x0，y0)，
则|x0|∵F1(－c，0)，F2(c，0)，
∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)．
∵∠F1MF2＝90°，
∴＝＝0，即＝c2．
又点M在椭圆上，即＝，
＝∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，
∴c2≥b2＝a2－c2，即，
又0故椭圆的离心率e的取值范围是．
法二：设点M的坐标是(x0，y0)，
由法一可得 消去y0，
得＝，
由②得c2－b2由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，
则e2＝．又0故椭圆的离心率e的取值范围是．
法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，即，
又0故椭圆的离心率e的取值范围为．]
考向3 典例6 (1)A (2)A [(1)由题意知，当M在短轴端点时，∠AMB最大．
①如图1，当焦点在x轴上，即0＜m＜3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1．
②如图2，当焦点在y轴上，即m＞3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴m≥9．
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)，
故选A．
(2)法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝．
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．
法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．
易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝．易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．]
跟进训练
3．(1)A (2)BCD [(1)如图，设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为平行四边形．设|AF|＝m．因为∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m．因为|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，所以m＝a．在△BFF2中，(2c)2＝＋－2×a×a×cos 120°，整理得4c2＝a2，解得c＝a，故e＝＝．
(2)由题意得a＝2，又点P(，1)在椭圆C外，则＞1，解得b2＜2，
所以椭圆C的离心率e＝＝＞，又0＜e＜1，
则椭圆C的离心率的取值范围是，A错误；
当e＝时，c＝，b＝＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由于＝b2－c2＝2b2－a2＜0，
所以存在点Q使得＝0，C正确；
＝≥2＋2＝4，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，
又|QF1|＋|QF2|＝4，
所以≥1，D正确．故选BCD．]
拓展视野2
典例 ABD [依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝＝＝，A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以＝2×＝a，所以△MPQ面积的最大值为＝＝a2，B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝a2，所以＝＝＋2x0c＋c2＝a2＋2x0×a＋a2＝2a2＋ax0，又－a≤x0≤a，所以a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A，D，则B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，又
所以＝0，所以＝＝－，所以k1k2＝－，D正确．
故选ABD．]
1 / 9(共129张PPT)
第八章
解析几何
第5课时 椭圆及其性质
[考试要求] 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2．掌握椭圆的简单应用．
链接教材·夯基固本
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的______，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距．
常数
焦点
焦距
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
性 质 轴 长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____
焦距 |F1F2|＝____
离心率 e＝∈__________
a，b，c 的关系 c2＝________
2b
2c
(0，1)
a2－b2
2a
[常用结论]
1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ．
(1)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc．
2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( )
(3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ( )
(4)＝1(a>b>0)与＝1(a>b>0)的焦距相同． ( )
×
×
√
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P109练习T1改编)若椭圆＋y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
A [椭圆＋y2＝1的长轴长2a＝10，而点P到椭圆一个焦点的距离为7，所以P到另一个焦点的距离为2a－7＝3．故选A．]
2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
√
D [把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D．]
3．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△AF1B的周长为________．
20 [△AF1B的周长为4a＝4×5＝20．]
20
4．(人教A版选择性必修第一册P108例3改编)如图，设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，则点M的轨迹方程为____________________．
＝1(x≠±3)
＝1(x≠±3) [设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－3，0)，
所以直线AM的斜率为kAM＝(x≠－3)，
同理，直线BM的斜率为kBM＝(x≠3)，
由已知，有＝－(x≠±3)，化简，
得点M的轨迹方程为＝1(x≠±3)．]
考点一 椭圆的定义及应用
[典例1] (1)已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C． D．2
典例精研·核心考点
√
(2)(2024·广东江门二模)已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1内切于圆P，圆P内切于圆B：(x－1)2＋y2＝49，则动圆P的圆心的轨迹方程为___________．
(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
＝1
6＋
6－
(1)C (2)＝1 (3)6＋ 6－ [(1)由椭圆＝1，得a＝5，b＝3，c＝4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∴m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得
(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos ∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·，
可得64＝100－mn，得mn＝，
故＝mn·sin ∠F1PF2＝＝．
故选C．
(2)设圆P的半径为R，则|PA|＝R－1，|PB|＝7－R，则|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝2，
所以点P的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则2a＝6，c＝1，所以a＝3，b2＝a2－c2＝8，
所以动圆P的圆心的轨迹方程为＝1．
(3)椭圆方程可化为＝1．
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，连接AF1，PF1(图略)，
∴|AF1|＝，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋．∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－．]
