第8课时 抛物线
[考试要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3．了解抛物线的简单应用．4．理解数形结合的思想．
1．抛物线的概念
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 ___________
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 坐标 F ___ ___ F
离心率 e＝1
准线方程 _______ x＝ y＝－ _____
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
[常用结论]
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，过点F且倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝(点A在x轴上方)，|BF|＝(点B在x轴下方)，特别地＝；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|．
2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p，0)的充要条件．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线． ( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． ( )
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－． ( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A． B．
C． D．0
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
考点一 抛物线的定义及应用
动点轨迹的判定
[典例1] (1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
(2)(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
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[拓展变式] 本例(2)的条件变为“动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M满足的方程为________．
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抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例2] (1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
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抛物线定义的应用规律
[跟进训练]
1．(1)(2025·云南大理模拟)已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．10
C．4 D．8
(2)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________．
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
[典例3] (1)(多选)过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．x2＝－y D．x2＝y
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
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1．求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
2．抛物线性质的应用要树立两个意识
(1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线．
(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
[跟进训练]
2．(1)(2025·广东佛山模拟)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(3)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
考点三 直线与抛物线的位置关系
[典例4] (1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．
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解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
[跟进训练]
3．(1)(2025·广东深圳模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是( )
A．10 B．9
C．8 D．5
(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|＞|OA|2
D．|BP|·|BQ|＞|BA|2
如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0), 过抛物线准线y＝－上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则在由点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论：
(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2p＝p(y0＋y)；
(2)直线AB过抛物线的焦点；
(3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；
(4)PF⊥AB；
(5)AP⊥PB；
(6)线段AB的中点为M，则PM平行(或重合)于抛物线的对称轴．
[典例1] (多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交抛物线的准线于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是( )
A．点P(，－2) B．PC⊥x轴
C．PA⊥PB D．PF⊥AB
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[典例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
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第8课时 抛物线
梳理·必备知识
1．相等 焦点 准线 2．O(0，0) F F x＝－ y＝
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)×
二、1．A [∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1．]
2．B [M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x0，y0)，则y0＋＝1，∴y0＝．]
3．B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]
4．y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y．]
考点一
考向1 典例1 (1)D (2)x2＝12y [(1)由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
轨迹方程为y2＝－8x．故选D．
(2)由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M半径为r，则点M到l＇：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．
]
拓展变式
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0) [动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，
当x≥0时，动点M到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则＝3，即p＝6，所以y2＝12x；
当x<0时，直线y＝0上的点满足条件．
综上所述，动点M的轨迹方程为：当x≥0时，y2＝12x；当x<0时，y＝0．]
考向2 典例2
(1)D
(2)42或22 [(1)如图所示，因为点M到直线x＝－3的距离|MR|＝5，所以点M到直线x＝－2的距离|MN|＝4．
又抛物线上点M到准线x＝－2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4．故选D．
(2)当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|．
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42．
当点M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58．
当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22．
]
跟进训练
1．(1)D (2)8
[(1)如图，
过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交⊙M于点Q．
