第6课时 直线与椭圆
[考试要求] 1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法．2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．
1．直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交 Δ____0；直线与椭圆相切 Δ____0；直线与椭圆相离 Δ____0．
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0．
[常用结论]
1．点P(x0，y0)和椭圆＝1(a＞b＞0)的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＞1．
2．椭圆上一点处的切线方程
点P(x0，y0)在椭圆＝1(a＞b＞0)上，过点P的切线方程为＝1．
3．关于－的重要结论
(1)过原点的直线交椭圆＝1(a＞b＞0)于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－．
(2)若M(x0，y0)是椭圆＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行坐标轴)的中点，O为原点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦． ( )
(2)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交． ( )
(3)直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断． ( )
(4)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为( )
A． B．
C． D．
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是( )
A． B．－
C．－ D．
4．(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1T13改编)若点P是椭圆E：＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x－y－3＝0的距离的最小值是________，此时，点P的坐标为________．
考点一 直线与椭圆的位置关系
[典例1] (2025·江苏南通模拟)已知动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)在E上是否存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
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(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆是否有交点．
[跟进训练]
1．(1)(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1，则下列结论正确的是( )
A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2
B．若C与l有且仅有两个公共点，则<2
C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个
D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个
(2)椭圆＝1上的点到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为________．
考点二 弦长及中点弦问题
弦长问题
[典例2] 已知椭圆C：x2＋2y2＝2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点．
(1)求弦AB的长和△ABF2的周长；
(2)求△ABF2的面积．
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中点弦问题
[典例3] (1)已知直线x－y＋1＝0与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．
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解答弦长问题及中点弦问题的注意点
(1)求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算弦长； 对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用“根与系数的关系”时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交．
(2)点差法适用范围：涉及弦中点的轨迹问题或弦所在直线的斜率问题时，可考虑点差法．
[跟进训练]
2．已知椭圆C：＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点平分．求：
(1)直线l的方程；
(2)△F1AB的面积．
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考点三 直线与椭圆的综合问题
[典例4] 已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．
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1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法，如弦长公式中|x1－x2|＝＝，其中x1，x2是ax2＋bx＋c＝0的两根．
2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
[跟进训练]
3．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k．
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对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元二次方程，它的两个根x1，x2满足根与系数的关系．一般来说，在应用题设条件解决问题时，常常能凑出x1＋x2和x1x2，但有些时候无法直接凑出这两个式子，进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系问题．
下面通过对一道圆锥曲线“非对称”结构问题的多角度切入求解，给出其适当的拓展与变式，以探究圆锥曲线非对称结构问题的一般性解决方法．
[典例]已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上一点，且PF1与x轴垂直．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F2的直线l与E交于A，B两点，已知点M(0，1)，且△MAF2的面积为△MBF2面积的2倍，求直线l的方程．
[赏析] (1)因为P为E上一点，且PF1与x轴垂直，所以解得所以椭圆E的方程为＝1．
(2)易得直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x＝ty＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，Δ＞0，故y1＋y2＝－，y1y2＝－．
由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，可得＝2，所以y1＝－2y2，即y1＋2y2＝0．
代数式y1＝－2y2为非对称结构，需要通过适当的处理使之变为对称结构，下面就以此为例，给出此类y1＝λy2(或x1＝λx2)问题的几种处理方法，并对其进行拓展．
拓展1 倒数求和法
此拓展是对形如y1＝λy2(或x1＝λx2)的关系式，利用＝将问题转化为对称结构．
解法1 接典例解答，由y1＝－2y2，得＝－2，故＝＝－．结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝．故直线l的方程为y＝±(x－1)．
拓展2 配凑法
由y1＋λy2＝0配凑，得λ(y1＋y2)＝(λ－1)y1，y1＋y2＝(1－λ)y2，两式相乘，可得λ(y1＋y2)2＝－(λ－1)2y1y2，从而将问题转化为对称结构．
解法2 接典例解答，由y1＝－2y2，得y1＋2y2＝0，于是两式相乘可得2(y1＋y2)2＝－y1y2，结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝．故直线l的方程为y＝±(x－1)．
拓展3 方程组法
该拓展的实质是借助方程思想，由非对称式结合根与系数的关系，列方程组解答．
解法3 接典例解答，联立y1＋2y2＝0与y1＋y2＝－，解得y1＝－，y2＝．再结合y1y2＝－，得＝，解得t2＝．故直线l的方程为y＝±(x－1)．
[跟进训练]
已知A，B分别为双曲线C：x2－＝1的左、右顶点，过双曲线的右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点(异于A，B)，求直线AP，BQ的斜率的比值．
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第6课时 直线与椭圆
梳理·必备知识
1．> ＝ <
激活·基本技能
一、(1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、1．A [法一(通解)：联立直线与椭圆的方程
消去y得9x2＋10x－15＝0，
Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．
法二(优解)：直线过点(0，1)，而0＋＜1，
即点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．]
2．C [由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以右焦点坐标为，
则直线l的方程为y＝x－．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得5x2－8x＋8＝0，
Δ＝2－4×5×8＝32＞0，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝
＝．
即弦AB的长为．]
3．AB [由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±．]
4． [设直线l1：x－y＋m＝0，联立整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0．
令Δ＝64m2－4×5＝0，解得m＝±．
当m＝－时，直线l与直线l1之间的距离d1＝；