名师点评 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
(3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化．
[跟进训练]
1．(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．1 B．2
C．4 D．5
(2)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_________．
√
＝1
(3)(教材改编)动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和动点M到定直线l：x＝9的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程为____________．
＝1
(1)B (2)＝1 (3)＝1 [(1)法一：因为＝0，所以PF1⊥PF2，则＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B．
法二：因为＝0，所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B．
(2)由题意得圆F的半径r＝2，圆心F(1，0)，且|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＝1．
(3)设d是点M到直线l：x＝9的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝．
由此得，＝．
将上式两边平方，并化简，得8x2＋9y2＝72，即＝1．]
【教用·备选题】
1．(多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．＝2
C．点P到x轴的距离为
D．＝2
√
√
√
BCD [由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，A错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|
·cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝×6×＝2，B正确；
设点P到x轴的距离为d，则＝|F1F2|·d＝×2d＝2，所以d＝，C正确；
＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，D正确．故选BCD．]
2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
解：(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a．
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴，
即e≥．又0(2)证明：由(1)知mn＝b2，
＝mnsin 60°＝b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
考点二 椭圆的标准方程
考向1 椭圆标准方程的特征
[典例2] (多选)(2024·福建龙岩期中)已知曲线C：＝1，则( )
A．当m＝8时，C是圆
B．当m＝10时，C是焦距为4的椭圆
C．当C是焦点在x轴上的椭圆时，5D．当C是焦点在y轴上的椭圆时，8√
√
AB [对于A，当m＝8时，曲线C为x2＋y2＝3，此时曲线表示圆，所以选项A正确；
对于B，当m＝10时，曲线C为＋y2＝1，此时曲线为椭圆且椭圆C的焦距为2＝4，所以选项B正确；
对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得8对于D，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得5考向2 椭圆标准方程的求法
[典例3] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，()，则椭圆的标准方程为____________．
(2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．
(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为_____________________．
＝1
＝1
＝1或＝1
(1)＝1 (2)＝1 (3)＝1或＝1 [(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝．
∴椭圆的标准方程为＝1．
(2)法一(定义法)：椭圆＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4．
由椭圆的定义知，
2a＝，
解得a＝2．
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＝1．
法二(待定系数法)：∵所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．
设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16． ①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＝1，
则＝1． ②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＝1．
(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＝1．
综上得，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．]
名师点评 1．利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程＝1与＝λ(λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
[跟进训练]
2．(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
√
(2)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为_____________．
＝1
(1)B (2)＝1 [(1)因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，
A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为＝－1．
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．故选B．
(2)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝2－2．
因为离心率e＝，所以＝，
解得a＝2，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为＝1．]
【教用·备选题】
如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
C [由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，则a＝7，a2＝49，所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为＝1．
故选C．]
考点三 椭圆的简单几何性质
考向1 椭圆的长轴、短轴、焦距
[典例4] (2025·广东广州模拟)已知椭圆E的方程为
＝8，则椭圆E( )
A．长轴长为16
B．短轴长为4
C．焦距为2
D．焦点为(－2，0)，(2，0)
√
B [因为＝8>4，
所以椭圆E是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，
设椭圆E：＝1(a>b>0)，由题意知2a＝8，
即a＝4．由b2＝a2－c2＝12可知其方程为＝1．
由方程可得长轴长为8，焦距为4，短轴长为4．
故选B．]
考向2 离心率问题
[典例5] (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
√
(2)若椭圆＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°
(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范
围为________．
(1)A (2) [(1)A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，
则kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝＝＝，
又＝1，则＝，
所以＝，即＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝．
故选A．
(2)法一：设点M的坐标是(x0，y0)，
则|x0|∵F1(－c，0)，F2(c，0)，
∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)．
∵∠F1MF2＝90°，
∴＝＝0，即＝c2．
