第7课时 双曲线
[考试要求] 1．掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图象
性质 焦点 __________________________ __________________________
焦距 ______________
范围 ________或______，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：________；对称中心：______
顶点 ____________________________ __________________________
轴 实轴：线段______，长：____；虚轴：线段______，长：____，实半轴长：___，虚半轴长：___
离心率 e＝∈_____________
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝________ (c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为e＝__．
[常用结论]
1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2．
(6)P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c．
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ( )
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( )
(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0． ( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
3．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
考点一 双曲线的定义及其应用
[典例1] (1) 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
(2)(2025·江苏南京模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，若△F1PF2的面积为4，则a＝________．
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双曲线定义的应用
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为( )
A．4＋6 B．4＋6
C．6＋6 D．6＋6
(2)已知P是圆F1：(x＋3)2＋y2＝16上的一动点，点F2(3，0)，线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q，则Q点的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1(x>0)
(3)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________．
考点二 双曲线的标准方程
[典例2] (1)(2025·山东济南模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)(2025·广东海珠区模拟)已知双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)，四点A(6，)，B，C(5，2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为________．
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求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2．
(2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[跟进训练]
2．(1) 已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．x2－＝1
(2)(2025·湖北武汉模拟)过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
考点三 双曲线的简单几何性质
双曲线的渐近线
[典例3] (2025·广东深圳模拟)如图，F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若A是BF2的中点且BF1⊥BF2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
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双曲线的离心率
[典例4] (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)若斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
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与双曲线有关的最值、范围问题
[典例5] (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)已知双曲线C：＝1的焦点是F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是( )
A．的最大值为4
B．的最大值为2
C．的最小值为－4
D．的最小值为－2
(3)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上的点到焦点的最小距离为1，且C与直线y＝x无交点，则a的取值范围是________．
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1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线＝1(a>0，b>0)或＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令＝0，得y＝±x；或令＝0，得y＝±x．
2．求双曲线的离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2025·山东潍坊模拟)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是( )
A．M的离心率为
B．M的标准方程为x2－＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
(3)已知点F是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
考点四 直线与双曲线的位置关系
[典例6](1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
①求C的方程；
②设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
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解决与直线和双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
[跟进训练]
4．(1)已知双曲线＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
(2)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
(3)(多选)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A．弦AB的最小值为
B．若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
(4)(2024·北京高考)已知双曲线－y2＝1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．
第7课时 双曲线
梳理·必备知识
1．绝对值 小于 焦点 焦距
2．F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c x≤－a x≥a 坐标轴 原点
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a B1B2 2b a b (1，＋∞) a2＋b2
3．y＝±x
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、1. 6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或|PF2|＝2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1＞2，故|PF2|＝6．]
2．10 y＝±x [双曲线＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x．]
3．＝1(x≥3) [由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支．又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为＝1(x≥3)．]
4．(－2，－1) [因为方程＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1．]
考点一
典例1 (1)C (2)2 [(1)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6＝|C1C2|，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)不妨取P点在第一象限，如图所示：
根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c．
由离心率为2可得＝2，可得c＝2a，即|F1F2|＝4a．
设|PF2|＝m>0，则|PF1|＝2a＋m．
由△F1PF2的面积为4，