当m＝时，直线l与直线l1之间的距离d2＝．
所以点P到直线l的最小距离是．
此时5x2－8x＋16＝0，解得x＝，
将x＝代入x－y－＝0，得y＝－，
则点P的坐标为．]
考点一
典例1 解：(1)根据题意得．
化简，得9x2＋25y2＝225，
所以M的轨迹E的方程为＝1．
(2)因为直线4x－5y＋40＝0与坐标轴的交点为(－10，0)，(0，8)，所以直线与椭圆无公共点，
设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0．
由方程组消去y得25x2＋8kx＋k2－225＝0．
由Δ＝64k2－100(k2－225)＝0，得k＝25或k＝－25，
当k＝25时，直线4x－5y＋25＝0与椭圆的公共点到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，
最小距离d＝．
综上，在E上存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，最小距离为．
跟进训练
1．(1)BCD (2) [(1)联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12．
令Δ＝12≥0，
则有，A错误；
令Δ＝12>0，则有<2，B正确；
令直线l与椭圆C相切，
则Δ＝12＝0，
即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－的距离d＝＝5，C正确；
如图，直线y＝x－与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确．故选BCD．
(2)设与直线x－2y＋8＝0平行且与椭圆＝1相切的直线方程为x－2y＋m＝0．
由消去x并整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0，所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5．当m＝5，即切线方程为x－2y＋5＝0时，切线与直线x－2y＋8＝0间的距离为；当m＝－5，即切线方程为x－2y－5＝0时，切线与直线x－2y＋8＝0间的距离为．所以椭圆＝1上的点到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为．]
考点二
考向1 典例2 解：(1)椭圆C：＋y2＝1，a2＝2，b2＝1，
c2＝a2－b2＝1，即F1(－1，0)，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
联立消去y，整理得3x2＋4x＝0，x1＝0或x2＝－＝，
故△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4．
(2)由x1＝0，得y1＝1，由x2＝－，得y2＝－，设A(0，1)，
B，
故△ABF2的面积S＝＝．
考向2 典例3 (1)D (2)＝1
[(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)．
∵＝1，
两式相减可得＝0，把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝tan 150°＝－代入可得．
∴e＝．
故选D．
(2)法一(直接法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆方程为＝1(b>0)，由 消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为，B(x2，y2)，由题意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8．
经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意．
∴所求椭圆方程为＝1．
法二(点差法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为＝1(b>0)．
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得
＝0，
即，
又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝＝3，代入上式得3×解得b2＝8，经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意．
故所求的椭圆方程为＝1．]
跟进训练
2．解：(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
因为弦AB被点平分，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝，
所以直线l的斜率k＝＝－＝－，
故直线l的方程为x＋2y－2＝0．
(2)法一(常规方法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得x2－2x－2＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2，
所以|AB|＝＝＝5，
由椭圆的方程可得，c2＝a2－b2＝16－4＝12，
所以c＝2，所以F1(－2，0)，
所以点F1(－2，0)到直线l：x＋2y－2＝0的距离d＝＝，
所以＝|AB|d＝×5×＝2．
法二(面积拆分法)：联立
得2y2－2y－1＝0，Δ＞0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝，
又因为直线l过点F2(2，0)，
所以＝|F1F2||y1－y2|＝×4＝2．
考点三
典例4 解：(1)由△ABP是等腰直角三角形，
得a＝2，B(2，0)．
设Q(x0，y0)，则由，
得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2．
联立
消去y并整理，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．(*)
因为直线l与E有两个交点，即方程(*)有不相等的两个实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得
因为坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·＋4>0，
解得k2<4．
综上可得则满足条件的斜率k的取值范围为．
跟进训练
3．解：(1)根据题意知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0)，
由解得
所以椭圆C的标准方程为＝1．
(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立
整理得y－9＝0，
则Δ＝＋144＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，
又，所以y1＝－2y2，
所以y1＝，代入y1y2＝，
得3＋4k2＝8，解得k＝±，
又k＞0，所以k＝．
微点突破7
跟进训练
解：由题意知F(2，0)，设直线PQ的方程为x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立 得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，Δ＝36m2＋36＞0，
则y1＋y2＝－，①
y1y2＝，②
而得，
∴my1y2＝－(y1＋y2)．
又kAP＝，
＝
＝－．
所以直线AP，BQ的斜率的比值为－．
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第八章
解析几何
第6课时 直线与椭圆
[考试要求] 1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法．
2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．
链接教材·夯基固本
1．直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交 Δ____0；直线与椭圆相切 Δ____0；直线与椭圆相离 Δ____0．
>
＝
<
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0．
[常用结论]
1．点P(x0，y0)和椭圆＝1(a＞b＞0)的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＞1．
2．椭圆上一点处的切线方程
点P(x0，y0)在椭圆＝1(a＞b＞0)上，过点P的切线方程为 ．
＝1
3．关于－的重要结论
(1)过原点的直线交椭圆＝1(a＞b＞0)于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－．
(2)若M(x0，y0)是椭圆＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行坐标轴)的中点，O为原点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦． ( )
(2)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交． ( )
(3)直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断． ( )
(4)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． ( )
√
√
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
A [法一(通解)：联立直线与椭圆的方程
消去y得9x2＋10x－15＝0，
Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．
法二(优解)：直线过点(0，1)，而0＋＜1，
即点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．]
2．(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为
( )
A． B．
C． D．
√
C [由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以右焦点坐标为(，0)，
则直线l的方程为y＝x－．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得5x2－8x＋8＝0，
Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝
＝＝．
即弦AB的长为．]
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是( )
A． B．－
C．－ D．
√
√