由题意可得F(2，0)，C的准线方程为x＝－2，|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|．
因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2，
所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2，
当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值，最小值为8＋2＝10，所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8．故选D．
(2)过点A，B，P分别作抛物线准线y＝－3的垂线，垂足分别为C，D，Q(图略)，根据抛物线定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|PQ|＝8．]
考点二
典例3 (1)AC (2)x＝－ [(1)点(1，－2)满足y2＝4x，x2＝－y，
所以过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是y2＝4x，x2＝－y．故选AC．
(2)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－．
法二(射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．]
跟进训练
2．(1)C (2)B (3) [(1)抛物线及准线如图所示，过点A作AB垂直准线于点B，
过焦点F作FC垂直于AB于点C，由题意可知p＝2，∠AFx＝∠FAC＝，
根据抛物线的定义|AF|＝|AB|＝|AC|＋|CB|．
在Rt△AFC中，|AC|＝|AF|·cos ＝|AF|，
又|BC|＝p＝2，所以|AF|＝|AB|＝|AF|＋2，
解得|AF|＝4．故选C．
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，
∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝．∵AE∥FG，∴＝，即＝，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．故选B．
(3)法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4, 设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x，可得y＝±2，所以△POF的面积为|y|·|OF|＝×2×1＝．
法二(巧用结论)：设∠PFx＝θ，则|PF|＝＝＝4，∴cos θ＝，即θ＝60°．
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×＝2，
∴S△POF＝×|OF|×|y|＝×1×2＝．]
考点三
典例4 (1)AC (2)(－) [(1)由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，A正确．
不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，C正确．
由两点间距离公式可得|OM|＝，|ON|＝，又|MN|＝，D错误．故选AC．
(2)当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由＝＝2x2，两式相减得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1．由点M在抛物线内，得<2x0，即(－k)2<2，所以－综上，k的取值范围为(－)．]
跟进训练
3．(1)B (2)BCD [(1)由题知C的焦点F(1，0)，准线为x＝－1，如图，作AM垂直于准线，BN垂直于准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，∴x1x2＝＝1．
又∵|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1，
∴4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝2×2＋5＝9，
当且仅当4x1＝x2时取等号．故选B．
(2)将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误；
kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，
联立可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直线AB与C相切于点A，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得x2－kx＋1＝0，
所以
所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，
所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|＞2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正确．故选BCD．]
拓展视野3
典例1 BCD [由 消去y可得x2－8x－16＝0．
令A，B，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，
∵y＝，∴y′＝，kPA＝，
∴直线PA：y＝＝，直线PB：y＝，
联立
解得即P(4，－2)，A错误；
xC＝＝4，∴PC⊥x轴，B正确；
kPF＝＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，D正确； kPA·kPB＝＝－1，∴PA⊥PB，C正确．故选BCD．]
典例2 解：(1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b＞0，(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝＝4．
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为＝(x－x1)，即y＝，
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝，
联立则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5．
因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20 ．
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第八章
解析几何
第8课时 抛物线
[考试要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解抛物线的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
链接教材·夯基固本
1．抛物线的概念
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．
相等
焦点
准线
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 ___________
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 坐标 F _________ _________ F
离心率 e＝1
准线方程 ________ x＝ y＝－ ________
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
O(0，0)
F
F
x＝－
y＝
[常用结论]
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，过点F且倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝(点A在x轴上方)，|BF|＝(点B在x轴下方)，特别地＝ ；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|．
2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p，0)的充要条件．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线． ( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． ( )
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－． ( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( )
×
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A [∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1．]
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A． B．
C． D．0
√
B [M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x0，y0)，则y0＋＝1，
∴y0＝．]
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
√
B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_____________________．
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y．]
y2＝－8x或x2＝－y
考点一 抛物线的定义及应用