可得|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝m(2a＋m)×＝4，解得m(2a＋m)＝16．
利用余弦定理的推论可得cos ∠F1PF2＝＝－，
即＝－，
整理可得2m2＋4am－12a2＝－m(2a＋m)，
即12a2＝3m(2a＋m)，
所以12a2＝48，解得a＝2．]
跟进训练
1．(1)B (2)C (3)3 [(1)设双曲线的右焦点为M，由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝5，则a＝2，b＝，c＝3，
所以F(－3，0)，M(3，0)，且|PF|－|PM|＝2a＝4，所以|PF|＝|PM|＋4，
△APF的周长为
|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋3≥|AM|＋4＋3＝4＋6，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则△APF周长的最小值为4＋6．故选B．
(2)如图所示：
∵P是圆F1上一动点，点F2的坐标为(3，0)，线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q，
∴|QP|＝|QF2|，||QF1|－|QF2||＝||QF1|－|QP||＝|PF1|，
∵|PF1|＝4，∴||QF1|－|QF2||＝4，
∵F2(3，0)，F1(－3，0)，|F1F2|＝6>4，
∴点Q的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线，且a＝2，c＝3，得b＝，∴点Q的轨迹方程为＝1．故选C．
(3)双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以＝|PF1|·|PF2|＝3．]
考点二
典例2 (1)A (2)－y2＝1 [(1)根据渐近线方程可设双曲线C的方程为＝λ(λ≠0)，
∵双曲线C过点(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴双曲线C的标准方程为＝1．
故选A．
(2)因为点C，D关于原点对称，且双曲线Γ也关于原点对称，故点C，D都在双曲线Γ上，
对于点A，＞＜，所以＞＝1，即点A不在双曲线Γ上，
所以点B，C，D都在双曲线Γ上，
所以解得
因此，双曲线Γ的标准方程为－y2＝1．]
跟进训练
2．(1)D (2)D [(1)由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得＝2a，即c＝a．又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1．故选D．
(2)由椭圆9x2＋3y2＝27，得＝1，
所以椭圆焦点在y轴上，
且c＝＝，即上焦点为(0，)，
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
则 解得a2＝2，b2＝4，
故双曲线的方程为＝1．故选D．]
考点三
考向1 典例3 A [设|AB|＝|AF2|＝m，|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋2a，|BF1|＝|BF2|－2a＝＝|AF1|2，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，
(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，①
(2m－2a)2＋4m2＝4c2，②
由①可得m＝3a，
代入②式化简得13a2＝c2，
∴12a2＝b2，∴＝2，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x．故选A．]
考向2 典例4 (1)A (2)D [(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝．故选A．
(2)因为斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，所以＞，则e＝＝＞＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D．]
考向3 典例5 (1)A (2)D (3)[1，＋∞) [(1)不妨令＝1，所以＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝－3＜0，即－1＜0，解得－＜y0＜．故选A．
(2)根据题意，不妨令F1，F2的坐标分别为(0，)，(0，－)，设点P的坐标为(x，y)，则x∈R，
故＝(－x，－y)·(－x，－－y)＝x2＋y2－6，
又y2＝4＝4＋2x2，
故＝x2＋4＋2x2－6＝3x2－2，
又x∈R，故当x＝0时，取得最小值－2，且其没有最大值，故选D．
(3)因为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上的点到焦点的最小距离为1，所以c－a＝1，又双曲线与直线y＝x无交点，所以，即b2－3a2≤0，
即c2－4a2＝(a＋1)2－4a2＝－3a2＋2a＋1≤0，
因为a＞0，解得a≥1．]
跟进训练
3．(1)ACD (2)y＝±x (3)(1，2) [(1)因为双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，所以有a2＋b2＝c2＝4，①
双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一、三象限的渐近线的斜率为或，即或，②
联立①②可得a2＝1，b2＝3或a2＝3，b2＝1．
因为a＞b，所以a2＝3，b2＝1，
故双曲线M的方程为－y2＝1．
M的离心率为，A正确；
双曲线M的标准方程为－y2＝1，B错误；
M的渐近线方程为y＝±x，C正确；
直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点(2，0)，D正确．故选ACD．
(2)因为双曲线的方程是＝1(a>0，b>0)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为离心率e＝＝2，可得c＝2a，所以c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝a，由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．
(3)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2．]
考点四
典例6 (1)D [结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝＝9，
即＝kAB·＝9，因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D．
]
(2)解：①因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
②设T，由题意可知，直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得x2－2k1x－－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
易知≠0，Δ＞0．
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝＝
＝
＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以＝，
即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
跟进训练
4．(1)B (2)B (3)ABC (4)± [(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x，当直线l与渐近线平行时，直线l与双曲线只有一个交点．当直线l的斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率k＞；当直线l的斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率k＜．故选B．
(2)当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝＝6，则当直线l与双曲线的右支交于A，B两点时，满足题意的直线l有1条；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6，则当直线l与双曲线的左、右两支分别交于一点时，还可作出2条直线l，使得|AB|＝6．故满足题意的直线l有3条，故选B．
(3)AB的最小值为通径，A正确；
由双曲线的定义得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得
＝0，
则＝0，
则·kOM·k＝0，则kOM·k＝，C正确；
若直线AB的斜率为，所以＜，
所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以1＜e＜2，D错误．故选ABC．
(4)联立x＝3与－y2＝1，解得y＝±，这表明满足题意的直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为k，则过点(3，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－3)，
联立化简并整理得(1－4k2)x2＋24k2x－36k2－4＝0，
由题意得1－4k2＝0或Δ＝(24k2)2＋4(36k2＋4)(1－4k2)＝0，
解得k＝±或无解，即k＝±，经检验，符合题意．]
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第八章
解析几何
第7课时 双曲线
[考试要求] 1．掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3．了解双曲线的简单应用．
链接教材·夯基固本
1．双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______．
绝对值
小于
焦点
焦距
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图象
