圆锥曲线中的范围、最值问题
【思维突破妙招】 圆锥曲线中的范围、最值问题是高考的重难点之一，主要有两种求解策略：
(1)几何法：即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
(2)代数法：即把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
技法一 利用函数性质求范围、最值
[典例1] 已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
[思维流程]
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用函数性质处理圆锥曲线中的最值(范围)问题的策略
函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数，将问题转化为求函数的最值(或值域)，解决问题时要注意自变量的取值范围．
[跟进训练]
1．(2025·湖南永州模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的短轴长为2，右焦点为F(1，0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知过点F的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过点F且与l1垂直的直线l2与抛物线y2＝4x交于C，D两点，求四边形ACBD的面积S的取值范围．
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技法二 利用不等式求最值(范围)
[典例2] (2025·广东揭阳模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点N(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求S△AOB的最大值．
[思维流程]
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
构造基本不等式求最值的步骤
[跟进训练]
2．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e＝，长轴长为4，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点(非长轴端点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点Q(0，2)，求线段MQ长度的取值范围；
(3)延长MO交椭圆C于点P，求△PMN面积的最大值．
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技法三 几何法求最值(范围)
[典例3] (2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
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几何法求最值，主要是利用曲线的定义、几何性质、几何关系以及平面几何中的定理、性质等进行求解或寻找临界位置求解．
[跟进训练]
3．设椭圆＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A．已知|OA|－|OF|＝1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程及离心率e的值；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H．若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
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技法四 巧借不等关系求范围(最值)
[典例4] 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|＝2，点O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴交于点B，设直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
[思维流程]
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
不等式求范围的三种常用方法
[跟进训练]
4．设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点P，Q，若坐标原点O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围．
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思维进阶课6 圆锥曲线中的范围、最值问题
技法一
典例1 解：(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，联立消去x得y2－2py＋2p＝0，即Δ1＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)．
∴抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去x得y2－4ty－4＝0，
∵Δ2＞0，
∴由根与系数的关系得y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1，2t)．
设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，
则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为．
跟进训练
1．解：(1)依题意可得，椭圆右焦点F(1，0)，且2b＝2，即b＝．
又因为a2－b2＝1，所以a＝2，
故椭圆E的标准方程为＝1．
(2)显然直线l2的斜率不为0，设直线l2的方程为x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．
联立消去x整理得y2－4my－4＝0，Δ>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
所以|CD|＝＝4(m2＋1)．
由垂直关系可设直线l1的方程为y＝－mx＋m，
A(x3，y3)，B(x4，y4)，
联立消去y整理得(3＋4m2)x2－8m2x＋4(m2－3)＝0，Δ′>0，则根据根与系数的关系得x3＋x4＝，x3x4＝，
所以|AB|＝＝，
所以S四边形ACBD＝|CD|·|AB|＝×4(m2＋1)×＝，
令4m2＋3＝t(t≥3)，则S四边形ACBD＝＝，
因为y＝t＋＋2在[3，＋∞)上单调递增，
所以S四边形ACBD≥＝8，
所以四边形ACBD的面积S的取值范围为[8，＋∞)．
技法二
典例2 解：(1)由椭圆C的离心率为，可得＝＝，可得a2＝3b2，
设椭圆C：＝1，将点代入方程，可得b2＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1．
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
设lAB：x＝ny＋2且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程消去x并整理得(3n2＋1)y2＋12ny＋9＝0，