考向1 动点轨迹的判定
[典例1] (1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
(2)(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
典例精研·核心考点
√
x2＝12y
(1)D (2)x2＝12y [(1)由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－8x．故选D．
(2)由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M半径为r，则点M到l＇：y＝－3与点M
到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的
抛物线，故方程为x2＝12y．]
[拓展变式] 本例(2)的条件变为“动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M满足的方程为________________________．
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0) [动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，
当x≥0时，动点M到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则＝3，即p＝6，所以y2＝12x；
当x<0时，直线y＝0上的点满足条件．
综上所述，动点M的轨迹方程为：当x≥0时，y2＝12x；当x<0时，y＝0．]
【教用·备选题】
动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
√
D [设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1．又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1．根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D．]
考向2 抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例2] (1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于__________．
√
42或22
(1)D (2)42或22 [(1)如图所示，因为点M到直线x＝－3的距离|MR|＝5，所以点M到直线x＝－2的距离|MN|＝4．
又抛物线上点M到准线x＝－2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4．故选D．
(2)当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|．
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，
解得p＝42．
当点M(20，40)位于抛物线外时，
如图2，当点P，M，F三点共线
时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58．
当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22．]
名师点评 抛物线定义的应用规律
[跟进训练]
1．(1)(2025·云南大理模拟)已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．10
C．4 D．8
(2)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________．
√
8
(1)D (2)8 [(1)如图，过点P作PH垂直准线于
点H，连接PM交⊙M于点Q．
由题意可得F(2，0)，C的准线方程为x＝－2，
|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|．
因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2，
所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2，
当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值，最小值为8＋2＝10，所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8．
故选D．
(2)过点A，B，P分别作抛物线准线y＝－3的垂线，垂足分别为C，D，Q(图略)，根据抛物线定义，
得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|PQ|＝8．]
【教用·备选题】
1．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为( )
A．4 B．2
C．2 D．2
√
D [由x2＝4y，得p＝2，则|FN|＝|FM|＝2，
根据抛物线的定义知|MF|＝yM＋＝yM＋1＝2，
解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2，
所以△FMN的面积为×2×2＝2．故选D．]
2．(2025·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，则拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C． D．
√
B [拋物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，
设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，
点F到直线l1的距离为
d3＝＝2，
则d2＝d＋1＝|PF|＋1，
可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，
当且仅当点P在过点F的直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，所以动点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值是3．故选B．]
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
[典例3] (1)(多选)过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．x2＝－y D．x2＝y
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且
PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
√
√
x＝－
(1)AC (2)x＝－ [(1)点(1，－2)满足y2＝4x，x2＝－y，
所以过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是y2＝4x，x2＝－y．故选AC．
(2)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－．
法二(射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．]
名师点评 1．求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
2．抛物线性质的应用要树立两个意识
(1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线．
(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
[跟进训练]
2．(1)(2025·广东佛山模拟)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
√
(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的
直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|
＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(3)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
√
(1)C (2)B (3) [(1)抛物线及准线如图所示，过点A作AB垂直准线于点B，
过焦点F作FC垂直于AB于点C，由题意可知p＝2，∠AFx＝∠FAC＝，
根据抛物线的定义|AF|＝|AB|＝|AC|＋|CB|．
在Rt△AFC中，|AC|＝|AF|·cos ＝|AF|，
又|BC|＝p＝2，所以|AF|＝|AB|＝|AF|＋2，
解得|AF|＝4．故选C．
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准
线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝
a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，
故∠BCD＝30°，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，
∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝．∵AE∥FG，∴＝，即＝，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．故选B．
(3)法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4, 设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x，可得y＝±2，所以△POF的面积为|y|·|OF|＝×2×1＝．