性质 焦点 ____________________ ____________________
焦距 ______________
范围 ________或______，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：________；对称中心：______
顶点 ____________________ ___________________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
x≤－a
x≥a
坐标轴
原点
A1(－a，0)， A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
性质 轴 实轴：线段______，长：____；虚轴：线段______，长：____，实半轴长：___，虚半轴长：___
离心率 e＝∈_____________
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝________ (c>a>0，c>b>0)
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
(1，＋∞)
a2＋b2
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为e＝______．
y＝±x
[常用结论]
1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2．
(6)P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c．
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ( )
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( )
(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0． ( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于． ( )
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或|PF2|＝2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1＞2，故|PF2|＝6．]
6
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为___________．
10 y＝±x [双曲线＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x．]
10
y＝±x
3．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是__________________．
＝1(x≥3) [由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支．又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为＝1(x≥3)．]
＝1(x≥3)
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是____________．
(－2，－1) [因为方程＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1．]
(－2，－1)
考点一 双曲线的定义及其应用
[典例1] (1) 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
典例精研·核心考点
√
(2)(2025·江苏南京模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，若△F1PF2的面积为4，则a＝________．
2
(1)C (2)2 [(1)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6＝|C1C2|，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)不妨取P点在第一象限，如图所示：
根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c．
由离心率为2可得＝2，可得c＝2a，即|F1F2|＝4a．
设|PF2|＝m>0，则|PF1|＝2a＋m．
由△F1PF2的面积为4，
可得|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝m(2a＋m)×＝4，解得m(2a＋m)＝16．
利用余弦定理的推论可得cos ∠F1PF2＝＝－，
即＝－，
整理可得2m2＋4am－12a2＝－m(2a＋m)，
即12a2＝3m(2a＋m)，
所以12a2＝48，解得a＝2．]
【教用·备选题】
1．(2024·钦州开学)已知点A(1，0)，B(－1，0)．动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
C [∵点A(1，0)，B(－1，0)，∴|AB|＝2．
又动点M满足|MA|－|MB|＝2，
∴点M的轨迹方程为y＝0(x≤－1)．故选C．]
√
2．已知F1，F2是平面内两个不同的定点，P为平面内的动点，则“||PF1|－|PF2||的值为定值m，且m<|F1F2|”是“点P的轨迹是双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B [因为“||PF1|－|PF2||的值为定值m，m<|F1F2|”，若m＝0，则P点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点，且满足||PF1|－|PF2||＝m<|F1F2|，故必要性成立．]
3．已知点M(－5，0)，点P在曲线＝1(x>0)上运动，点Q在曲线C：(x－5)2＋y2＝1上运动，则的最小值是________．
20
20 [如图，在曲线＝1(x＞0)中，a＝3，b＝4，c＝＝5，
圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1，
所以双曲线＝1的左、右焦点分别为M，C．
由双曲线的定义可得
|PM|＝|PC|＋2a＝|PC|＋6，|PQ|≤|PC|＋1，
所以＝(|PC|＋1)＋＋10≥2＋10＝20，
当且仅当|PC|＝4时，等号成立，故的最小值是20．]
名师点评 双曲线定义的应用
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为( )
A．4＋6 B．4＋6
C．6＋6 D．6＋6
√
(2)已知P是圆F1：(x＋3)2＋y2＝16上的一动点，点F2(3，0)，线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q，则Q点的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1(x>0)
(3)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________．
√
3
(1)B (2)C (3)3 [(1)设双曲线的右焦点为M，由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝5，则a＝2，b＝，c＝3，
所以F(－3，0)，M(3，0)，且|PF|－|PM|＝2a＝4，所以|PF|＝|PM|＋4，
△APF的周长为
|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋3≥|AM|＋4＋3＝4＋6，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则△APF周长的最小值为4＋6．故选B．
(2)如图所示：
∵P是圆F1上一动点，点F2的坐标为(3，0)，线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q，
∴|QP|＝|QF2|，||QF1|－|QF2||＝||QF1|－|QP||＝|PF1|，
∵|PF1|＝4，∴||QF1|－|QF2||＝4，
∵F2(3，0)，F1(－3，0)，|F1F2|＝6>4，
∴点Q的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线，且a＝2，c＝3，得b＝，∴点Q的轨迹方程为＝1．故选C．
(3)双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以＝|PF1|·|PF2|＝3．]
考点二 双曲线的标准方程
[典例2] (1)(2025·山东济南模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
(2)(2025·广东海珠区模拟)已知双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)，四点A(6，)，B，C(5，2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为___________．
－y2＝1
(1)A (2)－y2＝1 [(1)根据渐近线方程可设双曲线C的方程为＝λ(λ≠0)，
∵双曲线C过点(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴双曲线C的标准方程为＝1．
故选A．
(2)因为点C，D关于原点对称，且双曲线Γ也关于原点对称，故点C，D都在双曲线Γ上，
对于点A，＞＜，所以＞＝1，即点A不在双曲线Γ上，
所以点B，C，D都在双曲线Γ上，
所以解得
因此，双曲线Γ的标准方程为－y2＝1．]
名师点评 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2．
(2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[跟进训练]
2．(1) 已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．x2－＝1
√
(2)(2025·湖北武汉模拟)过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