由Δ＞0，可得n2－1＞0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝，
又由原点到lAB的距离d＝，
|AB|＝|y1－y2|，
所以S△AOB＝|y1－y2|＝|y1－y2|＝
＝＝，
令t＝n2－1，t＞0，可得
S△AOB＝＝，
当且仅当t＝，即n2＝时，面积取到最大值．
跟进训练
2．解：(1)∵长轴长为4，∴2a＝4，a＝2．
又∵离心率e＝， ∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝1．
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，则＝1，y1∈[－1，0)∪(0，1]，
∴|MQ|＝＝＝．
∴|MQ|的取值范围是[1，2 ．
(3)由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x得(4＋m2)y2＋2my－1＝0．
∵Δ>0，y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|MN|＝
＝．
∵原点O到直线MN的距离d＝，
∴P到直线MN的距离为2d＝，
∴S△MNP＝|MN|·2d＝．
令＝t，t≥1，
则S△MNP＝＝＝2，
当且仅当t＝时取等号，此时△PMN的面积的最大值是2．
技法三
典例3 解：(1)因为椭圆C的左顶点A(－a，0)，则直线AM的斜率为＝，①
点M在椭圆C上，则＝1，②
联立①②，解得a＝4，b2＝12，
故椭圆C的方程为＝1．
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m(m≠－4)，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．
联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程＝1，
可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16×(3m2－48)＝0，
即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离较远的直线方程为x－2y＝8，
又直线AM的方程为x－2y＝－4，
所以点N到直线AM的距离即两平行直线之间的距离，
所以点N到直线AM的距离d＝＝，由两点间的距离公式可得|AM|＝＝3．
所以△AMN的面积的最大值为×3＝18．
跟进训练
3．解：(1)由题意可知|OF|＝c＝，又|OA|－|OF|＝1，所以a－＝1，解得a＝2，所以椭圆的方程为＝1，离心率e＝＝．
(2)设M(xM，yM)，易知A(2，0)，在△MAO中，∠MOA≤∠MAO |MA|≤|MO|，
即，化简得xM≥1．设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，联立消去y整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝．
由题意得xB＝，从而yB＝．
由(1)知F(1，0)，设H(0，yH)，则＝(－1，yH)，＝．
由BF⊥HF，得＝0，即＝0，解得yH＝，
所以直线MH的方程为y＝－x＋．
由消去y得xM＝．
由xM≥1，得≥1，解得k≤－或k≥，
所以直线l的斜率的取值范围为．
技法四
典例4 解：(1)∵F(－c，0)，A(a，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，以PF为直径的圆过点A，∴PA⊥AF．不妨取点P在y＝x上，设点P＝＝(a＋c，0)，
∵PA⊥AF，则＝(t－a)(a＋c)＝0，可得t＝a，则点P(a，b)，
∵|PO|＝2，则a2＋b2＝4，∵a＝1，∴b2＝3，
∴双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)由题意可知B(0，)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点Q(x0，y0)，联立
消去y得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意
即①
由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，
∴kBQ＝＝＝－，
∴3－k2＝m，②
又k2＝3－m＞0，③
由①②③得，m＜－或0＜m＜．
∴实数m的取值范围为．
跟进训练
4．解：显然直线x＝0不满足题设条件，故可设直线l的方程为y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
∴Δ＝(16k)2－4×12×(1＋4k2)>0，
∴k∈，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
根据题意，得0°<∠POQ<90°，即>0，
∴＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k·＋4＝>0，解得－2∴k的取值范围为．
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第八章 解析几何
思维进阶课6 圆锥曲线中的范围、最值问题
【思维突破妙招】 圆锥曲线中的范围、最值问题是高考的重难点之一，主要有两种求解策略：
(1)几何法：即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
(2)代数法：即把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
技法一 利用函数性质求范围、最值
[典例1] 已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
[思维流程]
解：(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，联立消去x得y2－2py＋2p＝0，即Δ1＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)．
∴抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去x得y2－4ty－4＝0，
∵Δ2＞0，
∴由根与系数的关系得y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1，2t)．
设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，
则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为．
名师点评 利用函数性质处理圆锥曲线中的最值(范围)问题的策略
函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数，将问题转化为求函数的最值(或值域)，解决问题时要注意自变量的取值范围．
[跟进训练]
1．(2025·湖南永州模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的短轴长为2，右焦点为F(1，0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知过点F的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过点F且与l1垂直的直线l2与抛物线y2＝4x交于C，D两点，求四边形ACBD的面积S的取值范围．
