2024-2025学年北师大版九年级数学下册 3.3 垂径定理 课件(共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北师大版九年级数学下册 3.3 垂径定理 课件(共29张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 784.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-22 10:54:55 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
第三章 圆
3.3 垂径定理
1.垂径定理
2.垂径定理的推论. （重点、难点）
学习目标
新课导入
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交
流.
新课讲解
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是 什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
新课讲解
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
新课讲解
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
新课讲解
例
如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线
AB 上两点，且AC=BD.
求证：△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
分析：
构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.
解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD)， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧.
新课讲解
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
新课讲解
练一练
如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM
＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( )
A．8 cm
cm
C．6 cm
D．2 cm
A
课堂小结
垂径定理：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为( )
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
C
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A．2 m
B．2.5 m
C．2.4 m
D．2.1 m
B
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中，一定正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
A.6 B.8
C.10 D.12
1.(1)如图，☉O的半径为10，弦AB的长度是12，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝( )
B
课后练习
(2)(人教9上P122改编)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是 .
2
A.6 B.7
C.8 D.10
2.(1)如图，☉O的半径为5，M是AB的中点，且OM＝3，则☉O的弦AB等于( )
C
(2)(全国视野)(2023宜昌)如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为 .
4
3.(传统文化)(北师9下P76、人教9上P82)(2023广西)1 400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1 m).
解：设桥拱所在圆的半径为R m，
连接OA，由题意可知AB＝37.4 m，CD＝7.2 m，
∴OD＝OC－CD＝(R－7.2)m.∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝18.7 m，
在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.72＋(R－7.2)2，
解得R≈27.9.答：桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
4.如图，AB是☉O的弦，C，D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD.
证明：如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE.
又∵AC＝BD，∴CE＝DE，
∴OE是CD的垂直平分线，∴OC＝OD.
答案图
小结：圆中常用辅助线——过圆心作弦的垂线.
小结：注意分类讨论思想的应用.
5.☉O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝24 cm，则AB与CD之间的距离是
.
17 cm或7 cm
6.(数学文化)(北师9下P76)(2024珠海一模)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.
解：如图，连接OA，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，OE＝(x－1)寸.
∵CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，AB＝10(寸)，
∴AE＝BE＝AB＝10＝5寸.
又OA＝x寸，根据勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2，
解得x＝13，∴CD＝2x＝2×13＝26(寸).
7.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
如图，过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，
∴AC＝BD.
答案图
★8. 0.50 在半径为1的☉O中，弦AB，AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为 .
15°或105°
请完成课本本节对应习题
布置作业
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第三章 圆
3.3 垂径定理
1.垂径定理
2.垂径定理的推论. （重点、难点）
学习目标
新课导入
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交
流.
新课讲解
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是 什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
新课讲解
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
新课讲解
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
新课讲解
例
如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线
AB 上两点，且AC=BD.
求证：△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
分析：
构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.
解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD)， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧.
新课讲解
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
新课讲解
练一练
如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM
＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( )
A．8 cm
cm
C．6 cm
D．2 cm
A
课堂小结
垂径定理：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为( )
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
C
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A．2 m
B．2.5 m
C．2.4 m
D．2.1 m
B
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中，一定正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
A.6 B.8
C.10 D.12
1.(1)如图，☉O的半径为10，弦AB的长度是12，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝( )
B
课后练习
(2)(人教9上P122改编)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是 .
2
A.6 B.7
C.8 D.10
2.(1)如图，☉O的半径为5，M是AB的中点，且OM＝3，则☉O的弦AB等于( )
C
(2)(全国视野)(2023宜昌)如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为 .
4
3.(传统文化)(北师9下P76、人教9上P82)(2023广西)1 400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1 m).
解：设桥拱所在圆的半径为R m，
连接OA，由题意可知AB＝37.4 m，CD＝7.2 m，
∴OD＝OC－CD＝(R－7.2)m.∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝18.7 m，
在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.72＋(R－7.2)2，
解得R≈27.9.答：桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
4.如图，AB是☉O的弦，C，D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD.
证明：如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE.
又∵AC＝BD，∴CE＝DE，
∴OE是CD的垂直平分线，∴OC＝OD.
答案图
小结：圆中常用辅助线——过圆心作弦的垂线.
小结：注意分类讨论思想的应用.
5.☉O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝24 cm，则AB与CD之间的距离是
.
17 cm或7 cm
6.(数学文化)(北师9下P76)(2024珠海一模)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.
解：如图，连接OA，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，OE＝(x－1)寸.
∵CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，AB＝10(寸)，
∴AE＝BE＝AB＝10＝5寸.
又OA＝x寸，根据勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2，
解得x＝13，∴CD＝2x＝2×13＝26(寸).
7.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
如图，过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，
∴AC＝BD.
答案图
★8. 0.50 在半径为1的☉O中，弦AB，AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为 .
15°或105°
请完成课本本节对应习题
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