(1)D (2)D [(1)由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得＝2a，即c＝a．又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1．故选D．
(2)由椭圆9x2＋3y2＝27，得＝1，
所以椭圆焦点在y轴上，
且c＝＝，即上焦点为(0，)，
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
则 解得a2＝2，b2＝4，
故双曲线的方程为＝1．故选D．]
【教用·备选题】
1．“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B [因为方程＝1表示双曲线，
所以(2－m)(m＋1)＜0，解得m＜－1或m＞2．
即m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．因为(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，
所以“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选B．]
2．(人教A版选择性必修第一册P115习题3.1T1改编)若动点P(x，y)满足方程||＝3，则动点P的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
A [由题意得点P(x，y)到点A(－2，0)与点B(2，0)的距离之差的绝对值为3，且4>3，
故动点P的轨迹是以A(－2，0)与B(2，0)为焦点的双曲线，
故2a＝3，c＝2，所以a＝，b2＝c2－a2＝4－＝，
所以动点P的轨迹方程为＝1．故选A．]
3．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1，P2，P3，P4四个点，F1和F2分别是C1的左、右焦点，也是C2的左、右焦点，并且六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形．若椭圆C1的方程为＝1，则双曲线C2的方程为________________．
＝1
＝1 [设双曲线C2的方程为＝1(a＞0，b＞0)，
根据椭圆C1的方程＝1，
可得F1(－2，0)，F2(2，0)．
又六边形P1P2F1P3P4F2为正六边形，则点P1的坐标为(1，)．
又点P1在双曲线C2上，可得＝1．
又a2＋b2＝4，
解得
则双曲线C2的方程为＝1．]
4．已知点F1，F2分别是等轴双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为___________．
＝1
＝1 [|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中点，所以PF1⊥PF2．又a＝b，则c＝a，
解得a＝2，
所以双曲线C的方程为＝1．]
5．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程：_____________________________ ____________．
x2－＝1(答案不唯一，符合
题意即可)
x2－＝1(答案不唯一，符合题意即可) [如图，取a＝1，b＝，c＝，且AB⊥x轴，可得|AF2|＝|BF2|＝＝2，|AF1|＝|BF1|＝2a＋|AF2|＝4，即|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝4，△ABF1为正三角形，符合题意，此时双曲线C的方程为x2－＝1．]
考点三 双曲线的简单几何性质
考向1 双曲线的渐近线
[典例3] (2025·广东深圳模拟)如图，F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若A是BF2的中点且BF1⊥BF2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
√
A [设|AB|＝|AF2|＝m，|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋2a，|BF1|＝|BF2|－2a＝＝|AF1|2，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，
(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，①
(2m－2a)2＋4m2＝4c2，②
由①可得m＝3a，
代入②式化简得13a2＝c2，
∴12a2＝b2，∴＝2，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x．故选A．]
考向2 双曲线的离心率
[典例4] (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)若斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
√
√
(1)A (2)D [(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝．故选A．
(2)因为斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，所以＞，则e＝＝＞＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D．]
考向3 与双曲线有关的最值、范围问题
[典例5] (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
(2)已知双曲线C：＝1的焦点是F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是( )
A．的最大值为4
B．的最大值为2
C．的最小值为－4
D．的最小值为－2
√
(3)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上的点到焦点的最小距离为1，且C与直线y＝x无交点，则a的取值范围是___________．
[1，＋∞)
(1)A (2)D (3)[1，＋∞) [(1)不妨令＝1，所以＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝－3＜0，即－1＜0，解得－＜y0＜．故选A．
(2)根据题意，不妨令F1，F2的坐标分别为(0，)，(0，－)，设点P的坐标为(x，y)，则x∈R，
故＝(－x，－y)·(－x，－－y)＝x2＋y2－6，
又y2＝4＝4＋2x2，
故＝x2＋4＋2x2－6＝3x2－2，
又x∈R，故当x＝0时，取得最小值－2，且其没有最大值，故选D．
(3)因为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上的点到焦点的最小距离为1，所以c－a＝1，又双曲线与直线y＝x无交点，所以，即b2－3a2≤0，
即c2－4a2＝(a＋1)2－4a2＝－3a2＋2a＋1≤0，
因为a＞0，解得a≥1．]
名师点评 1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线＝1(a>0，b>0)或＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令＝0，得y＝±x；或令＝0，得y＝±x．
2．求双曲线的离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2025·山东潍坊模拟)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是( )
A．M的离心率为
B．M的标准方程为x2－＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
√
√
√
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
(3)已知点F是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
y＝±x
(1，2)
(1)ACD (2)y＝±x (3)(1，2) [(1)因为双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，所以有a2＋b2＝c2＝4，①
双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一、三象限的渐近线的斜率为或，即＝或＝，②
联立①②可得a2＝1，b2＝3或a2＝3，b2＝1．
因为a＞b，所以a2＝3，b2＝1，
故双曲线M的方程为－y2＝1．
M的离心率为＝，A正确；
双曲线M的标准方程为－y2＝1，B错误；
M的渐近线方程为y＝±x，C正确；
直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点(2，0)，D正确．故选ACD．
(2)因为双曲线的方程是＝1(a>0，b>0)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为离心率e＝＝2，可得c＝2a，所以c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝a，由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．
(3)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2．]
【教用·备选题】
1．如图1所示，双曲线具有光学性质，从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos ∠BAC＝－，AB⊥BD，
则双曲线E的离心率为( )
A． B．
C． D．
√
B [依题意，直线CA，DB都过点F1，
如图，有AB⊥BF1，cos ∠BAF1＝．
设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a＋m，显然有tan ∠BAF1＝，|AB|＝|BF1|＝(2a＋m)，|AF2|＝a－m，
因此|AF1|＝2a＋|AF2|＝a－m．
在Rt△ABF1中，|AB|2＋|BF1|2＝|AF1|2，
即(2a＋m)2＋(2a＋m)2＝，
解得m＝a，即|BF1|＝a，|BF2|＝a．
令双曲线半焦距为c，