解：(1)依题意可得，椭圆右焦点F(1，0)，且2b＝2，即b＝．
又因为a2－b2＝1，所以a＝2，
故椭圆E的标准方程为＝1．
(2)显然直线l2的斜率不为0，设直线l2的
方程为x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．
联立消去x整理得y2－4my－4＝0，Δ>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
所以|CD|＝＝4(m2＋1)．
由垂直关系可设直线l1的方程为y＝－mx＋m，
A(x3，y3)，B(x4，y4)，
联立消去y整理得(3＋4m2)x2－8m2x＋4(m2－3)＝0，Δ′>0，则根据根与系数的关系得x3＋x4＝，x3x4＝，
所以|AB|＝＝，
所以S四边形ACBD＝|CD|·|AB|＝×4(m2＋1)×＝，
令4m2＋3＝t(t≥3)，则S四边形ACBD＝＝，
因为y＝t＋＋2在[3，＋∞)上单调递增，
所以S四边形ACBD≥＝8，
所以四边形ACBD的面积S的取值范围为[8，＋∞)．
【教用·备选题】
1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点．
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．
解：(1)由题意，得椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2b2，所以椭圆E的标准方程为＝1．
因为椭圆E经过点，所以＝1，解得b2＝1，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1．
(2)因为点(－2，0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在且不为0．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．
Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，解得0＜k2＜，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝2．
因为点F2(1，0)到直线l的距离d＝，
所以△F2MN的面积为S＝|MN|·d＝3．
令1＋2k2＝t，t∈(1，2)，得k2＝．
所以S＝3＝3＝3
＝3，
当＝，即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±．所以△F2MN的面积的最大值是．
2．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
解：(1)由题意可得
解得p＝2．
故抛物线E的方程为y2＝4x．
(2)由题意知，直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0，
联立消去x得y2－4ty－4＝0，Δ＞0，
所以由根与系数的关系得y1＋y2＝4t，y1y2＝－4．
由AC垂直于直线l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，
联立消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0．Δ＞0，
所以由根与系数的关系得y1＋y3＝－，y1y3＝．
所以|AC|＝
＝＝
＝·|ty1＋2|＝·(ty1＋2)．
同理可得|BD|＝·(ty2＋2)，
所以|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]＝(t2＋1)＝8，
令f (x)＝，x>0，则f ′(x)＝，x>0，
所以当x∈(0，2)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，
f ′(x)>0，f (x)单调递增．
所以当x＝2时，f (x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12．
3．(2024·湖南长沙模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，点F到椭圆C上的点的距离的最小值是1，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(4，0)，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交椭圆C于另一点E，求△AEF的内切圆半径的取值范围．
解：(1)依题意解得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)因为AE不与坐标轴垂直，可设直线AE的方程为x＝my＋t(m≠0)，
设点A(x1，y1)(y1≠0)，E(x2，y2)，则B(x1，－y1)，
联立得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，则Δ＝48(3m2－t2＋4)＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，
因为点P，B，E三点共线且斜率一定存在，所以＝，所以x1y2＋x2y1＝4(y1＋y2)，
将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入，化简可得＝，
故＝，解得t＝1，满足Δ＝48(3m2＋3)＞0，
所以直线AE过定点Q(1，0)，且Q为椭圆的右焦点，
设所求内切圆的半径为r，因为S△AEF＝·4a·r＝4r，所以r＝＝＝＝＝，
令u＝(u＞1)，则m2＝u2－1，
所以r＝＝，
因为u＞1，函数y＝3u＋在区间(1，＋∞)上单调递增，所以3u＋＞4，则0＜r＜．
所以△AEF内切圆半径的取值范围为．
技法二 利用不等式求最值(范围)
[典例2] (2025·广东揭阳模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点N(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求S△AOB的最大值．
[思维流程]
解：(1)由椭圆C的离心率为，可得＝＝，可得a2＝3b2，
设椭圆C：＝1，将点代入方程，可得b2＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1．
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
设lAB：x＝ny＋2且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程消去x并整理得(3n2＋1)y2＋12ny＋9＝0，
由Δ＞0，可得n2－1＞0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝，
又由原点到lAB的距离d＝，
|AB|＝|y1－y2|，
所以S△AOB＝|y1－y2|＝|y1－y2|＝
＝＝，
令t＝n2－1，t＞0，可得
S△AOB＝＝，
当且仅当t＝，即n2＝时，面积取到最大值．
名师点评 构造基本不等式求最值的步骤
[跟进训练]
2．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e＝，长轴长为4，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点(非长轴端点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点Q(0，2)，求线段MQ长度的取值范围；