法二(巧用结论)：设∠PFx＝θ，则|PF|＝＝＝4，
∴cos θ＝，即θ＝60°．
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×＝2，
∴S△POF＝×|OF|×|y|＝×1×2＝．]
【教用·备选题】
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为________．
y2＝8x
y2＝8x [如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，
由抛物线的定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，
则易知B为AD的中点．连接OB，
则OB为△DFA的中位线，
∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|，
∴点B在线段OF的垂直平分线上，
∴点B的横坐标为，
∴|FB|＝＝3，∴p＝4，
∴抛物线C的标准方程为y2＝8x．]
考点三 直线与抛物线的位置关系
[典例4] (1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝
－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2 B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是______________．
√
√
(－)
(1)AC (2)(－) [(1)由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，A正确．
不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1－2．由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，B错误．
l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，C正确．
由两点间距离公式可得|OM|＝，|ON|＝，又|MN|＝，D错误．故选AC．
(2)当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由＝＝2x2，两式相减得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1．由点M在抛物线内，得<2x0，即(－k)2<2，所以－综上，k的取值范围为(－)．]
名师点评 解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
[跟进训练]
3．(1)(2025·广东深圳模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是( )
A．10 B．9
C．8 D．5
√
(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则
( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|＞|OA|2
D．|BP|·|BQ|＞|BA|2
√
√
√
(1)B (2)BCD [(1)由题知C的焦点F(1，0)，准线为x＝－1，如图，作AM垂直于准线，BN垂直于准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋
k2＝0，∴x1x2＝＝1．
又∵|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1，
∴4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝2×2＋5＝9，
当且仅当4x1＝x2时取等号．故选B．
(2)将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误；
kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，
联立可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直线AB与C相切于点A，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得x2－kx＋1＝0，
所以
所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，
所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|＞2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正确．故选BCD．]
如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0), 过抛物线准线y＝－上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则在由点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论：
(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2p＝p(y0＋y)；
(2)直线AB过抛物线的焦点；
(3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；
(4)PF⊥AB；
(5)AP⊥PB；
(6)线段AB的中点为M，则PM平行(或重合)于抛物线的对称轴．
[典例1] (多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交抛物线的准线于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是( )
A．点P(，－2) B．PC⊥x轴
C．PA⊥PB D．PF⊥AB
√
√
√
BCD [由 消去y可得x2－8x－16＝0．
令A，B，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，
∵y＝，∴y′＝，kPA＝，
∴直线PA：y＝＝，直线PB：y＝，
联立
解得即P(4，－2)，A错误；
xC＝＝4，∴PC⊥x轴，B正确；
kPF＝＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，D正确； kPA·kPB＝＝－1，∴PA⊥PB，C正确．故选BCD．]
[典例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b＞0，(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4．
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为＝(x－x1)，即y＝，
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝，
联立则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5．
因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20 ．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、单项选择题
1．(2025·辽宁大连模拟)已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，则点F到抛物线C的准线的距离是( )
A． B．
C．1 D．2
课后作业(五十五) 抛物线(一)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C [由题意可知，抛物线C的标准方程为x2＝2y，则p＝1，
即点F到抛物线C的准线的距离是1．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
2．(2024·重庆期末)已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C [表示点P(x，y)到点(1，0)的距离；|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离．
因为＝|x＋1|，
所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，所以P的轨迹为抛物线．故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
3．(2024·江苏徐州一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到其焦点的距离的最小值为1，则p＝( )
A．1 B．
C．2 D．4
√
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
C [由y2＝2px(p>0)，得焦点F，
设抛物线上一点P(x，y)，则由抛物线的定义知，|PF|＝x＋，所以1＝，解得p＝2．
故选C．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于( )
A．30°或150° B．45°或135°
C．60°或120° D．与p值有关
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
C [如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，
直线l交准线于点C，作BM⊥AA′，垂足为M，
则＝＝，
又|FA|＝3|FB|，
所以＝2＝4，