在Rt△BF1F2中，|BF2|2＋|BF1|2＝|F1F2|2，
即＋＝(2c)2，解得＝，
所以双曲线E的离心率为．故选B．]
2．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，若双曲线不存在以点(2a，a)为中点的弦，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
B [如图所示，当点(2a，a)夹在双曲线及其渐近线之间(图中阴影部分，含双曲线和渐近线，不含原点)时，不存在以(2a，a)为中点的弦．可知
0≤≤1，
解得，故≤e≤．]
3．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，塔底部塔口半径为20米，则该双曲线的离心率为________．
[如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的水平直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，由题意知|OA|＝a＝20，
设C(25，m)(m＞0)，B(20，－70＋m)，
所以解得
所以c2＝a2＋b2＝400＋1 600＝2 000，
所以e＝＝＝．]
考点四 直线与双曲线的位置关系
[典例6] (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
√
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
①求C的方程；
②设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
(1)D [结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝＝9，
即＝kAB·＝9，因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB
与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，
不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，
所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．
故选D．]
(2)解：①因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
②设T，由题意可知，直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得x2－2k1x－－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
易知≠0，Δ＞0．
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝＝
＝ ＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以＝，
即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
【教用·备选题】
已知双曲线E的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且E经过点P(2，3)．
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点M(0，1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程．
解：(1)由已知可设双曲线E的方程为＝1(a>0，b>0)，则解得
所以双曲线E的方程为x2－＝1．
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，
所以可设直线l的方程为y＝kx＋1，
如图，联立得(3－k2)x2－2kx－4＝0(*)，
①当3－k2＝0，即k＝或k＝－时，方程(*)只有一解，所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为y＝±x＋1；
②当3－k2≠0，即k≠±时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得k＝±2，此时，直线l的方程为y＝±2x＋1．
综上所述，直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±2x＋1．
名师点评 解决与直线和双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
[跟进训练]
4．(1)已知双曲线＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
√
(2)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
√
(3)(多选)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A．弦AB的最小值为
B．若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
√
√
√
(4)(2024·北京高考)已知双曲线－y2＝1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．
±
(1)B (2)B (3)ABC (4)± [(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x，当直线l与渐近线平行时，直线l与双曲线只有一个交点．当直线l的斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率k＞；当直线l的斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率k＜
－．故选B．
(2)当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝＝6，则当直线l与双曲线的右支交于A，B两点时，满足题意的直线l有1条；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6，则当直线l与双曲线的左、右两支分别交于一点时，还可作出2条直线l，使得|AB|＝6．故满足题意的直线l有3条，故选B．
(3)AB的最小值为通径，A正确；
由双曲线的定义得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得＝0，
则＝0，
则·kOM·k＝0，则kOM·k＝，C正确；
若直线AB的斜率为，所以＜，
所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以1＜e＜2，D错误．故选ABC．
(4)联立x＝3与－y2＝1，解得y＝±，这表明满足题意的直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为k，则过点(3，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－3)，
联立化简并整理得(1－4k2)x2＋24k2x－36k2－4＝0，
由题意得1－4k2＝0或Δ＝(24k2)2＋4(36k2＋4)(1－4k2)＝0，
解得k＝±或无解，即k＝±，经检验，符合题意．]
【教用·备选题】
1．(多选)已知双曲线C的方程为＝1，A，B两点分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C上任意一点(与A，B两点不重合)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则( )
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线C的实半轴长、虚半轴长同时增加相同的长度m(m＞0)，则离心率变大
C．k1·k2为定值
D．存在实数t使得直线y＝x＋t与双曲线左、右两支各有一个交点
√
√
AC [对于A，∵双曲线C的一个焦点F(5，0)，
渐近线方程化为4x±3y＝0，
∴焦点F到渐近线的距离为d＝＝4，故A正确；
对于B，双曲线C的离心率e＝，若C的实半轴长、虚半轴长同时增加相同的长度m(m＞0)，则＝＝＝＜0，
∴新离心率e′＝＜＝e，即离心率变小，故B错误；
对于C，由题知A(－3，0)，B(3，0)，设P(x，y)，
∵k1＝，k2＝，
∴k1·k2＝＝，
又点P在双曲线上， ∴＝1，
∴y2＝16＝，
∴k1·k2＝＝(定值)，故C正确；
对于D，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，＞．
根据双曲线图象(图略)可知，若直线y＝x＋t与双曲线C有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误．故选AC．]
2．(多选)(2025·衡水中学模拟)已知F1，F2是双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M，P，且|MP|＝|MF1|，下列判断正确的是( )
A．∠F1PF2＝
B．双曲线E的离心率等于
C．△PF1F2的内切圆半径为－1
D．若A，B为双曲线E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时，其乘积为2
√
√
√
ABD [如图所示，因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以在△PF1F2中，PF2∥MO，所以PF2⊥x轴．
A选项中，因为直线PF1的倾斜角为，所以∠F1PF2＝，故A正确；
B选项中，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
所以|PF1|－|PF2|＝2a＝c，得e＝＝，故B正确；
C选项中，△PF1F2的周长为(2＋2)c，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法，有×(2＋2)cr＝×2c×c，
得r＝c，是与c有关的式子，所以C错误；
D选项中，A，B关于原点对称，可设A(m，n)，B(－m，－n)，P，根据e＝＝得P(a，2a)，
所以当直线PA、PB的斜率存在时，
kPA＝，kPB＝，kPA·kPB＝，