AB [由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±．]
4．(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1T13改编)若点P是椭圆E：＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x－y－3＝0的距离的最小值
是________，此时，点P的坐标为______________．
[设直线l1：x－y＋m＝0，
联立
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0．
令Δ＝64m2－4×5＝0，
解得m＝±．
当m＝－时，直线l与直线l1之间的距离d1＝＝；
当m＝时，直线l与直线l1之间的距离d2＝＝2．
所以点P到直线l的最小距离是．
此时5x2－8x＋16＝0，
解得x＝，
将x＝代入x－y－＝0，得y＝－，
则点P的坐标为．]
考点一 直线与椭圆的位置关系
[典例1] (2025·江苏南通模拟)已知动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)在E上是否存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
典例精研·核心考点
解：(1)根据题意得＝．
化简，得9x2＋25y2＝225，
所以M的轨迹E的方程为＝1．
(2)因为直线4x－5y＋40＝0与坐标轴的交点为(－10，0)，(0，8)，所以直线与椭圆无公共点，
设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0．
由方程组消去y得25x2＋8kx＋k2－225＝0．
由Δ＝64k2－100(k2－225)＝0，得k＝25或k＝－25，
当k＝25时，直线4x－5y＋25＝0与椭圆的公共点到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，
最小距离d＝＝．
综上，在E上存在一点使得它到直线4x－5y＋
40＝0的距离最小，最小距离为．
【教用·备选题】
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝＋144．
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
名师点评 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆是否有交点．
[跟进训练]
1．(1)(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1，则下列结论正确的是( )
A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2
B．若C与l有且仅有两个公共点，则<2
C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个
D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个
(2)椭圆＝1上的点到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为________．
√
√
√
(1)BCD (2) [(1)联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12．
令Δ＝12≥0，
则有≤2，－2≤m≤2，A错误；
令Δ＝12>0，则有<2，B正确；
令直线l与椭圆C相切，
则Δ＝12＝0，
即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，C正确；
如图，直线y＝x－与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确．故选BCD．
(2)设与直线x－2y＋8＝0平行且与椭圆＝1相切的直线方程为x－2y＋m＝0．
由消去x并整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0，所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5．当m＝5，即切线方程为x－2y＋5＝0时，切线与直线x－2y＋8＝0间的距离为＝；当m＝－5，即切线方程为x－2y－5＝0时，切线与直线x－2y＋8＝0间的距离为＝．所以椭圆＝1上的点到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为．]
【教用·备选题】
(2022·天津高考)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足＝．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N(N异于M)．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．
解：(1)＝＝＝
4a2＝3(b2＋a2) a2＝3b2，
所以椭圆的离心率e＝＝＝．
(2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2，由题意易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－a2＝0，
由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0 3m2＝a2(1＋3k2)，①
xM＝－，yM＝kxM＋m＝，
由|OM|＝|ON|，可得m2＝，②
由S△OMN＝可得|m|·＝，③
联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6，
故椭圆的标准方程为＝1．
考点二 弦长及中点弦问题
考向1 弦长问题
[典例2] 已知椭圆C：x2＋2y2＝2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点．
(1)求弦AB的长和△ABF2的周长；
(2)求△ABF2的面积．
解：(1)椭圆C：＋y2＝1，a2＝2，b2＝1，
c2＝a2－b2＝1，即F1(－1，0)，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
联立消去y，整理得3x2＋4x＝0，x1＝0或x2＝－，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝，
故△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4．
(2)由x1＝0，得y1＝1，由x2＝－，得y2＝－，
设A(0，1)，B，
△ABF2的面积S＝×|F1F2|×|y1－y2|＝×2×＝．
【教用·备选题】
已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，且＝，求出直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为
(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝＜1，得|m|＜．
|AB|＝2＝2
＝．
联立消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7，所以m2＜2．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，|CD|＝|x1－x2|＝＝＝＝|AB|＝，解得m2＝＜2，得m＝±．
即直线l的方程为y＝－x±．
考向2 中点弦问题
[典例3] (1)已知直线x－y＋1＝0与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
√
(2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为___________．
＝1
(1)D (2)＝1 [(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)．
＝＝1，
两式相减可得＝0，把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝＝tan 150°＝－代入可得＝．
∴e＝＝．故选D．
(2)法一(直接法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆方程为＝1(b>0)，由 消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为y1)，B(x2，y2)，由题意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8．
经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意．
∴所求椭圆方程为＝1．
法二(点差法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为＝1(b>0)．
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＝0，
即＝－，
又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意．
故所求的椭圆方程为＝1．]
名师点评 解答弦长问题及中点弦问题的注意点
(1)求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算弦长； 对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用“根与系数的关系”时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交．
(2)点差法适用范围：涉及弦中点的轨迹问题或弦所在直线的斜率问题时，可考虑点差法．
[跟进训练]
2．已知椭圆C：＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点平分．求：
(1)直线l的方程；
(2)△F1AB的面积．
解：(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
因为弦AB被点平分，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝，
所以直线l的斜率k＝＝－＝－，
故直线l的方程为x＋2y－2＝0．
(2)法一(常规方法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得x2－2x－2＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2，
所以|AB|＝＝＝5，
由椭圆的方程可得，c2＝a2－b2＝16－4＝12，
所以c＝2，所以F1(－2，0)，
所以点F1(－2，0)到直线l：x＋2y－2＝0的距离d＝＝，