又点M在椭圆上，即＝，
＝∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，
∴c2≥b2＝a2－c2，即，
又0故椭圆的离心率e的取值范围是．
法二：设点M的坐标是(x0，y0)，
由法一可得 消去y0，
得＝，
由②得c2－b2由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，
则e2＝．又0故椭圆的离心率e的取值范围是．
法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，即，
又0故椭圆的离心率e的取值范围为．]
考向3 与椭圆有关的最值(范围)问题
[典例6](1)设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
√
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P
在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
√
(1)A (2)A [(1)由题意知，当M在短轴端点时，∠AMB最大．
①如图1，当焦点在x轴上，即0＜m＜3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1．
②如图2，当焦点在y轴上，即m＞3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°
＝，∴m≥9．
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)，
故选A．
(2)法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝．
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．
法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．
易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝．易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．]
【教用·备选题】
已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c．在椭圆上存在点P使得＝，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．[－1，1) B．(－1，1)
C．(0，－1) D．(0，－1]
√
B [由＝，
得＝＝＝，
∴|PF1|＝．
又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c＜＜a＋c，
∴a2－c2＜2ac＜(a＋c)2，即e2＋2e－1＞0，
又e∈(0，1)，∴e∈(－1，1)．故选B．]
名师点评 1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c．利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率．利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．
[跟进训练]
3．(1)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
√
(2)(多选)(2024·广东广州模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋]
C．存在点Q使得＝0
D．的最小值为1
√
√
√
(1)A (2)BCD [(1)如图，设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为平行四边形．设|AF|＝m．因为∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m．因为|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，所以m＝a．在△BFF2中，(2c)2＝＋－2×a×a×cos 120°，整理得4c2＝a2，解得c＝a，故e＝＝．
(2)由题意得a＝2，又点P(，1)在椭圆C外，则＞1，解得b2＜2，
所以椭圆C的离心率e＝＝＞，又0＜e＜1，
则椭圆C的离心率的取值范围是，A错误；
当e＝时，c＝，b＝＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由于＝b2－c2＝2b2－a2＜0，
所以存在点Q使得＝0，C正确；
＝≥2＋2＝4，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，
又|QF1|＋|QF2|＝4，
所以≥1，D正确．故选BCD．]
【教用·备选题】
1．(2023·江苏南通一模)2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为( )
A． B．2
C． D．2
√
D [由题意得，a＋c＝S1＋R，a－c＝S2＋R，∴b2＝a2－c2＝(S1＋R)(S2＋R)，故b＝，∴2b＝2．故选D．]
2．(2023·四省联考)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是( )
A． B．
C． D．
√
C [无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则2b＝，即a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)，即2a2＝3c2，则e2＝，解得e＝．]
3．(2025·湖北宜昌模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且＝2＝0，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
√
C [连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n，|MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n．
∵＝0，
∴MF2⊥MN，
在Rt△MNF2中，
|MN|2＋|MF2|2＝|NF2|2，即(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2，
∴9n2＋4a2－8an＋4n2＝4a2－4an＋n2，
∴12n2＝4an，n＝，
∴|MF1|＝，|MF2|＝，
在Rt△MF1F2中，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即4c2＝，∴36c2＝20a2，e2＝＝，又∵e∈(0，1)，∴e＝．
故选C．]
过椭圆＝1上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：PM⊥PN．
性质2：PO平分切点弦MN．
性质3：S△MON的最大值为，S△MON的最小值为．
[典例](多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＝1的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则( )
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
√
√
√
ABD [依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝＝＝，A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以＝2×＝a，所以△MPQ面积的最大值为＝＝a2，B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝a2，所以＝＝＋2x0c＋c2＝a2＋2x0×a＋a2＝2a2＋
ax0，又－a≤x0≤a，所以a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A，D，则B(－x1，
－y1)，k1＝，k2＝，又
所以＝0，所以＝＝－，所以k1k2＝－，D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
16
一、单项选择题
1．(2024·安徽合肥模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为2，则该椭圆的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＝1 D．＝1
课后作业(五十一) 椭圆及其性质
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
C [由题意可知可得
则b2＝9－2＝7，所以该椭圆的方程为＝1．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
16
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A． B．
C． D．
A [由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