因为A，B在双曲线上，所以＝1，
即＝1，得n2＝2m2－2a2．
所以kPA·kPB＝＝＝2，故D正确．故选ABD．]
3．(2022·全国甲卷)记双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值______________________．
2(满足12(满足10，b>0)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，
可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，
所以e＝＝＝，
又因为e>1，所以1故答案为2(满足1＜e≤皆可)．]
4．(2025·河北保定模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点F到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设M，N分别是双曲线C左、右两支上的动点，A为双曲线C的左顶点，若直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝－2，|MN|＝9，求直线MN的方程．
解：(1)由题知双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，
不妨设F(c，0)，则焦点F到渐近线的距离d＝＝＝b＝，
∵C的离心率为2，∴＝2，∴c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2＝3，∴a2＝1，
故双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)由(1)可得A(－1，0)，
当直线MN的倾斜角为0时，由|MN|＝9，以及双曲线的对称性知M的横坐标为－，代入双曲线方程可得y＝±，不妨令M，则N，则k1·k2＝＝＝－3≠－2，不符合题意，则直线MN的倾斜角不为0，
∴设直线MN的方程为x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
∴3m2－1≠0，Δ＝36m2n2－12(3m2－1)(n2－1)>0，∴3m2＋n2－1>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝，
∴k1＝，k2＝，
∵k1·k2＝－2，∴＝－2，
∴y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
∴y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
∴(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
即(2m2＋1)·－2m(n＋1)·＋2(n＋1)2＝0，
∴3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
∴n2－4n－5＝0，
∴n＝5或n＝－1．
当n＝－1时，y1y2＝0，不符合题意，∴n＝5．
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|MN|＝|y1－y2|＝＝＝9，
解得m＝±1，故直线MN的方程为x＝±y＋5．
综上，直线MN的方程为x－y－5＝0或x＋y－5＝0．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
16
课后作业(五十四) 双曲线
一、单项选择题
1．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为( )
A．6 B．6 C．9 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
B [根据题意可得解得a＝b＝3，
∴该双曲线的虚轴长为2b＝6．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
16
2．(人教A版选择性必修第一册P121探究改编)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为( )
A．＝1(x≠±3) B．＝1(x≠±3)
C．＝1(x≠±3) D．＝1(x≠±3)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
D [设点M(x，y)，则AM的斜率为，BM的斜率为，故＝(x≠±3)，
所以＝1(x≠±3)，故D正确．故选D．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
3．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
√
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
C [设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝＝2．
故选C．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
4．(2024·福建莆田期末)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A [由题意，＝，则＝＝5，即b2＝4a2，
解得＝2, ∴C的渐近线方程为y＝±2x．故选A．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
5．(2025·天津西青区模拟)设P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan ∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
B [如图，连接PF1，PF2，由题意可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a，
且m2＋n2＝4c2，tan ∠PF2F1＝＝3，
则m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，
即有c2＝a2，e＝＝．
故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
6．(2024·天津高考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶
sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为＝1．
故选C．]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
二、多项选择题
7．(2025·山东青岛模拟)已知双曲线τ：＝1，则( )
A．m的取值范围是(3，＋∞)
B．当m＝1时，τ的渐近线方程为y＝±x
C．τ的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)
D．τ可以是等轴双曲线
√
√
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
16
BCD [双曲线τ：＝1，可得(3－m)(m＋6)>0，解得m∈(－6，3)，所以A不正确；
当m＝1时，τ的方程为＝1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以B正确；
c＝＝3，双曲线的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，所以C正确；
当3－m＝m＋6，即m＝－时，双曲线为等轴双曲线，所以D正确．故选BCD．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
8．(2024·江苏南通二模)已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A．C的虚轴长为2
B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不等于－
√
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
AD [双曲线C：＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，
－＝－，解得b＝，
对于A，C的虚轴长2b＝2，A正确；
对于B，C的离心率e＝＝，B错误；
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为＝，即|PF|的最小值为，C错误；
对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确．故选AD．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
三、填空题
9．(2025·四川成都锦江模拟)已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是________．
[由|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4，根据双曲线的定义可知P点轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， c＝2，2a＝3，a＝．
当P为双曲线的顶点时，|PA|有最小值2＋＝．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
10．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
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[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
题号
9
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四、解答题
11．(2025·云南昆明模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点(－3，2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
题号
9