所以∠ABM＝30°，即直线l的倾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120°，故选C．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
5．(2024·陕西西安三模)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点M(0，3)的直线与抛物线E相交于A，B两点，|AF|＝2，|BF|＝10，则p＝( )
A．1 B．2
C．4 D．22
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
B [由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得x2－2pkx－6p＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－6p，
则y1y2＝＝9．因为|AF|＝2，|BF|＝10，所以y1＝2－，y2＝10－，
则＝9，解得p＝2或p＝22．因为2－>0，所以p＝2．
故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
6．如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是( )
A．(6，10) B．(8，12)
C．[6，8] D．[8，12]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
B [抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心(2，0)，半径R＝4，
所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
联立消去y得x2＋4x－12＝0，解得x＝2(x＝－6舍去)，
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
即交点的横坐标为2，
所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，
所以△FAB的周长的取值范围是(8，12)．
故选B．]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
√
14
15
7．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝( )
A． B．
C． D．
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
C [如图，过点B作BD垂直准线x＝－2于点D，则由抛物线定义可知，|BF|＝|BD|＝3，
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
设直线AB的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨设m＞0，则y1＞0，y2＜0，
所以x2＋2＝3，解得x2＝1，
则＝8x2＝8，解得y2＝－2，则B(1，－2)，
所以－2m＋4＝1，解得m＝，
则直线AB的方程为x＝y＋4，
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
所以当x＝－2时，即y＋4＝－2，
解得yC＝－4，则C(－2，－4)，
联立消去x得y2－6y－32＝0，则y1y2＝－32，
所以y1＝8，其中＝＝＝＝．
故选C．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
8．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
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12
13
1
14
15
A [由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，故l1：y＝k(x－1), l2：y＝－(x－1)．
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋．
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
14
15
同理得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
√
14
15
二、多项选择题
9．(2025·江苏南京模拟)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，P为抛物线上一动点，当P运动到(t，2)时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．抛物线的准线方程为y＝－4
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．当直线l过焦点F时，以AB为直径的圆与准线相切
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
ACD [对于A，如图所示，过点P作准线y＝－的垂线，垂足为Q，
则由抛物线的定义可知，|PF|＝|PQ|＝2＋＝4，
解得p＝4，
∴抛物线C的方程为x2＝8y，故A正确；
对于B，抛物线的准线方程为y＝－＝－2，故B错误；
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
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12
13
1
14
15
对于C，如图所示，取AF的中点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，连接AD，DF．
易知抛物线的焦点F(0，2)，设A(x1，y1)，
则C，D，
∵kDF·kDA＝＝＝－1，
所以DF⊥DA，
所以以AF为直径的圆与x轴相切，故C正确；
题号
9
2
4
5
3
8
6
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13
1
14
15
对于D，当直线l过抛物线的焦点F且与抛物线相交于A，B两点时，直线l的斜率存在，
设l：y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M，则M，
如图所示，作MN垂直准线于点N，连接AN，
NB，则N，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
联立消去y并整理可得x2－8kx－16＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
所以＝4k，所以N(4k，－2)，
∴y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝8k2＋4，
y1y2＝＝(x1x2)2＝×(－16)2＝4，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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13
1
14
15
∵kNA·kNB＝
＝
＝＝＝－1，
∴NA⊥NB，
∴以AB为直径的圆与准线相切，故D正确．
故选ACD．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
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11
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13
1
14
15
10．(2025·福建漳州模拟)在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：
y2＝2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，
270°后所得三条曲线与C围成的区域(如图阴影区
域)，A，B为C与其中两条曲线的交点，若p＝1，
则( )
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
√
14
15
A．开口向上的抛物线的方程为y＝x2
B．|AB|＝4
C．直线x＋y＝t截第一象限花瓣的弦长的最大值为
D．阴影区域的面积大于4
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
ABD [由题意，开口向右的抛物线方程为y2＝2x，顶点在原点，焦点为F1，
将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2，则其方程为x2＝2y，即y＝x2，故A正确；
对于B，根据A项分析，由 可解得x＝0或x＝2，即xA＝2，代入可得yA＝2，
由图象对称性，可得A(2，2)，B(2，－2)，故|AB|＝4，故B正确；
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
对于C，如图，设直线x＋y＝t与第一象限花瓣分别交于点M，N，
由
解得由
解得
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
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12
13
1
14
15
即M(t＋1－－1)，N(－1，t＋1－)，
则|MN|＝＝|t＋2－2|，
由图知，直线x＋y＝t经过点A时，t取最大值4，经过点O时，t取最小值0，
即在第一象限部分满足0代入得|MN|＝＝|(u－2)2－1|(1题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
由函数y＝|(u－2)2－1|(1＜u≤3)的图象(图略)知，当u＝2时，|MN|取得最大值，为，故C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状、大小相同，故可以先求部分面积的近似值．