3．(2024·辽宁实验中学二模)已知方程＝1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(4，6) B．(6，8)
C．(4，8) D．(4，6)∪(6，8)
√
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
D [因为方程＝1表示的曲线是椭圆，
所以解得4所以实数k的取值范围是(4，6)∪(6，8)．故选D．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
4．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
D [设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＝1．故选D．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
5．(2024·重庆三模)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，则( )
A．a1－c1C．> D．>
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
D [由题图可知，∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，A不正确；
a1>a2，∴c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，B不正确；
由a1>a2，c1>c2可知<，C不正确；
a1＋c2＝a2＋c1，可得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，故＋2a1c2＝＋2a2c1，
即＋2a1c2＝＋2a2c1，∵b1>b2，∴c1a2>a1c2，即>，D正确．故选D．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
6．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
C [依题意，点B的坐标为(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＝＝，故|PB|2＝＋(y0－b)2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋a2＋b2，y0∈[－b，b]，又对称轴y0＝－<0，当－≤－b，即b≥c时，则当y0＝－b时，
|PB|2最大，此时|PB|＝2b，故只需要满足－≤－b，即b2≥c2，则a2－c2≥c2，所以e＝．
又0题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
当－>－b，即b则当y0＝－时，|PB|2最大，
此时|PB|2＝＋a2＋b2≤4b2，
则a4－4a2c2＋4c4≤0，解得a＝c，所以b＝c，
又b综上所述，e的取值范围为，故选C．]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
二、多项选择题
7．(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C：＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( )
A．C的焦距为2
B．C的离心率为
C．△F1PF2的周长为3＋
D．△F1PF2面积的最大值为2
√
√
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
16
ABD [设椭圆C：＝1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝，
所以C的焦距为2，故A正确；
C的离心率为＝，故B正确；
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
16
△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2，故C错误；
对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，△F1PF2的面积最大，最大值为×2×2＝2，故D正确．故选ABD．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
8．(2025·河北衡水模拟)已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A．存在P使得∠F1PF2＝
B．cos ∠F1PF2的最小值为－
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9
D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
√
√
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
ABC [设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，
所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)．
由于＝(－4，－3)，＝(4，－3)，
＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2＝，A正确；
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10，
由余弦定理的推论，得
cos ∠F1PF2＝＝＝＝－1≥－1＝－，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”，B正确；
由于PF1⊥PF2，故 mn＝[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝18，
所以＝mn＝9，C正确；
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，＝1，则kPA＝，kPB＝，于是kPA·kPB＝＝＝＝－，D错误．故选ABC．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
三、填空题
9．(2024·广东深圳期中)已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
2
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
2 [由椭圆＝1可知a＝3，b＝，c＝＝2，
故|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，结合|PF1|＝2|PF2|，
可得|PF1|＝4，|PF2|＝2，而|F1F2|＝2c＝4，
故△PF1F2为等腰三角形，其面积为×2＝2．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
10．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
8
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
8 [根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
四、解答题
11．如图，F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求椭圆的标准方程．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
解：(1)依题意可得|AF1|＝|AF2|＝a，|F1F2|＝2c，
又∠F1AF2＝60°，所以△F1AF2为等边三角形，
∴a＝2c，∴e＝＝．
(2)设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a－m，
在△BF1F2中，|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2|×|F1F2|×cos 120°，
∴(2a－m)2＝m2＋a2＋am，
∴m＝a，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
∴＝×|F2F1|×|AB|×sin 60°，
∴×a×＝40，
∴a＝10(负值舍去)，∴c＝5，b＝＝5，
故椭圆的标准方程为＝1．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
12．已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值(其中O为坐标原点)．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
解：(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径为r＝2，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，