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解：(1)由题意可知双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据双曲线的定义有2a＝||
＝2，
∴a＝1，又c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1．
题号
9
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(2)因为双曲线C的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±x，由消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0．
①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0，即k≠±时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±，
此时直线l与双曲线C相切于一点，符合题意．
综上所述，符合题意的实数k的所有取值为±，±．
题号
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12．(2025·陕西渭南模拟)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的一条渐近线方程为y＝x，过F1且与x轴垂直的直线与E交于A，B两点，且△ABF2的周长为16．
(1)求E的方程；
(2)过F2作直线l与E交于C，D两点，若＝3，求直线CD的斜率．
题号
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解：(1)∵x＝－c时，y＝±，∴|AF1|＝|BF1|＝，∴|AF2|＝|BF2|＝＋2a，
∴ E：x2－＝1．
(2)由(1)知F2(2，0)，显然直线l的斜率存在，当l的斜率为0时，＝3 不成立；
当l的斜率不为0时，设l：x＝my＋2，C(x1，y1)，D(x2，y2)．
题号
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由 (3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
Δ＝36m2＋36>0，3m2－1≠0，m2≠，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝．
又∵＝3，
∴y1＝－3y2．
题号
9
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∴
∴得＝－，
∴m2＝，故直线CD的斜率为 或－．
题号
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13．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝( )
A．－ B．－
C． D．－
√
题号
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D [因为双曲线E的离心率为，所以c＝a，因为|AB|＝|AF1|，所以|BF2|＝|AB|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝|BF1|－2a＝2a，所以|BF1|＝4a＝2|BF2|，
在△BF1F2中，由余弦定理的推论得cos ∠BF2F1＝＝＝－，
在△AF1F2中，cos ∠F1F2A＝－cos ∠F1F2B＝，
设|AF2|＝m，则|AF1|＝m＋2a，
由|AF1|2＝|F1F2|2＋|AF2|2－2|F1F2||AF2|·cos ∠F1F2A得
题号
9
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(2a＋m)2＝(2a)2＋m2－2×2am×，
解得m＝a，所以|AF1|＝，
所以cos ∠BAF1＝
＝＝－．
故选D．]
题号
9
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1
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14．如图，已知双曲线C：＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C分别在第一、二象限交于A，B两点，△ABF2内切圆半径为r，若|BF1|＝r＝a，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
√
题号
9
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1
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D [设|AB|＝x，内切圆圆心为I，内切圆在BF2，AF2，AB上的切点分别为U，V，W，
则|BU|＝|BW|，|AV|＝|AW|，|F2U|＝|F2V|，
由|BF1|＝a及双曲线的定义可知，|BF2|＝3a，|AF2|＝x－a，|F2U|＝|F2V|＝(|BF2|＋|AF2|－|AB|)＝a＝r，
故四边形IUF2V是正方形，
题号
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1
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得AF2⊥BF2，于是|BF2|2＋|AF2|2＝|AB|2，
故x2＝9a2＋(x－a)2，所以x＝5a，
于是cos∠F1BF2＝cos (π－∠ABF2)＝－，在△F1BF2中，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|·cos ∠F1BF2＝a2，
从而4c2＝a2，所以e＝＝．故选D．]
题号
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15．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
√
题号
9
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D [如图所示，根据对称性，不妨设M在左支上，
设右焦点为F2，连接MF2，NF2，
由对称性知四边形MF1NF2为平行四边形，
又|F1N|＝2|F1M|，∴|F2M|＝2|F1M|．
∵|F2M|－|F1M|＝2a，
∴|F1M|＝2a，|F2M|＝|F1N|＝4a，
又∠MF1N＝60°，∴∠F1MF2＝120°．
在△MF1F2中，由余弦定理得
题号
9
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|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|·cos 120°，∴4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×，
整理得c2＝7a2，∴a2＋b2＝7a2，∴＝，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x．故选D．]
题号
9
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16．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________．
题号
9
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8
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[法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以即所以A．
＝＝(c，y0)，因为⊥，所以＝0，即＝0，解得＝4c2．
题号
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因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝．
题号
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16
法二：由法一得＝4c2，
所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线C的离心率e＝＝＝．
题号
9
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法三：由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|．设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过点F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝．]
谢 谢！课后作业(五十四) 双曲线
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共98分
一、单项选择题
1．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为( )
A．6 B．6 C．9 D．12
2．(人教A版选择性必修第一册P121探究改编)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为( )
A．＝1(x≠±3)
B．＝1(x≠±3)
C．＝1(x≠±3)
D．＝1(x≠±3)
3．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
4．(2024·福建莆田期末)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
5．(2025·天津西青区模拟)设P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan ∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
