2024-2025学年北师大版九年级数学下册 3.2 圆的对称性 课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北师大版九年级数学下册 3.2 圆的对称性 课件(共27张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 781.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-22 10:54:20 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
第三章 圆
3.2 圆的对称性
1.圆的对称性
2.圆心角与所对的弧、弦之间的关系
3.相等圆心角、弧、弦之间的关系. （重点、难点）
学习目标
新课导入
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心，
它具有旋转不变性.
新课讲解
1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来
的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2．把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合，
所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
新课讲解
利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：
(1) 是轴对称图形但不是中心对称图形；
(2) 是中心对称图形但不是轴对称图形；
(3) 既是轴对称图形又是中心对称图形.
解： (1)如图①②是轴对称图形但不是中心对称图形；
(2)如图③是中心对称图形但不是轴对称图形；
(3)如图④既是轴对称图形又是中心对称图形．
新课讲解
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
新课讲解
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.
新课讲解
下面四个图形中的角，是圆心角的是( )
D
练一练
新课讲解
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
新课讲解
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB=∠A1OB1=60°，请问上述结论还成立吗？为什么
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
·
新课讲解
弧、弦、圆心角之间的关系．
在同圆或等圆中：
(1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
(3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
课堂小结
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.
当堂小练
1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
D
当堂小练
2.如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆心角等于( )
A．40°
B．80°
C．100°
D．120°
C
拓展与延伸
如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OMD．无法确定
C
1.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则阴影部分的面积之和为 (结果保留π).
2π
课后练习
3.如图，在☉O中，若AC＝BC，∠OAB＝50°，则∠BOC＝ .
2.(2023珠海期中改编)如图，AB是☉O的直径，，∠COD＝34°.
(1)∠BOC＝ °，∠DOE＝ °；
(2)∠AOE＝ °；
(3)∠AEO＝ °.
40°
51
78
34
34
4.【例1】(人教9上P89改编)如图，在☉O中，，∠A＝36°，则∠C＝ .
72°
5.【例2】(北师9下P104、人教9上P123)如图，在☉O中，，点D，E分别是☉O的半径OA与OB的中点，求证：CD＝CE.
证明：如图，连接CO，
∵OA＝OB，且D，E分别是OA，OB的中点，
∴OD＝OE，
又，∴∠COD＝∠COE，
在△COD和△COE中，，
∴△COD≌△COE(SAS)，∴CD＝CE.
6.【例3】(北师9下P73、人教9上P85)如图，在☉O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)若∠AOB＝∠COD，求证：OE＝OF；
(2)若OE＝OF，求证：
(1)若∠AOB＝∠COD，求证：OE＝OF；
证明：(1)∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝AOB，∠FOD＝COD，
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD，
在△EOB和△FOD中，，
∴△EOB≌△FOD(AAS)，∴OE＝OF.
(2)若OE＝OF，求证：
(2)∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在Rt△BEO和Rt△DFO中，，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)，∴BE＝DF，
∵OA＝OB，OC＝OD，∴AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD，
7.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，弦BC＝CD＝DA，则∠BCD＝ .
120°
8.(北师9下P72、人教9上P90)如图，A，B是☉O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点.求证：四边形OACB是菱形.
证明：连接OC，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形.
★9. 0.55 (人教9上P85改编)如图，AB，CD是☉O的两条弦，若OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，且，求证：OE＝OF.
证明：连接OA，OB，OC，OD.
，
AB＝CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB＝OC＝OD，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF(设为λ)，设☉O的半径为μ，
由勾股定理得OE＝，OF＝，∴OE＝OF.
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第三章 圆
3.2 圆的对称性
1.圆的对称性
2.圆心角与所对的弧、弦之间的关系
3.相等圆心角、弧、弦之间的关系. （重点、难点）
学习目标
新课导入
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心，
它具有旋转不变性.
新课讲解
1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来
的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2．把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合，
所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
新课讲解
利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：
(1) 是轴对称图形但不是中心对称图形；
(2) 是中心对称图形但不是轴对称图形；
(3) 既是轴对称图形又是中心对称图形.
解： (1)如图①②是轴对称图形但不是中心对称图形；
(2)如图③是中心对称图形但不是轴对称图形；
(3)如图④既是轴对称图形又是中心对称图形．
新课讲解
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
新课讲解
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.
新课讲解
下面四个图形中的角，是圆心角的是( )
D
练一练
新课讲解
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
新课讲解
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB=∠A1OB1=60°，请问上述结论还成立吗？为什么
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
·
新课讲解
弧、弦、圆心角之间的关系．
在同圆或等圆中：
(1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
(3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
课堂小结
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.
当堂小练
1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
D
当堂小练
2.如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆心角等于( )
A．40°
B．80°
C．100°
D．120°
C
拓展与延伸
如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OM
C
1.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则阴影部分的面积之和为 (结果保留π).
2π
课后练习
3.如图，在☉O中，若AC＝BC，∠OAB＝50°，则∠BOC＝ .
2.(2023珠海期中改编)如图，AB是☉O的直径，，∠COD＝34°.
(1)∠BOC＝ °，∠DOE＝ °；
(2)∠AOE＝ °；
(3)∠AEO＝ °.
40°
51
78
34
34
4.【例1】(人教9上P89改编)如图，在☉O中，，∠A＝36°，则∠C＝ .
72°
5.【例2】(北师9下P104、人教9上P123)如图，在☉O中，，点D，E分别是☉O的半径OA与OB的中点，求证：CD＝CE.
证明：如图，连接CO，
∵OA＝OB，且D，E分别是OA，OB的中点，
∴OD＝OE，
又，∴∠COD＝∠COE，
在△COD和△COE中，，
∴△COD≌△COE(SAS)，∴CD＝CE.
6.【例3】(北师9下P73、人教9上P85)如图，在☉O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)若∠AOB＝∠COD，求证：OE＝OF；
(2)若OE＝OF，求证：
(1)若∠AOB＝∠COD，求证：OE＝OF；
证明：(1)∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝AOB，∠FOD＝COD，
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD，
在△EOB和△FOD中，，
∴△EOB≌△FOD(AAS)，∴OE＝OF.
(2)若OE＝OF，求证：
(2)∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在Rt△BEO和Rt△DFO中，，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)，∴BE＝DF，
∵OA＝OB，OC＝OD，∴AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD，
7.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，弦BC＝CD＝DA，则∠BCD＝ .
120°
8.(北师9下P72、人教9上P90)如图，A，B是☉O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点.求证：四边形OACB是菱形.
证明：连接OC，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形.
★9. 0.55 (人教9上P85改编)如图，AB，CD是☉O的两条弦，若OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，且，求证：OE＝OF.
证明：连接OA，OB，OC，OD.
，
AB＝CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB＝OC＝OD，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF(设为λ)，设☉O的半径为μ，
由勾股定理得OE＝，OF＝，∴OE＝OF.
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