如图，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
在抛物线y＝x2(x≥0)上取一点P，使在点P处的切线与直线OA平行，
由y′＝x＝1可得切点坐标为P，lOA：x－y＝0，则点P到直线OA的距离为d＝＝，
于是S△OPA＝＝，由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中阴影部分的面积必大于8×＝4，故D正确．
故选ABD．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
11
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13
1
√
14
15
11．(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
ABD [A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，
由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
11
12
13
1
14
15
当P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
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13
1
14
15
D选项，法一：利用抛物线定义转化．
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时，P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点坐标为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF中垂线的方程为y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线与抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
法二：设点直接求解．
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的点P，D选项正确．
故选ABD．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
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1
14
15
三、填空题
12．(人教A版选择性必修第一册P139T8改编)如图为抛物线形拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m时，水面宽12 m，则水面上升1 m后，水面宽度为________m．
4
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
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1
14
15
4 [如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A(6，－3)代入x2＝my，解得m＝－12，所以x2＝－12y，将B(x0，－2)代入，解得x0＝2，故水面宽度为4 m．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
13．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||＝________．
3 [由题意可知，点F的坐标为，
又F为△ABC的重心，故＝，
即xA＋xB＋xC＝．又由抛物线的定义可知||＋||＋||＝xA＋xB＋xC＋＝＝3．]
3
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
14．已知点P在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝________．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
[如图所示，不妨设点P在第一象限，
联立
可得
即点P(1，)．
易知PH⊥y轴，则PH∥x轴，则∠xFP＝∠HPF＝60°，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
所以直线PF的倾斜角为60°，易知点F，
所以kPF＝＝，整理可得2＝(2－p)，且有2－p＞0，故0＜p＜2，
等式2＝(2－p)两边平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，
解得p＝(p＝6舍去)．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
四、解答题
15．(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，所以x1＋x2＝．
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
Δ＝144(t－1)2－4×9×4t2＞0，即t＜，
则x1＋x2＝－，
从而－＝，得t＝－．
所以l的方程为y＝x－．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
(2)由＝3得y1＝－3y2．
由得y2－2y＋2t＝0，Δ＝4－4×2t＞0，即t＜，
所以y1＋y2＝2．
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程得x1＝3，x2＝．
故|AB|＝．
真题感悟 明确考向
2
4
3
题号
1
1．(2025·湖北武汉模拟)已知曲线C上的点到点F(－1，0)的距离比到直线x＝3的距离小2，O为坐标原点．直线l过定点A(0，1)．
(1)直线l与曲线C仅有一个公共点，求直线l的方程；
(2)曲线C与直线l交于M，N两点，试分别判断直线OM，ON的斜率之和、斜率之积是否为定值？并说明理由．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
课后作业(五十六) 抛物线(二)
2
4
3
题号
1
解：(1)曲线C上的点到点F(－1，0)的距离比到直线x＝3的距离小2，
故曲线C上的点到点F(－1，0)的距离与到直线x＝1的距离相等，
故曲线C为以F(－1，0)为焦点，直线x＝1为准线的抛物线，
即有C：y2＝－4x，
过点A(0，1)的直线l与抛物线C仅有一个公共点，
当直线l与抛物线C的对称轴平行时，则有y＝1，
当直线l与抛物线C相切时，易知x＝0是其中一条直线，
2
4
3
题号
1
另一条直线与抛物线C上方相切，不妨设直线l的斜率为k，设为y＝kx＋1，
联立可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
则有Δ＝(2k＋4)2－4k2＝0，解得k＝－1，
故此时直线l的方程为y＝－x＋1，
综上，直线l的方程为y＝1或x＝0或y＝－x＋1．
2
4
3
题号
1
(2)若l与C交于M，N两点，分别设其坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，
由(1)可知直线l要与抛物线C有两个交点，则直线l的斜率存在且不为0，
不妨设直线l的斜率为k，则有y＝kx＋1，
联立直线l与抛物线C方程可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
2
4
3
题号
1
Δ＝(2k＋4)2－4k2＝16k＋16>0，即有k>－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝，
则有k1＝＝，k2＝＝，
则k1＋k2＝＝2k＋＝－4，故为定值；k1k2＝＝＝－4k，故不为定值．
综上，k1＋k2为定值－4，k1k2不为定值．
2
3
题号
1
4
2．[蝴蝶模型]抛物线Γ：y2＝2px(p>0)经过点M(1，－2)，焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线Γ交于点A，B，如图．
(1)求抛物线Γ的标准方程；
(2)当θ＝时，求弦AB的长；
(3)已知点P(2，0)，直线AP，BP分别与抛物线
Γ交于点C，D．证明：直线CD过定点．
2
3
题号
1
4
解：(1)抛物线y2＝2px经过点M(1，－2)，
所以(－2)2＝2p，所以p＝2，
所以抛物线Γ的标准方程为y2＝4x．
(2)由(1)知F(1，0)，当θ＝时，tan ＝，
所以l的方程为y＝(x－1)，
联立得3x2－10x＋3＝0，则x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．
2
3
题号
1
4
(3)证明：由(1)知F(1，0)，直线AB的斜率不为0，
当直线AB斜率不存在时，l：x＝1，B(1，－2)，P(2，0)，直线BP的方程为y＝2x－4，联立得xB＝1，xD＝4，同理xC＝4，所以直线CD：x＝4，过定点(4，0)．当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立 得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，
2
3
题号
1
4
因此y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
设直线AC的方程为x＝ny＋2，
联立 得y2－4ny－8＝0，
Δ＝16n2＋32>0，
因此y1＋y3＝4n，y1y3＝－8，得y3＝，
同理可得y4＝，
所以kCD＝＝＝＝＝－＝．
2
3
题号
1
4
因此直线CD的方程为x＝2m(y－y3)＋x3，
令y＝0得，x＝－2my3＋x3＝－2my3＝－2m
＝＝＝
＝＝4，
所以，直线CD过定点(4，0)．
2
3
题号
4
1