6．(2024·天津高考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、多项选择题
7．(2025·山东青岛模拟)已知双曲线τ：＝1，则( )
A．m的取值范围是(3，＋∞)
B．当m＝1时，τ的渐近线方程为y＝±x
C．τ的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)
D．τ可以是等轴双曲线
8．(2024·江苏南通二模)已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A．C的虚轴长为2
B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不等于－
三、填空题
9．(2025·四川成都锦江模拟)已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是________．
10．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
四、解答题
11．(2025·云南昆明模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点(－3，2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
12．(2025·陕西渭南模拟)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的一条渐近线方程为y＝x，过F1且与x轴垂直的直线与E交于A，B两点，且△ABF2的周长为16．
(1)求E的方程；
(2)过F2作直线l与E交于C，D两点，若＝3，求直线CD的斜率．
13．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝( )
A．－ B．－
C． D．－
14．如图，已知双曲线C：＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C分别在第一、二象限交于A，B两点，△ABF2内切圆半径为r，若|BF1|＝r＝a，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
15．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
16．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________．
课后作业(五十四)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．B [根据题意可得解得a＝b＝3，
∴该双曲线的虚轴长为2b＝6．
故选B．]
2．D [设点M(x，y)，则AM的斜率为，BM的斜率为，故＝(x≠±3)，
所以＝1(x≠±3)，故D正确．故选D．]
3．C [设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝＝2．
故选C．]
4．A [由题意，＝，则＝＝5，即b2＝4a2，
解得＝2, ∴C的渐近线方程为y＝±2x．故选A．]
5．B [如图，连接PF1，PF2，由题意可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a，
且m2＋n2＝4c2，tan ∠PF2F1＝＝3，
则m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，
即有c2＝a2，e＝＝．
故选B．]
6．C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为＝1．
故选C．]
7．BCD [双曲线τ：＝1，可得(3－m)(m＋6)>0，解得m∈(－6，3)，所以A不正确；
当m＝1时，τ的方程为＝1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以B正确；
c＝＝3，双曲线的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，所以C正确；
当3－m＝m＋6，即m＝－时，双曲线为等轴双曲线，所以D正确．故选BCD．]
8．AD [双曲线C：＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝，
对于A，C的虚轴长2b＝2，A正确；
对于B，C的离心率e＝＝，B错误；
对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为＝，即|PF|的最小值为，C错误；
对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确．故选AD．]
9． [由|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4，根据双曲线的定义可知P点轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， c＝2，2a＝3，a＝．
当P为双曲线的顶点时，|PA|有最小值2＋＝．]
10． [由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
11．解：(1)由题意可知双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据双曲线的定义有2a＝||
＝2，
∴a＝1，又c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)因为双曲线C的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±x，由消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0．
①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0，即k≠±时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±，
此时直线l与双曲线C相切于一点，符合题意．
综上所述，符合题意的实数k的所有取值为±，±．
12．解：(1)∵x＝－c时，y＝±，∴|AF1|＝|BF1|＝，∴|AF2|＝|BF2|＝＋2a，
∴ E：x2－＝1．
(2)由(1)知F2(2，0)，显然直线l的斜率存在，当l的斜率为0时，＝3 不成立；
当l的斜率不为0时，设l：x＝my＋2，C(x1，y1)，D(x2，y2)．
由 (3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
Δ＝36m2＋36>0，3m2－1≠0，m2≠，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝．
又∵＝3，
∴y1＝－3y2．
∴
∴得＝－，
∴m2＝，故直线CD的斜率为 或－．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．D [因为双曲线E的离心率为，所以c＝a，因为|AB|＝|AF1|，所以|BF2|＝|AB|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝|BF1|－2a＝2a，所以|BF1|＝4a＝2|BF2|，
在△BF1F2中，由余弦定理的推论得cos ∠BF2F1＝＝＝－，
在△AF1F2中，cos ∠F1F2A＝－cos ∠F1F2B＝，
设|AF2|＝m，则|AF1|＝m＋2a，
由|AF1|2＝|F1F2|2＋|AF2|2－2|F1F2||AF2|·cos ∠F1F2A得
(2a＋m)2＝(2a)2＋m2－2×2am×，
解得m＝a，所以|AF1|＝，
所以cos ∠BAF1＝
＝＝－．
故选D．]
14．D [设|AB|＝x，内切圆圆心为I，内切圆在BF2，AF2，AB上的切点分别为U，V，W，
则|BU|＝|BW|，|AV|＝|AW|，|F2U|＝|F2V|，
由|BF1|＝a及双曲线的定义可知，|BF2|＝3a，|AF2|＝x－a，|F2U|＝|F2V|＝(|BF2|＋|AF2|－|AB|)＝a＝r，
故四边形IUF2V是正方形，
得AF2⊥BF2，于是|BF2|2＋|AF2|2＝|AB|2，
故x2＝9a2＋(x－a)2，所以x＝5a，
于是cos∠F1BF2＝cos (π－∠ABF2)＝－，在△F1BF2中，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|·cos ∠F1BF2＝a2，
从而4c2＝a2，所以e＝＝．故选D．]
15．D [如图所示，根据对称性，不妨设M在左支上，
设右焦点为F2，连接MF2，NF2，
由对称性知四边形MF1NF2为平行四边形，
又|F1N|＝2|F1M|，∴|F2M|＝2|F1M|．
∵|F2M|－|F1M|＝2a，
∴|F1M|＝2a，|F2M|＝|F1N|＝4a，
又∠MF1N＝60°，∴∠F1MF2＝120°．
在△MF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|·cos 120°，∴4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×，
整理得c2＝7a2，∴a2＋b2＝7a2，∴＝，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x．故选D．]
16． [法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以即所以A．
＝＝(c，y0)，因为⊥，所以＝0，即＝0，解得＝4c2．
因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝．
法二：由法一得＝4c2，
所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线C的离心率e＝＝＝．
法三：由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|．设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过点F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝．]
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