所以＝|AB|d＝×5×＝2．
法二(面积拆分法)：联立
得2y2－2y－1＝0，Δ＞0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝，
又因为直线l过点F2(2，0)，
所以＝|F1F2||y1－y2|＝×4＝2．
【教用·备选题】
1．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为4，短轴长为2，直线l过点P且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为1，求弦AB的长；
(3)若过点Q的直线l1与椭圆C交于E，G两点，且Q是弦EG的中点，求直线l1的方程．
解：(1)依题意，椭圆C的半焦距c＝2，而b＝1，则a2＝b2＋c2＝9，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意，直线l的方程为y＝x＋3，由消去y并整理得5x2＋27x＋36＝0，Δ＝272－4×5×36＝9＞0，解得x1＝－，x2＝－3，因此，|AB|＝·|x1－x2|＝，
所以弦AB的长是．
(3)显然，点Q在椭圆C内，设E(x3，y3)，G(x4，y4)，因为E，G在椭圆C上，
则两式相减得(x3－x4)(x3＋x4)＋9(y3－y4)(y3＋y4)＝0，
而Q是弦EG的中点，即x3＋x4＝2且y3＋y4＝1，则有2(x3－x4)＋9(y3－y4)＝0，
于是得直线l1的斜率为＝－，
故直线l1的方程为y－＝－(x－1)，即4x＋18y－13＝0．
2．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2．
(1)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程；
(2)若过F2作直线与椭圆C相交于A，B两点，且＝2，求|AB|．
解：(1)显然点P在椭圆内，设过P的直线与椭圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则
两式相减得＝－，
由中点P的坐标为可知x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝2×＝1，
所以＝－，即直线斜率k＝－，
所以直线方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0．
(2)由题意知，过F2的直线斜率存在且不为0．
设过F2的直线为x＝my＋1(m≠0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
联立 (m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ＞0，
所以
又＝2，则y4＝－2y3，
代入方程解得m2＝，
所以|AB|＝＝．
考点三 直线与椭圆的综合问题
[典例4] 已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．
解：(1)由△ABP是等腰直角三角形，
得a＝2，B(2，0)．
设Q(x0，y0)，则由＝，
得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2．
联立
消去y并整理，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．(*)
因为直线l与E有两个交点，即方程(*)有不相等的两个实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得
因为坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4．
综上可得则满足条件的斜率k的取值范围为．
名师点评 1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法，如弦长公式中|x1－x2|＝＝，其中x1，x2是ax2＋bx＋c＝0的两根．
2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
[跟进训练]
3．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k．
解：(1)根据题意知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0)，
由解得
所以椭圆C的标准方程为＝1．
(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立
整理得y2－y－9＝0，
则Δ＝＋144＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝2，所以y1＝－2y2，
所以y1＝，y2＝，代入y1y2＝，
得3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝．
【教用·备选题】
已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足||＝4，||||－2＝0．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点(2，0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由cos ∠F1PF2＝＝知∠F1PF2＝60°，
在△F1PF2中，|PF2|＝2a－4，＝，由余弦定理得4c2＝16＋(2a－4)2－4(2a－4)，
解得a＝4，c＝2，b2＝12，
所以椭圆C的标准方程为＝1．
(2)假设存在点Q(m，0)满足条件，设直线l方程为x＝ty＋2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
消去x有(3t2＋4)y2＋12ty－36＝0，
Δ＞0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
kMQ＋kNQ＝＝＝，
因为∠MQO＝∠NQO，所以kMQ＋kNQ＝0，
即－72t－12(2－m)t＝0，
解得m＝8，
所以存在Q(8，0)，使得∠MQO＝∠NQO．
对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元二次方程，它的两个根x1，x2满足根与系数的关系．一般来说，在应用题设条件解决问题时，常常能凑出x1＋x2和x1x2，但有些时候无法直接凑出这两个式子，进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系问题．
下面通过对一道圆锥曲线“非对称”结构问题的多角度切入求解，给出其适当的拓展与变式，以探究圆锥曲线非对称结构问题的一般性解决方法．
[典例] 已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上一点，且PF1与x轴垂直．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F2的直线l与E交于A，B两点，已知点M(0，1)，且△MAF2的面积为△MBF2面积的2倍，求直线l的方程．
[赏析] (1)因为P为E上一点，且PF1与x轴垂直，所以解得所以椭圆E的方程为＝1．
(2)易得直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x＝ty＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，Δ＞0，故y1＋y2＝－，y1y2＝－．
由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，可得＝2，所以y1＝－2y2，即y1＋2y2＝0．
名师点评 代数式y1＝－2y2为非对称结构，需要通过适当的处理使之变为对称结构，下面就以此为例，给出此类y1＝λy2(或x1＝λx2)问题的几种处理方法，并对其进行拓展．
拓展1 倒数求和法
此拓展是对形如y1＝λy2(或x1＝λx2)的关系式，利用＝将问题转化为对称结构．
解法1 接典例解答，由y1＝－2y2，得＝－2，故＝＝－．结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝．故直线l的方程为y＝±(x－1)．
拓展2 配凑法
由y1＋λy2＝0配凑，得λ(y1＋y2)＝(λ－1)y1，y1＋y2＝(1－λ)y2，两式相乘，可得λ(y1＋y2)2＝－(λ－1)2y1y2，从而将问题转化为对称结构．
解法2 接典例解答，由y1＝－2y2，得y1＋2y2＝0，于是两式相乘可得2(y1＋y2)2＝－y1y2，结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝．故直线l的方程为y＝±(x－1)．
拓展3 方程组法
该拓展的实质是借助方程思想，由非对称式结合根与系数的关系，列方程组解答．
解法3 接典例解答，联立y1＋2y2＝0与y1＋y2＝－，解得y1＝
－，y2＝．再结合y1y2＝－，得＝，解得t2＝．故直线l的方程为y＝±(x－1)．
[跟进训练]
已知A，B分别为双曲线C：x2－＝1的左、右顶点，过双曲线的右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点(异于A，B)，求直线AP，BQ的斜率的比值．
解：由题意知F(2，0)，设直线PQ的方程为x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立 得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，Δ＝36m2＋36＞0，则y1＋y2＝－，①
y1y2＝，②
而得＝－，
∴my1y2＝－(y1＋y2)．
又kAP＝，kBQ＝，
＝＝
＝＝＝－．
所以直线AP，BQ的斜率的比值为－．
【教用·备选题】
已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆的左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为x＝－2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①求证：直线EN必过定点P，并求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值．
解：(1)由题意可得所以a＝2，b＝．
故椭圆C的标准方程为＝1．
(2)①证明：由题意知，F(－1，0)，
设直线MN：x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(－4，y1)，
由方程组
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＞0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
所以－2my1y2＝3(y1＋y2)．
又kEN＝，所以直线EN的方程为y－y1＝(x＋4)，