(3)延长MO交椭圆C于点P，求△PMN面积的最大值．
解：(1)∵长轴长为4，∴2a＝4，a＝2．
又∵离心率e＝， ∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝1．
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，则＝1，y1∈[－1，0)∪(0，1]，
∴|MQ|＝＝
＝．
∴|MQ|的取值范围是[1，2 ．
(3)由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x得(4＋m2)y2＋2my－1＝0．
∵Δ>0，y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|MN|＝
＝．
∵原点O到直线MN的距离d＝，
∴P到直线MN的距离为2d＝，
∴S△MNP＝|MN|·2d＝．
令＝t，t≥1，
则S△MNP＝＝＝2，
当且仅当t＝时取等号，此时△PMN的面积的最大值是2．
【教用·备选题】
双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形．
(1)求双曲线C的方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．
解：(1)依题意，∠BAD＝90°，c＝2，
由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2，
解得a＝1(a＝－2舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)显然直线MN的斜率不为0，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立消去x整理得
(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
即
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知A(－1，0)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，①
由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，②
将①代入②中可得
3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2·(3m2－1)＝0，
化简可得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1，当n＝－1时，y1y2＝＝0，与题中条件k1k2＝－2不符，舍去．
则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝，
又M，N都在双曲线的右支上，故有3m2－1＜0，0≤m2＜，
此时1≤＜，d＝∈(3，6]，
所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6]．
技法三 几何法求最值(范围)
[典例3] (2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
解：(1)因为椭圆C的左顶点A(－a，0)，则直线AM的斜率为＝，①
点M在椭圆C上，则＝1，②
联立①②，解得a＝4，b2＝12，
故椭圆C的方程为＝1．
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m(m≠－4)，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．
联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程＝1，
可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16×(3m2－48)＝0，
即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离较远的直线方程为x－2y＝8，
又直线AM的方程为x－2y＝－4，
所以点N到直线AM的距离即两平行直线之间的距离，
所以点N到直线AM的距离d＝＝，由两点间的距离公式可得|AM|＝＝3．
所以△AMN的面积的最大值为×3＝18．
名师点评 几何法求最值，主要是利用曲线的定义、几何性质、几何关系以及平面几何中的定理、性质等进行求解或寻找临界位置求解．
[跟进训练]
3．设椭圆＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A．已知|OA|－|OF|＝1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程及离心率e的值；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H．若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)由题意可知|OF|＝c＝，又|OA|－|OF|＝1，所以a－＝1，解得a＝2，所以椭圆的方程为＝1，离心率e＝＝．
(2)设M(xM，yM)，易知A(2，0)，在△MAO中，∠MOA≤∠MAO |MA|≤|MO|，
即，化简得xM≥1．设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，联立消去y整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝．
由题意得xB＝，从而yB＝．
由(1)知F(1，0)，设H(0，yH)，则＝(－1，yH)，＝．
由BF⊥HF，得＝0，即＝0，解得yH＝，
所以直线MH的方程为y＝－x＋．
由消去y得xM＝．
由xM≥1，得≥1，解得k≤－或k≥，
所以直线l的斜率的取值范围为．
技法四 巧借不等关系求范围(最值)
[典例4] 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|＝2，点O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴交于点B，设直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
[思维流程]
解：(1)∵F(－c，0)，A(a，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，以PF为直径的圆过点A，∴PA⊥AF．不妨取点P在y＝x上，设点P＝＝(a＋c，0)，
∵PA⊥AF，则＝(t－a)(a＋c)＝0，可得t＝a，则点P(a，b)，
∵|PO|＝2，则a2＋b2＝4，∵a＝1，∴b2＝3，
∴双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)由题意可知B(0，)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点Q(x0，y0)，联立
消去y得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意
即①
由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，
∴kBQ＝＝＝－，
∴3－k2＝m，②