3．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
2
3
题号
4
1
解：(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4．
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＝＝＝0，∴x1＋x2＝
－8，
∴kBC＝＝＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2．
2
3
题号
4
1
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝＝＝＝，
∴x0＝1．
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b＞，即b＞．
2
3
题号
4
1
由得x2＋8x－4b＝0，
Δ＝64＋16b＞0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b．
∴|BC|＝|x1－x2|＝
＝．
又b＞，∴|BC|＞10．
∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．
2
4
3
题号
1
4．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
2
4
3
题号
1
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
(2)由y＝，得y′＝．
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
2
4
3
题号
1
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．
从而|AB|＝|x1－x2|＝4．
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．
谢 谢！课后作业(五十五) 抛物线(一)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共86分
一、单项选择题
1．(2025·辽宁大连模拟)已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，则点F到抛物线C的准线的距离是( )
A． B．
C．1 D．2
2．(2024·重庆期末)已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
3．(2024·江苏徐州一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到其焦点的距离的最小值为1，则p＝( )
A．1 B．
C．2 D．4
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于( )
A．30°或150° B．45°或135°
C．60°或120° D．与p值有关
5．(2024·陕西西安三模)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点M(0，3)的直线与抛物线E相交于A，B两点，|AF|＝2，|BF|＝10，则p＝( )
A．1 B．2
C．4 D．22
6．如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是( )
A．(6，10) B．(8，12)
C．[6，8] D．[8，12]
7．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝( )
A． B．
C． D．
8．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
二、多项选择题
9．(2025·江苏南京模拟)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，P为抛物线上一动点，当P运动到(t，2)时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．抛物线的准线方程为y＝－4
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．当直线l过焦点F时，以AB为直径的圆与准线相切
10．(2025·福建漳州模拟)在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的区域(如图阴影区域)，A，B为C与其中两条曲线的交点，若p＝1，则( )
A．开口向上的抛物线的方程为y＝x2
B．|AB|＝4
C．直线x＋y＝t截第一象限花瓣的弦长的最大值为
D．阴影区域的面积大于4
11．(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
三、填空题
12．(人教A版选择性必修第一册P139T8改编)如图为抛物线形拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m时，水面宽12 m，则水面上升1 m后，水面宽度为________m．
13．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||＝________．
14．已知点P在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝________．
四、解答题
15．(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|．
课后作业(五十五)
1．C [由题意可知，抛物线C的标准方程为x2＝2y，则p＝1，
即点F到抛物线C的准线的距离是1．
故选C．]
2．C [表示点P(x，y)到点(1，0)的距离；|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离．
因为＝|x＋1|，
所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，所以P的轨迹为抛物线．故选C．]
3．C [由y2＝2px(p>0)，得焦点F，
设抛物线上一点P(x，y)，则由抛物线的定义知，|PF|＝x＋，所以1＝，解得p＝2．
故选C．]
4．C [如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，直线l交准线于点C，作BM⊥AA′，垂足为M，
则＝＝，
又|FA|＝3|FB|，
所以＝2＝4，
所以∠ABM＝30°，即直线l的倾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120°，故选C．]
5．B [由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得x2－2pkx－6p＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－6p，
则y1y2＝＝9．因为|AF|＝2，|BF|＝10，所以y1＝2－，y2＝10－，
则＝9，解得p＝2或p＝22．因为2－>0，所以p＝2．
故选B．]
6．B [抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心(2，0)，半径R＝4，
所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
联立消去y得x2＋4x－12＝0，解得x＝2(x＝－6舍去)，
即交点的横坐标为2，
所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，
所以△FAB的周长的取值范围是(8，12)．
故选B．]
7．C [如图，过点B作BD垂直准线x＝－2于点D，则由抛物线定义可知，|BF|＝|BD|＝3，
设直线AB的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨设m＞0，则y1＞0，y2＜0，
所以x2＋2＝3，解得x2＝1，
则＝8x2＝8，解得y2＝－2，则B(1，－2)，
所以－2m＋4＝1，解得m＝，
则直线AB的方程为x＝y＋4，
所以当x＝－2时，即y＋4＝－2，
解得yC＝－4，则C(－2，－4)，
联立消去x得y2－6y－32＝0，则y1y2＝－32，
所以y1＝8，其中＝＝＝＝．
故选C．]
8．A [由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，故l1：y＝k(x－1), l2：y＝－(x－1)．
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋．
同理得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16．]
9．ACD [对于A，如图所示，过点P作准线y＝－的垂线，垂足为Q，
则由抛物线的定义可知，|PF|＝|PQ|＝2＋＝4，
解得p＝4，
∴抛物线C的方程为x2＝8y，故A正确；
对于B，抛物线的准线方程为y＝－＝－2，故B错误；
对于C，如图所示，取AF的中点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，连接AD，DF．
易知抛物线的焦点F(0，2)，设A(x1，y1)，
则C，D，
∵kDF·kDA＝＝＝－1，
所以DF⊥DA，
所以以AF为直径的圆与x轴相切，故C正确；
对于D，当直线l过抛物线的焦点F且与抛物线相交于A，B两点时，直线l的斜率存在，
设l：y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M，则M，
如图所示，作MN垂直准线于点N，连接AN，NB，则N，
联立消去y并整理可得x2－8kx－16＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
所以＝4k，所以N(4k，－2)，
∴y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝8k2＋4，