令y＝0，则x＝－4－＝－4－＝－4－＝－4＋＝－．
所以直线EN过定点P．证毕．
②由①知Δ＝144(m2＋1)＞0，所以m∈R，
又|y1－y2|＝＝，
所以S△OEN＝|OP||y1－y2|＝＝＝，
令t＝，t≥1，则f (t)＝，
令g(t)＝3t＋，g′(t)＝3－＝，当t≥1时，g′(t)＞0，
故g(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
则f (t)＝在[1，＋∞)上单调递减，
即S△OEN＝＝在[1，＋∞)上单调递减，所以t＝1时，(S△OEN)max＝．
点拨：换元：降次、去根号，把分子或分母变简单．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2025·浙江温州期中)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1有公共点，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
13
课后作业(五十二) 直线与椭圆(一)
√
A [将直线方程y＝x＋m代入椭圆方程消去y得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，
∵直线与椭圆有公共点，∴方程有解，
∴Δ＝64m2－4×7×(4m2－12)≥0，
解得－≤m≤，即m的取值范围为 ．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T13改编)已知椭圆C：＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0
C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B [设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得 所以
由
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
①－②得＝0，即＝－，即＝kAB＝－，所以kAB＝－，因此直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．]
3．(2025·山东济南模拟)已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上任意一点，则P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
A [根据题意，消去y得5x2＋8x＋16＝0，
则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，
所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，
且在椭圆上方，当椭圆在点P处的切线与直线x－y＋＝0平行时，点P到直线x－y＋＝0的距离最大．设直线方程为x－y＋m＝0，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
联立消去y得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，
解得m＝(舍去)或m＝－， 则x－y－＝0，故d＝＝，故选A．]
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
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11
12
13
4．椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是，那么直线PA2斜率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
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6
8
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9
10
11
12
√
13
A [由题意，椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则＝，
又由＝＝＝－，可得＝，因为∈，即≤－1，可得，所以直线PA2斜率的取值范围是．故选A．]
题号
1
3
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12
13
题号
1
3
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2
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11
12
5．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若＝3，则该椭圆的离心率为
( )
A． B．
C． D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C [直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1,
故F(－2，0)，M(0，1)，则＝(2，1)，设A(x0，y0)，则＝(－x0，1－y0)，而＝3，
则解得
则A，又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
由2a＝|AF|＋|AF′|＝＝，
则a＝，椭圆的离心率e＝＝＝．故选C．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025·湖南长沙模拟)椭圆＝1，若椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝3x＋m对称，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
B [椭圆＝1，即5x2＋9y2－45＝0，
设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝3x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，
则－45＝－45＝0，
两式作差得5(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＝－＝－，即y0＝x0，
13
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
代入直线方程y＝3x＋m得x0＝－，y0＝－，
即M，
因为(x0，y0)在椭圆内部，所以5×＋9×<45，
解得－即m的取值范围是．故选B．]
13
题号
1
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11
12
二、多项选择题
7．(2024·福建南平期末)已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于P，Q两点，则( )
A．△PF2Q的周长为4
B．|PF1|的取值范围是
C．|PQ|的最小值是3
D．若点M，N在椭圆上，且线段MN中点为(1，1)，则直线MN的斜率为－
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
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8
7
9
10
11
12
13
BCD [由题意可知椭圆的长轴长2a＝4，左焦点F1(－1，0)，由椭圆的定义可知＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝8，
故A错误；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，|PF1|＝
＝＝|x1＋4|，
易知x1∈ x1＋4∈，故|PF1|的取值范围是[1，3]，故B正确；
题号
1
3
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2
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10
11
12
13
若PQ的斜率存在，不妨设其方程为y＝kx＋k，
联立椭圆方程 (4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0，
则
所以|PQ|＝＝＝3＋>3，
题号
1
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10
11
12
13
若PQ的斜率不存在，则其方程为x＝－1，与椭圆方程联立易得|PQ|＝3，
显然当PQ的斜率不存在时，|PQ|min＝3，故C正确；
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，有 ＝0
题号
1
3
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2
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11
12
13
＝－＝·kMN，
若MN中点为(1，1)，则x3＋x4＝y3＋y4＝2 kMN＝－，故D正确．故选BCD．]
题号
1
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11
12
8．(2025·浙江杭州模拟)已知椭圆C：＝1(0A．b＝
B．|AB|∈
C．离心率e＝
D．若OA⊥OB，则＝
13
√
√
题号
1
3
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8
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9
10
11
12
AB [如图所示，连接OA，OB，
易知a＝3，由椭圆定义可知|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝12，因为(|AF2|＋|BF2|)max＝8，当AB⊥x轴，即|AB|为通径时，|AB|最小，所以|AB|min＝＝4，
解得b＝，所以A正确；
当AB为长轴时，|AB|最大，此时|AB|＝2a＝6，
所以|AB|∈，即B正确；
13
题号
1
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11
12
可得椭圆方程为＝1，
易知c＝＝，所以离心率e＝＝，
即C错误；
因为F1(－，0)，可设直线l的方程为x＝my－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
13
题号
1
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12
整理可得(2m2＋3)y2－4my－12＝0，Δ＞0，
因此y1＋y2＝，y1y2＝－，