又k2＝3－m＞0，③
由①②③得，m＜－或0＜m＜．
∴实数m的取值范围为．
名师点评 不等式求范围的三种常用方法
[跟进训练]
4．设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点P，Q，若坐标原点O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围．
解：显然直线x＝0不满足题设条件，故可设直线l的方程为y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
∴Δ＝(16k)2－4×12×(1＋4k2)>0，
∴k∈，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
根据题意，得0°<∠POQ<90°，即>0，
∴＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k·＋4＝>0，解得－2∴k的取值范围为．
【教用·备选题】
1．椭圆C1：＝1(a＞b＞0)经过点E(1，1)且离心率为，直线l与椭圆C1交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)若过原点的直线m与椭圆C1交于C，D
两点，且＝t()，求四边形
ACBD面积的最大值．
解：(1)因为椭圆C1：＝1(a＞b＞0)经过点E(1，1)，所以＝1，
又椭圆的离心率为，则a2＝2c2，即a2＝2b2，
则＝1，解得a2＝3，b2＝，
所以椭圆C1的方程为＝1．
(2)当直线AB的斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为(t，0)，则(x－t)2＋y2＝t2，
不妨取A(t，t)，故＝1，解得t＝±1．
故AB的方程为x＝±1，
直线CD过AB中点，即为x轴，
得|AB|＝2，|CD|＝2，
故S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝2．
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y可得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－3＝0，
则Δ＝4(6k2－2m2＋3)＞0，①
x1＋x2＝－，②
x1x2＝，③
以AB为直径的圆过原点，即
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
化简可得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
将②③两式代入，整理得
(k2＋1)(2m2－3)＋km(－4km)＋m2(2k2＋1)＝0，即m2＝k2＋1，④
将④式代入①式，得Δ＝4(4k2＋1)＞0恒成立，则k∈R．
设线段AB的中点为M，由＝t()＝2t，不妨设t＞0，得S四边形ACBD＝2S四边形OACB＝4tS△OAB，又因为S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|，所以S四边形ACBD＝4t|m|，
又由＝t()，则C点坐标为
(t(x1＋x2)，t(y1＋y2))，
化简得
代入椭圆方程可得＝3，
即t＝，
则S四边形ACBD＝4tS△OAB＝4|m|·＝＝＜2，
综上，四边形ACBD面积的最大值为2．
2．(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝
＝＝4，
解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)． (*)
①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称．
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1．
不妨设直线MF的斜率为1，则直线MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝
＝＋2＋1．
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2)．
题号
1
3
2
4
进阶特训(六) 圆锥曲线中的范围、最值问题
1．(2024·江南十校联考)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点到右顶点的距离为，点M在C上，且点M到右焦点距离的最大值为3，过点P(0，2)且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．
题号
1
3
2
4
解：(1)由题意得，解得a2＝4，b2＝3，故C的方程为＝1．
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0．
题号
1
3
2
4
由Δ>0得k2>，且x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|
＝，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝，
题号
1
3
2
4
令t＝>0，故4k2＝＋1，故S△AOB＝＝，
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，
故△AOB面积的最大值为．
题号
1
3
2
4
2．(2025·天津南开模拟)椭圆E：＝1(a>b>0)经过点，且其左焦点坐标为(－1，0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形ABCD的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，求|AC|＋|BD|的最小值．
题号
1
3
2
4
解：(1)因为椭圆E的左焦点坐标为(－1，0)，
所以右焦点坐标为(1，0)，c＝1．
又椭圆E经过点，
所以2a＝＝4，b＝＝．
所以椭圆E的方程为＝1．
题号
1
3
2
4
(2)①当直线AC，BD中有一条直线的斜率不存在时，|AC|＋|BD|＝7．
②当直线AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
由得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
|AC|＝＝．
题号
1
3
2
4
设直线BD的方程为x＝－y＋1，
同理得|BD|＝，
所以|AC|＋|BD|＝，
令m＝t2＋1，则m>1，
则|AC|＋|BD|＝＝＝，
所以m＝2时，|AC|＋|BD|有最小值．
综上，|AC|＋|BD|的最小值是．
题号
1
3
2
4
3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上．
(1)P是C上一动点，求的范围；
(2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值．
题号
1
3
2
4
解：(1)由题意知c＝，所以a2＝b2＋3．
将点Q代入＝1，解得b＝1，所以a＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－2．
又因为x∈，所以的范围是 ．
题号
1
3
2
4
(2)依题意可设直线l的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立 得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ＞0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以＝×2·|y1－y2|