y1y2＝＝(x1x2)2＝×(－16)2＝4，
∵kNA·kNB＝
＝
＝＝＝－1，
∴NA⊥NB，
∴以AB为直径的圆与准线相切，故D正确．
故选ACD．]
10．ABD [由题意，开口向右的抛物线方程为y2＝2x，顶点在原点，焦点为F1，
将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2，则其方程为x2＝2y，即y＝x2，故A正确；
对于B，根据A项分析，由 可解得x＝0或x＝2，即xA＝2，代入可得yA＝2，
由图象对称性，可得A(2，2)，B(2，－2)，故|AB|＝4，故B正确；
对于C，如图，设直线x＋y＝t与第一象限花瓣分别交于点M，N，
由
解得由
解得
即M(t＋1－－1)，N(－1，t＋1－)，
则|MN|＝＝|t＋2－2|，
由图知，直线x＋y＝t经过点A时，t取最大值4，经过点O时，t取最小值0，
即在第一象限部分满足0代入得|MN|＝＝|(u－2)2－1|(1由函数y＝|(u－2)2－1|(1＜u≤3)的图象(图略)知，当u＝2时，|MN|取得最大值，为，故C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状、大小相同，故可以先求部分面积的近似值．
如图，
在抛物线y＝x2(x≥0)上取一点P，使在点P处的切线与直线OA平行，
由y′＝x＝1可得切点坐标为P，lOA：x－y＝0，则点P到直线OA的距离为d＝＝，
于是S△OPA＝＝，由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中阴影部分的面积必大于8×＝4，故D正确．
故选ABD．]
11．ABD [A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，
由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：利用抛物线定义转化．
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时，P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点坐标为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF中垂线的方程为y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线与抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解．
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的点P，D选项正确．
故选ABD．]
12．4 [如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A(6，－3)代入x2＝my，解得m＝－12，所以x2＝－12y，将B(x0，－2)代入，解得x0＝2，故水面宽度为4 m．]
13．3 [由题意可知，点F的坐标为，
又F为△ABC的重心，故＝，
即xA＋xB＋xC＝．又由抛物线的定义可知||＋||＋||＝xA＋xB＋xC＋＝＝3．]
14． [如图所示，不妨设点P在第一象限，
联立
可得
即点P(1，)．
易知PH⊥y轴，则PH∥x轴，则∠xFP＝∠HPF＝60°，
所以直线PF的倾斜角为60°，易知点F，
所以kPF＝＝，整理可得2＝(2－p)，且有2－p＞0，故0＜p＜2，
等式2＝(2－p)两边平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，
解得p＝(p＝6舍去)．]
15．解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，所以x1＋x2＝．
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
Δ＝144(t－1)2－4×9×4t2＞0，即t＜，
则x1＋x2＝－，
从而－＝，得t＝－．
所以l的方程为y＝x－．
(2)由＝3得y1＝－3y2．
由得y2－2y＋2t＝0，Δ＝4－4×2t＞0，即t＜，
所以y1＋y2＝2．
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程得x1＝3，x2＝．
故|AB|＝．
1 / 4课后作业(五十六) 抛物线(二)
1．(2025·湖北武汉模拟)已知曲线C上的点到点F(－1，0)的距离比到直线x＝3的距离小2，O为坐标原点．直线l过定点A(0，1)．
(1)直线l与曲线C仅有一个公共点，求直线l的方程；
(2)曲线C与直线l交于M，N两点，试分别判断直线OM，ON的斜率之和、斜率之积是否为定值？并说明理由．
2．[蝴蝶模型]抛物线Γ：y2＝2px(p>0)经过点M(1，－2)，焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线Γ交于点A，B，如图．
(1)求抛物线Γ的标准方程；
(2)当θ＝时，求弦AB的长；
(3)已知点P(2，0)，直线AP，BP分别与抛物线Γ交于点C，D．证明：直线CD过定点．
3．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
4．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
课后作业(五十六)
1．解：(1)曲线C上的点到点F(－1，0)的距离比到直线x＝3的距离小2，
故曲线C上的点到点F(－1，0)的距离与到直线x＝1的距离相等，
故曲线C为以F(－1，0)为焦点，直线x＝1为准线的抛物线，
即有C：y2＝－4x，
过点A(0，1)的直线l与抛物线C仅有一个公共点，
当直线l与抛物线C的对称轴平行时，则有y＝1，
当直线l与抛物线C相切时，易知x＝0是其中一条直线，
另一条直线与抛物线C上方相切，不妨设直线l的斜率为k，设为y＝kx＋1，
联立可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
则有Δ＝(2k＋4)2－4k2＝0，解得k＝－1，
故此时直线l的方程为y＝－x＋1，
综上，直线l的方程为y＝1或x＝0或y＝－x＋1．
(2)若l与C交于M，N两点，分别设其坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，
由(1)可知直线l要与抛物线C有两个交点，则直线l的斜率存在且不为0，
不妨设直线l的斜率为k，则有y＝kx＋1，
联立直线l与抛物线C方程可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
Δ＝(2k＋4)2－4k2＝16k＋16>0，即有k>－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝，
则有k1＝＝，k2＝＝，
则k1＋k2＝＝2k＋＝－4，故为定值；k1k2＝
＝＝－4k，故不为定值．
综上，k1＋k2为定值－4，k1k2不为定值．
2．解：(1)抛物线y2＝2px经过点M(1，－2)，
所以(－2)2＝2p，所以p＝2，
所以抛物线Γ的标准方程为y2＝4x．
(2)由(1)知F(1，0)，当θ＝时，tan ＝，
所以l的方程为y＝(x－1)，
联立得3x2－10x＋3＝0，则x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．
(3)证明：由(1)知F(1，0)，直线AB的斜率不为0，
当直线AB斜率不存在时，l：x＝1，B(1，－2)，P(2，0)，直线BP的方程为y＝2x－4，联立得xB＝1，xD＝4，同理xC＝4，所以直线CD：x＝4，过定点(4，0)．当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立 得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，
因此y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
设直线AC的方程为x＝ny＋2，
联立 得y2－4ny－8＝0，
Δ＝16n2＋32>0，
因此y1＋y3＝4n，y1y3＝－8，得y3＝，
同理可得y4＝，
所以kCD＝＝＝＝＝－＝．
因此直线CD的方程为x＝2m(y－y3)＋x3，
令y＝0得，x＝－2my3＋x3＝
＝－2m
＝＝＝
＝＝4，
所以，直线CD过定点(4，0)．
3．解：(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4．
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＝＝＝0，∴x1＋x2＝－8，
∴kBC＝＝＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2．
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝＝＝＝，
∴x0＝1．
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b＞，即b＞．
由得x2＋8x－4b＝0，
Δ＝64＋16b＞0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b．
∴|BC|＝|x1－x2|
＝
＝．
又b＞，∴|BC|＞10．
∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．
4．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
(2)由y＝，得y′＝．
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．
从而|AB|＝|x1－x2|＝4．
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．
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