若OA⊥OB，可得＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以(m2＋1)y1y2－m(y1＋y2)＋3＝0，
整理得6m2＋1＝0，此时方程无解，因此D错误．
故选AB．]
13
题号
1
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11
12
三、填空题
9．过椭圆C：＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＝________．
13
题号
1
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11
12
[由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝(x＋1)．
由得5x2＋8x＝0，
∴x＝0或x＝－．
设A(0，)，B．
又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，
∴＝．]
13
题号
1
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11
12
10．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，若＝，且||＝||，则椭圆C的离心率为________．
13
题号
1
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9
10
11
12
[因为||＝||＝2c，
所以||＝2a－||＝2a－2c，
又＝，
所以||＝||＝(2a－2c)＝(a－c)，
所以||＝2a－||＝2a－(a－c)＝，在△PF1F2中，
13
题号
1
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11
12
cos∠F1PF2＝＝，在△PQF2中，
cos∠F1PF2＝，
以上两式相等整理得(5a－7c)(a－c)＝0，
故5a＝7c或a＝c(舍去)，故＝．]
13
题号
1
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11
12
四、解答题
11．(2024·河南开封一模)已知直线l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆C：＝1(a>b>0)在第一象限交于A，B两点，E为线段AB的中点，O为坐标原点，直线AB，OE的斜率之积为－．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|AB|＝，求椭圆C的方程．
13
题号
1
3
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4
6
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9
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11
12
解：(1)易知k<0，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为E，
所以
可得＝0，
即－＝，
13
题号
1
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9
10
11
12
易知kAB＝，kOE＝，
又直线AB与直线OE的斜率之积为－，
所以－＝－，
则椭圆C的离心率e＝＝＝＝．
13
题号
1
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10
11
12
(2)因为直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，E为线段AB的中点，
所以E为线段MN的中点，
直线l：y＝kx＋2(k≠0)与x轴，y轴的交点为M，N(0，2)，所以E，
可得kOE＝＝－k，
因为kAB·kOE＝－，即－k2＝－，
13
题号
1
3
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11
12
解得k＝－或k＝(舍去)，
所以直线l：y＝－x＋2，
因为椭圆C：＝1(b>0)，
联立消去y并整理得x2－2x＋4－b2＝0，
13
题号
1
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10
11
12
此时Δ＝4(b2－2)>0，解得b2>2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝4－b2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝，
解得b2＝3，则a2＝6，
故椭圆C的方程为＝1．
13
题号
1
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11
12
12．(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
13
题号
1
3
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2
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6
8
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9
10
11
12
解：(1)由题意得解得
所以e＝＝＝．
(2)由(1)知C：＝1．kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝
－x＋3，即x＋2y－6＝0，|AP|＝＝，
设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点B，
设该平行线的方程为x＋2y＋D＝0，
则＝，解得D＝6或D＝－18．
当D＝6时，联立
解得或
13
题号
1
3
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2
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8
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9
10
11
12
即B(0，－3)或，
当交点为B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，
当交点为B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0．
13
题号
1
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2
4
6
8
7
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10
11
12
当D＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，
Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点．
综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0．
13
题号
1
3
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2
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8
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9
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11
12
13．(2025·广东珠海模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，点M在椭圆C上，直线l：y＝x＋t．
(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；
(2)当t＝2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．
13
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
10
11
12
解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c＝2，故a2－b2＝8，
因为M在椭圆上，故＝1，
解得a2＝12，b2＝4，故椭圆方程为＝1，
联立消去y可得4x2＋6tx＋3t2－12＝0，
故Δ＝36t2－16(3t2－12)>0，即192－12t2>0，解得－4所以实数t的取值范围为(－4，4)．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)当t＝2时，直线l：y＝x＋2，故A(－2，0)，B(0，2)，
13
由题设可得P，Q位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB上方，P在直线AB的下方，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大，△QAB的面积最大，
当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，P到直线AB的距离最大，△PAB的面积最大，
由(1)可得直线y＝x＋t与椭圆相切时，Δ＝0，即t＝±4，
当t＝4时，该切线为过Q点的切线，方程为y＝x＋4，其到直线AB的距离为d1＝＝，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
当t＝－4时，该切线为过P点的切线，方程为y＝x－4，其到直线AB的距离为d2＝＝3，
此时四边形PAQB面积
S＝S△QAB＋S△PAB＝|AB|d1＋|AB|d2＝×2×(＋3)＝8，
故四边形PAQB面积的最大值为8．
13
真题感悟 明确考向
2
4
3
题号
1
1．已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线；
(2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离．
课后作业(五十三) 直线与椭圆(二)
2
4
3
题号
1
解：(1)设动圆M的半径为r．
由动圆M与圆C1外切可知|MC1|＝r＋1，①
由动圆M与圆C2内切可知|MC2|＝9－r，②
则①＋②可得，|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8．
所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))．