则|QN|＋|QM|＝2＞2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹方程C：＋x2＝1．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
(2)设A(x，y)，则＝(x，y)，＝(－x，－1－y)，
所以＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y，
又＋x2＝1，所以x2＝1－y2，所以＝－y2－y－1＝－(y＋1)2－，
由椭圆的有界性可知－≤y≤，
所以当y＝－1时，取最大值－．
所以的最大值为－．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
13．加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：＝1相切，则下列说
法错误的是( )
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
A．椭圆M的离心率为
B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10
C．若G为正方形，则G的边长为2
D．长方形G的面积的最大值为18
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
D [由椭圆方程知a＝，b＝2，则c＝＝，离心率为e＝＝，A正确；
当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2和4，其对角线长为＝2，因此蒙日圆的半径为，圆的方程为x2＋y2＝10，B正确；
设长方形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为2，C正确，D错误．故选D．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
14．(多选)(2025·重庆模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则( )
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2
√
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
BCD [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝，
得2a＝＝8，解得a＝4，A错误；
显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B正确；当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确．故选BCD．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
15．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝( )
A． B．
C． D．
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
B [法一：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝， ①
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，②
由①②，解得mn＝．
设|OP|＝x．在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得＝－，
得x2＝＝＝，
所以|OP|＝．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
法二：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，∠F1PF2＝α，则cos ∠F1PF2＝cos α＝，故α∈∈，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去)．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
故＝b2tan ＝6×＝3．
又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝3，
又＝1，
所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
法三：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
cos ∠F1PF2＝＝， ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
由①②，解得mn＝．
因为＝)，
所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)
＝ ＝，所以|PO|＝．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
16．已知A，B，C是椭圆＝1(a＞b＞0)上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是________．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
[设椭圆的左焦点F1(－c，0)，连接AF1，BF1，CF1，如图，|OA|＝|OF|＝|OB|，所以AF⊥BF．
设|CF|＝m，|AF|＝2m，
由对称性可知，|AF1|＝|BF|＝2a－2m，
在△ABF中，由|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，
则4m2＋(2a－2m)2＝(2c)2，①
在Rt△AF1C中，|CF1|＝2a－m，
9m2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，可得a＝3m，
将m＝a代入①，解得椭圆的离心率e＝＝．]
谢 谢！课后作业(五十一) 椭圆及其性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共99分
一、单项选择题
1．(2024·安徽合肥模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为2，则该椭圆的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＝1 D．＝1
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A． B．
C． D．
3．(2024·辽宁实验中学二模)已知方程＝1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(4，6) B．(6，8)
C．(4，8) D．(4，6)∪(6，8)
4．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．(2024·重庆三模)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，则( )
A．a1－c1C．> D．>
6．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C：＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( )
A．C的焦距为2
B．C的离心率为
C．△F1PF2的周长为3＋
D．△F1PF2面积的最大值为2
8．(2025·河北衡水模拟)已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A．存在P使得∠F1PF2＝
B．cos ∠F1PF2的最小值为－
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9
D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
三、填空题
9．(2024·广东深圳期中)已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
10．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
四、解答题
11．如图，F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求椭圆的标准方程．
12．已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值(其中O为坐标原点)．
13．加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：＝1相切，则下列说法错误的是( )
A．椭圆M的离心率为
B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10
C．若G为正方形，则G的边长为2
D．长方形G的面积的最大值为18
14．(多选)(2025·重庆模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则( )
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2
15．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝( )
A． B．
C． D．
16．已知A，B，C是椭圆＝1(a＞b＞0)上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是________．
课后作业(五十一)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由题意可知可得
则b2＝9－2＝7，所以该椭圆的方程为＝1．
故选C．]
2．A [由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．]
3．D [因为方程＝1表示的曲线是椭圆，
所以解得4所以实数k的取值范围是(4，6)∪(6，8)．故选D．]
4．D [设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＝1．故选D．]
5．D [由题图可知，∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，A不正确；
a1>a2，∴c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，B不正确；
由a1>a2，c1>c2可知<，C不正确；
a1＋c2＝a2＋c1，可得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，故＋2a1c2＝＋2a2c1，
即＋2a1c2＝＋2a2c1，∵b1>b2，∴c1a2>a1c2，即>，D正确．故选D．]
6．C [依题意，点B的坐标为(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＝＝，故|PB|2＝＋(y0－b)2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋a2＋b2，y0∈[－b，b]，又对称轴y0＝－<0，当－≤－b，即b≥c时，则当y0＝－b时，
|PB|2最大，此时|PB|＝2b，故只需要满足－≤－b，即b2≥c2，则a2－c2≥c2，所以e＝．
又0当－>－b，即b则当y0＝－时，|PB|2最大，
此时|PB|2＝＋a2＋b2≤4b2，
则a4－4a2c2＋4c4≤0，解得a＝c，所以b＝c，
又b综上所述，e的取值范围为，故选C．]
7．ABD [设椭圆C：＝1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝，
所以C的焦距为2，故A正确；
C的离心率为＝，故B正确；
△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2，故C错误；
对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，△F1PF2的面积最大，最大值为×2×2＝2，故D正确．故选ABD．]
8．ABC [设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，
所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)．
由于＝(－4，－3)，＝(4，－3)，
＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2＝，A正确；
记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10，
由余弦定理的推论，得
cos ∠F1PF2＝＝＝＝－1≥－1＝－，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”，B正确；
由于PF1⊥PF2，故 mn＝[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝18，
所以＝mn＝9，C正确；
设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，＝1，则kPA＝，kPB＝，于是kPA·kPB＝＝＝＝－，D错误．故选ABC．]
9．2 [由椭圆＝1可知a＝3，b＝，c＝＝2，
故|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，结合|PF1|＝2|PF2|，
可得|PF1|＝4，|PF2|＝2，而|F1F2|＝2c＝4，
故△PF1F2为等腰三角形，其面积为×2＝2．]
10．8 [根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
11．解：(1)依题意可得|AF1|＝|AF2|＝a，|F1F2|＝2c，
又∠F1AF2＝60°，所以△F1AF2为等边三角形，
∴a＝2c，∴e＝＝．
(2)设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a－m，
在△BF1F2中，|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2|×|F1F2|×cos 120°，
∴(2a－m)2＝m2＋a2＋am，
∴m＝a，
∴＝×|F2F1|×|AB|×sin 60°，
∴×a×＝40，
∴a＝10(负值舍去)，∴c＝5，b＝＝5，
故椭圆的标准方程为＝1．
12．解：(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径为r＝2，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，
则|QN|＋|QM|＝2＞2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹方程C：＋x2＝1．
(2)设A(x，y)，则＝(x，y)，＝(－x，－1－y)，
所以＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y，
又＋x2＝1，所以x2＝1－y2，所以＝－y2－y－1＝－(y＋1)2－，
由椭圆的有界性可知－≤y≤，
所以当y＝－1时，取最大值－．
所以的最大值为－．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．D [由椭圆方程知a＝，b＝2，则c＝＝，离心率为e＝＝，A正确；
当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2和4，其对角线长为＝2，因此蒙日圆的半径为，圆的方程为x2＋y2＝10，B正确；
设长方形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为2，C正确，D错误．故选D．]
14．BCD [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝，
得2a＝＝8，解得a＝4，A错误；
显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B正确；当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确．故选BCD．]
15．B [法一：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，
①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝．
设|OP|＝x．在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得＝－，
得x2＝＝＝，
所以|OP|＝．
法二：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，∠F1PF2＝α，则cos ∠F1PF2＝cos α＝，故α∈∈，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝
＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去)．
故＝b2tan ＝6×＝3．
又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝3，
又＝1，
所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝．
法三：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
cos ∠F1PF2＝＝， ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝．
因为＝)，
所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)
＝ ＝，所以|PO|＝．]
16． [设椭圆的左焦点F1(－c，0)，连接AF1，BF1，CF1，如图，|OA|＝|OF|＝|OB|，所以AF⊥BF．
设|CF|＝m，|AF|＝2m，
由对称性可知，|AF1|＝|BF|＝2a－2m，
在△ABF中，由|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，
则4m2＋(2a－2m)2＝(2c)2，①
在Rt△AF1C中，|CF1|＝2a－m，
9m2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，可得a＝3m，
将m＝a代入①，解得椭圆的离心率e＝＝．
]
1 / 5