＝＝4，
题号
1
3
2
4
又因为＝＝，
当且仅当m＝±时等号成立．
所以≤4＝2．
又因为三角形内切圆半径r满足r＝＝＝．
所以△F1MN的内切圆面积的最大值为．
题号
1
3
2
4
4．(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x 轴时， |MF|＝3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C 的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
题号
1
3
2
4
解：(1)抛物线的准线方程为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设，
，直线MN：x＝my＋1，
题号
1
3
2
4
由可得y2－4my－4＝0，则Δ1＞0，y1y2＝－4．
当直线MN的斜率存在时，
由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ2＞0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝＝＝．
题号
1
3
2
4
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k＞0，则tan (α－β)＝＝＝＝，
当且仅当＝2k，即k＝时，等号成立，
题号
1
3
2
4
所以当α－β 最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ3＞0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4．
当直线MN的斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，tan (α－β)＜．
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0．
谢 谢！进阶特训(六) 圆锥曲线中的范围、最值问题
1．(2024·江南十校联考)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点到右顶点的距离为，点M在C上，且点M到右焦点距离的最大值为3，过点P(0，2)且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．
2．(2025·天津南开模拟)椭圆E：＝1(a>b>0)经过点，且其左焦点坐标为(－1，0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形ABCD的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，求|AC|＋|BD|的最小值．
3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上．
(1)P是C上一动点，求的范围；
(2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值．
4．(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x 轴时， |MF|＝3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C 的另一个交点分别为A，B，记直线MN, AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
进阶特训(六)
1．解：(1)由题意得，解得a2＝4，b2＝3，故C的方程为＝1．
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0．
由Δ>0得k2>，且x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|
＝，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝，
令t＝>0，故4k2＝＋1，故S△AOB＝＝，
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，
故△AOB面积的最大值为．
2．解：(1)因为椭圆E的左焦点坐标为(－1，0)，
所以右焦点坐标为(1，0)，c＝1．
又椭圆E经过点，
所以2a＝＝4，b＝＝．
所以椭圆E的方程为＝1．
(2)①当直线AC，BD中有一条直线的斜率不存在时，|AC|＋|BD|＝7．
②当直线AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
由得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
|AC|＝＝．
设直线BD的方程为x＝－y＋1，
同理得|BD|＝，
所以|AC|＋|BD|＝，
令m＝t2＋1，则m>1，
则|AC|＋|BD|＝
＝＝，
所以m＝2时，|AC|＋|BD|有最小值．
综上，|AC|＋|BD|的最小值是．
3．解：(1)由题意知c＝，所以a2＝b2＋3．
将点Q代入＝1，解得b＝1，所以a＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－2．
又因为x∈，所以的范围是 ．
(2)依题意可设直线l的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立 得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ＞0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以＝×2·|y1－y2|
＝＝4，
又因为＝＝，
当且仅当m＝±时等号成立．
所以≤4＝2．
又因为三角形内切圆半径r满足r＝＝＝．
所以△F1MN的内切圆面积的最大值为．
4．解：(1)抛物线的准线方程为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设，
，直线MN：x＝my＋1，
由可得y2－4my－4＝0，则Δ1＞0，y1y2＝－4．
当直线MN的斜率存在时，
由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ2＞0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝＝＝．
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k＞0，则tan (α－β)＝＝＝＝，
当且仅当＝2k，即k＝时，等号成立，
所以当α－β 最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ3＞0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4．
当直线MN的斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，tan (α－β)＜．
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0．
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