动圆圆心M的轨迹Γ的方程为＝1(x≠－5)．
2
4
3
题号
1
(2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)．
由得25x2＋8mx＋m2－225＝0．
令Δ＝(8m)2－4×25×＝0．
当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切．
由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大．
设最大距离为d，则d＝＝．
所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为．
2
3
题号
1
4
2．(2024·北京高考)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
2
3
题号
1
4
解：(1)由题意可知b＝，c＝，
所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝＝．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0．
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0，
2
3
题号
1
4
由根与系数的关系得
由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以＝，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0．
由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，
整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(t－1)·＝0，
解得t＝2．即t的值为2．
2
3
题号
4
1
3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
2
3
题号
4
1
解：(1)由离心率为得，＝，①
由△A1A2B的面积为2得，ab＝2．②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
2
3
题号
4
1
(2)证明：记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
又A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆方程＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，Δ＝4×324＞0，
由－2＋x1＝得x1＝，
代入直线PA1的方程得y1＝，
即M，
同理可得N．
2
3
题号
4
1
因为Q(1，0)，所以＝＝，
由＝知，∥，又有公共点Q，所以M，Q，N三点共线．
2
4
3
题号
1
4．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(n，m)．
(1)若n＝1，m＝－1，求k的值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P，且|AB|＝4|PM|，求直线l的方程．
2
4
3
题号
1
解：(1)由题设作差可得
＝＝0，
又xA＋xB＝2n＝2，yA＋yB＝2m＝－2，故
＝，
所以k＝＝．
2
4
3
题号
1
(2)由题意，直线l斜率一定存在，设直线l的方程为y＝k(x－n)＋m，
若k＝0，直线l：y＝m且M(0，m)，－＜m＜，此时中垂线PM与y轴重合，
与题设中，垂直平分线与y轴交于P矛盾，不满足题意；
若k≠0，由(1)知＝－，则k＝＝－，
则中垂线PM的方程为y＋＝x，即6mx－3ny－n＝0，又M(n，m)在该直线上，
2
4
3
题号
1
所以3mn－n＝0，得n＝0或m＝，当n＝0时k＝0，不满足题意，故m＝，
故k＝－，即l：y＝n(x－n)，与椭圆方程联立得x2＋2＝6，
整理得
9(2＋9n2)x2－18n(2＋9n2)x＋81n4＋36n2－104＝0，Δ＞0，
所以xA＋xB＝2n，xAxB＝，
2
4
3
题号
1
则|AB|＝
＝，而|PM|＝，
由|AB|＝4|PM|，得＝8n2＋，
解得n＝±，所以l：y＝1±x．
综上，直线l的方程为y＝±x＋1．
谢 谢！课后作业(五十二) 直线与椭圆(一)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2025·浙江温州期中)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1有公共点，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T13改编)已知椭圆C：＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0
C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0
3．(2025·山东济南模拟)已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上任意一点，则P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是( )
A． B．
C． D．
4．椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是，那么直线PA2斜率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若＝3，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
6．(2025·湖南长沙模拟)椭圆＝1，若椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝3x＋m对称，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·福建南平期末)已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于P，Q两点，则( )
A．△PF2Q的周长为4
B．|PF1|的取值范围是
C．|PQ|的最小值是3
D．若点M，N在椭圆上，且线段MN中点为(1，1)，则直线MN的斜率为－
8．(2025·浙江杭州模拟)已知椭圆C：＝1(0A．b＝
B．|AB|∈
C．离心率e＝
D．若OA⊥OB，则＝
三、填空题
9．过椭圆C：＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＝________．
10．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，若＝，且||＝||，则椭圆C的离心率为________．
四、解答题
11．(2024·河南开封一模)已知直线l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆C：＝1(a>b>0)在第一象限交于A，B两点，E为线段AB的中点，O为坐标原点，直线AB，OE的斜率之积为－．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|AB|＝，求椭圆C的方程．
12．(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
13．(2025·广东珠海模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，点M在椭圆C上，直线l：y＝x＋t．
(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；
(2)当t＝2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．
课后作业(五十二)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [将直线方程y＝x＋m代入椭圆方程消去y得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，
∵直线与椭圆有公共点，∴方程有解，
∴Δ＝64m2－4×7×(4m2－12)≥0，
解得－≤m≤，即m的取值范围为 ．故选A．]
2．B [设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得 所以
由
①－②得＝0，即＝－，即＝kAB＝－，所以kAB＝－，因此直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．]
3．A [根据题意，消去y得5x2＋8x＋16＝0，
则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，
所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，
且在椭圆上方，当椭圆在点P处的切线与直线x－y＋＝0平行时，点P到直线x－y＋＝0的距离最大．设直线方程为x－y＋m＝0，
联立消去y得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，
解得m＝(舍去)或m＝－， 则x－y－＝0，故d＝＝，故选A．]
4．A [由题意，椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则＝，
又由＝＝＝－，可得＝，因为∈，即≤－1，可得，所以直线PA2斜率的取值范围是．故选A．]
5．C [直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1,
故F(－2，0)，M(0，1)，则＝(2，1)，设A(x0，y0)，则＝(－x0，1－y0)，而＝3，
则解得
则A，又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)，
由2a＝|AF|＋|AF′|＝＝，
则a＝，椭圆的离心率e＝＝＝．故选C．]
6．B [椭圆＝1，即5x2＋9y2－45＝0，
设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝3x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，
则－45＝－45＝0，
两式作差得5(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＝－＝－，即y0＝x0，
代入直线方程y＝3x＋m得x0＝－，y0＝－，
即M，
因为(x0，y0)在椭圆内部，所以5×＋9×<45，
解得－即m的取值范围是．故选B．]
7．BCD [由题意可知椭圆的长轴长2a＝4，左焦点F1(－1，0)，由椭圆的定义可知＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝8，
故A错误；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，|PF1|＝＝＝|x1＋4|，
易知x1∈ x1＋4∈，故|PF1|的取值范围是[1，3]，故B正确；
若PQ的斜率存在，不妨设其方程为y＝kx＋k，
联立椭圆方程 (4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0，
则
所以|PQ|＝＝＝3＋>3，
若PQ的斜率不存在，则其方程为x＝－1，与椭圆方程联立易得|PQ|＝3，
显然当PQ的斜率不存在时，|PQ|min＝3，故C正确；
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，有 ＝0
＝－＝·kMN，
若MN中点为(1，1)，则x3＋x4＝y3＋y4＝2 kMN＝－，故D正确．故选BCD．]
8．AB [如图所示，连接OA，OB，
易知a＝3，由椭圆定义可知|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝12，因为(|AF2|＋|BF2|)max＝8，当AB⊥x轴，即|AB|为通径时，|AB|最小，所以|AB|min＝＝4，
解得b＝，所以A正确；
当AB为长轴时，|AB|最大，此时|AB|＝2a＝6，
所以|AB|∈，即B正确；
可得椭圆方程为＝1，
易知c＝＝，所以离心率e＝＝，
即C错误；
因为F1(－，0)，可设直线l的方程为x＝my－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理可得(2m2＋3)y2－4my－12＝0，Δ＞0，
因此y1＋y2＝，y1y2＝－，
若OA⊥OB，可得＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以(m2＋1)y1y2－m(y1＋y2)＋3＝0，
整理得6m2＋1＝0，此时方程无解，因此D错误．
故选AB．]
9． [由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝(x＋1)．
由得5x2＋8x＝0，
∴x＝0或x＝－．
设A(0，)，B．
又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，
∴＝．]
10． [因为||＝||＝2c，
所以||＝2a－||＝2a－2c，
又＝，
所以||＝||＝(2a－2c)＝(a－c)，
所以||＝2a－||＝2a－(a－c)＝，在△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝＝，在△PQF2中，
cos∠F1PF2＝，
以上两式相等整理得(5a－7c)(a－c)＝0，
故5a＝7c或a＝c(舍去)，故＝．]
11．解：(1)易知k<0，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为E，
所以
可得＝0，
即－＝，
易知kAB＝，kOE＝，
又直线AB与直线OE的斜率之积为－，
所以－＝－，
则椭圆C的离心率e＝＝＝＝．
(2)因为直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，E为线段AB的中点，
所以E为线段MN的中点，
直线l：y＝kx＋2(k≠0)与x轴，y轴的交点为M，N(0，2)，所以E，
可得kOE＝＝－k，
因为kAB·kOE＝－，即－k2＝－，
解得k＝－或k＝(舍去)，
所以直线l：y＝－x＋2，
因为椭圆C：＝1(b>0)，
联立消去y并整理得x2－2x＋4－b2＝0，
此时Δ＝4(b2－2)>0，解得b2>2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝4－b2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝，
解得b2＝3，则a2＝6，
故椭圆C的方程为＝1．
12．解：(1)由题意得解得
所以e＝＝＝．
(2)由(1)知C：＝1．kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，|AP|＝＝，
设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点B，
设该平行线的方程为x＋2y＋D＝0，
则＝，解得D＝6或D＝－18．
当D＝6时，联立
解得或
即B(0，－3)或，
当交点为B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，
当交点为B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0．
当D＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，
Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点．
综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c＝2，故a2－b2＝8，
因为M在椭圆上，故＝1，
解得a2＝12，b2＝4，故椭圆方程为＝1，
联立消去y可得4x2＋6tx＋3t2－12＝0，
故Δ＝36t2－16(3t2－12)>0，即192－12t2>0，解得－4所以实数t的取值范围为(－4，4)．
(2)当t＝2时，直线l：y＝x＋2，故A(－2，0)，B(0，2)，
由题设可得P，Q位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB上方，P在直线AB的下方，
当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大，△QAB的面积最大，
当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，P到直线AB的距离最大，△PAB的面积最大，
由(1)可得直线y＝x＋t与椭圆相切时，Δ＝0，即t＝±4，
当t＝4时，该切线为过Q点的切线，方程为y＝x＋4，其到直线AB的距离为d1＝＝，
当t＝－4时，该切线为过P点的切线，方程为y＝x－4，其到直线AB的距离为d2＝＝3，
此时四边形PAQB面积
S＝S△QAB＋S△PAB＝|AB|d1＋|AB|d2＝×2×(＋3)＝8，
故四边形PAQB面积的最大值为8．
1 / 4课后作业(五十三) 直线与椭圆(二)
1．已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线；
(2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离．
2．(2024·北京高考)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
4．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(n，m)．
(1)若n＝1，m＝－1，求k的值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P，且|AB|＝4|PM|，求直线l的方程．
课后作业(五十三)
1．解：(1)设动圆M的半径为r．
由动圆M与圆C1外切可知|MC1|＝r＋1，①
由动圆M与圆C2内切可知|MC2|＝9－r，②
则①＋②可得，|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8．
所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))．
动圆圆心M的轨迹Γ的方程为＝1(x≠－5)．
(2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)．
由得25x2＋8mx＋m2－225＝0．
令Δ＝(8m)2－4×25×＝0．
当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切．
由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大．
设最大距离为d，则d＝＝．
所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为．
2．解：(1)由题意可知b＝，c＝，
所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝＝．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0．
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0，
由根与系数的关系得
由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以＝，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0．
由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，
整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(t－1)·＝0，
解得t＝2．即t的值为2．
3．解：(1)由离心率为得，＝，①
由△A1A2B的面积为2得，ab＝2．②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
又A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆方程＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，Δ＝4×324＞0，
由－2＋x1＝得x1＝，
代入直线PA1的方程得y1＝，
即M，
同理可得N．
因为Q(1，0)，所以＝＝，
由＝知，∥，又有公共点Q，所以M，Q，N三点共线．
4．解：(1)由题设作差可得
＝＝0，
又xA＋xB＝2n＝2，yA＋yB＝2m＝－2，故
＝，
所以k＝＝．
(2)由题意，直线l斜率一定存在，设直线l的方程为y＝k(x－n)＋m，
若k＝0，直线l：y＝m且M(0，m)，－＜m＜，此时中垂线PM与y轴重合，
与题设中，垂直平分线与y轴交于P矛盾，不满足题意；
若k≠0，由(1)知＝－，则k＝＝－，
则中垂线PM的方程为y＋＝x，即6mx－3ny－n＝0，又M(n，m)在该直线上，
所以3mn－n＝0，得n＝0或m＝，当n＝0时k＝0，不满足题意，故m＝，
故k＝－，即l：y＝n(x－n)，与椭圆方程联立得x2＋2＝6，
整理得
9(2＋9n2)x2－18n(2＋9n2)x＋81n4＋36n2－104＝0，Δ＞0，
所以xA＋xB＝2n，xAxB＝，
则|AB|＝
＝，而|PM|＝，
由|AB|＝4|PM|，得＝8n2＋，
解得n＝±，所以l：y＝1±x．
综上，直线l的方程为y＝±x＋1．
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