第2课时 二项式定理
[考试要求] 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝________________________(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝an－kbk(k＝0，1，2，…，n，n∈N*)，表示展开式的第______项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为．
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数______，即＝．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋＋＋…＋＝____．
[常用结论]
．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1．
．＝＋．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． ( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． ( )
(4)通项Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )
A．6 B．－6 C．24 D．－24
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2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为( )
A．－40 B．－40x2
C．40 D．40x2
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3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为( )
A．252x3 B．210x4
C．252x5 D．210x6
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
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考点一 二项展开式的通项公式的应用
形如(a＋b)n的展开式问题
[典例1] (1)(2024·辽宁大连一模)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是( )
A．n＝10
B．展开式中的常数项为45
C．含x5的项的系数为210
D．展开式中的有理项有5项
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形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
[典例2] (1)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－23 B．－3
C．3 D．15
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_______．(用数字作答)
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形如(a＋b＋c)n的展开式问题
[典例3] (2025·河北沧州模拟)在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3项的系数为( )
A．6 480 B．2 160
C．60 D．－2 160
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几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．
[跟进训练]
1．(1)(2024·山东烟台一模)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4＝( )
A．100 B．110
C．120 D．130
(2)已知·(1－2x)4的展开式中x3的系数是－70，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________．
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考点二 二项式系数与项的系数问题
二项式系数和与系数和
[典例4] (1)(多选)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，下列命题正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 024
B．展开式中所有偶数项系数的和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为
D．＝－1
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
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二项式系数的性质
[典例5] (1)已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是( )
A． B．
C．x2 D．7x2
(2)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
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1．赋值法的应用
(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn．
(2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
2．求展开式中系数最大项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，则解出k．
提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．
[跟进训练]
2．(1)(2024·安徽皖江名校联考)已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
(2)(2024·湖南长沙模拟)若(1－2x)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，则下列结论中正确的是( )
A．a0＝1
B．a4＝80
C．＝35
D．
(3)(多选)已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A．a＝1
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和为1 458
D．展开式中含x2项的系数为240
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考点三 二项式定理的应用
[典例6] (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
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二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
[跟进训练]
3．(1)(2025·山东济南模拟)22 024被9除的余数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)组合数被9除的余数是________．
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第2课时 二项式定理
梳理·必备知识
．an＋an-1b＋…＋an－kbk＋…＋bn
(2)k＋1
2．(1)相等 (3)2n
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、1．A [(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为＝6．故选A．]
2．B [的展开式的中间项为(2x)3·＝－40x2．故选B．]
3．C [由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝xk，且有＝，因此n＝10．故二项式系数最大的项为x5＝252x5．故选C．]
4．－15 [(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2．故x2的系数为－15．]
考点一
考向1 典例1 (1)B (2)ABC [(1)易知
＝＋＋＋＋
＝．
故选B．
(2)二项展开式的通项为Tk＋1＝，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则，
故，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝，
令20－＝0，解得k＝8，
则展开式中的常数项为＝45，故B正确；
令20－＝5，解得k＝6，
则含x5的项的系数为＝210，故C正确；
令20－∈Z，则k为偶数，此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项有理项，故D错误．]
考向2 典例2 (1)A (2)－28 [(1)由组合知识可知，含x3的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23．故选A．
(2)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，
所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x3y5＝－28x2y6，
所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．]
考向3 典例3 A [(x－2y＋3z)6相当于6个因式相乘，其中一个因式取x，有种取法，余下5个因式中有2个取－2y，有种取法，最后3个因式中全部取3z，有种取法，故(x－2y＋3z)6展开式中xy2z3的系数为×33＝6 480．故选A．]
跟进训练
1．(1)C (2)D (3)92 [(1)在(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，a2＝×22＝40，a4＝×24＝80，所以a2＋a4＝120．
故选C．
(2)由题知(1－2x)4＝2×(1－2x)4－×(1－2x)4，(1－2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝(－2x)k＝xk，k＝0，1，2，3，4，所以2×(1－2x)4的展开式中x3的系数是2××(1－2x)4的展开式中x3的系数是，所以－64－＝－70，解得a＝4．
(3)法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为＋31＋30＝92．
法二：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝(1＋2x)5＋(1＋2x)4(－3x2)＋(1＋2x)3(－3x2)2＋(1＋2x)2(－3x2)3＋(1＋2x)(－3x2)4＋
所以x5的系数为25＋×23×(－3)＋×2×(－3)2＝92．]
考点二
考向1 典例4 (1)ACD (2)－3或1 [(1)由二项式知＋＋…＋＝22 024，A正确；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，
当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024，
由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝，B错误；
由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝， C正确；
令x＝可得a0＋＝0，
又a0＝1，
所以＝－1，D正确．故选ACD．
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．]
考向2 典例5 (1)C (2)5 [(1)展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝，
所以前三项的系数依次为，
依题意，有＝，即1＋＝n，
整理得n2－9n＋8＝0，解得n＝1(舍去)或n＝8．
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即T5＝x2．故选C．
(2)由题可知展开式通项公式为Tk＋1＝xk，0≤k≤10且k∈Z，
设展开式中第k＋1项系数最大，
则
?即，又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．]
跟进训练
2．(1)C (2)C (3)ACD [(1)由已知2n＝256，故n＝8，故通项为Tk＋1＝2kx8-2k(k＝0，1，…，8)，故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
24，
∴>1，>1，
故26最大，因此第7项的系数最大．故选C．
(2)由(1－2x)5＝a0＋a1＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，
对于A中，令x＝1，可得a0＝－1，所以A错误；
对于B中，(1－2x)5＝[－1－2(x－1)] 5，
由二项展开式的通项得a4＝·(－2)4·(－1)1＝－80，
所以B错误；
对于C中，与[1＋2(x－1)]5的系数之和相等，
令x－1＝1即＝35，所以C正确；
对于D中，令x＝2，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－35，
令x＝0，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝1，
解得a0＋a2＋a4＝，
可得，所以D错误．故选C．
(3)令x＝1，所以的展开式中各项系数的和为(1＋a)(2－1)6＝2，解得a＝1，故A正确；展开式通项为Tk＋1＝＝(－1)k26-kx6-2k，当6－2k＝0时，k＝3；当6－2k＝1时，k＝(舍去)，
所以展开式中常数项为(－1)3×23＝－160；
当6－2k＝2时，k＝2；当6－2k＝3时，k＝(舍去)，
所以展开式中含x2项的系数为(－1)2×24＝240，B错误，D正确；展开式系数的绝对值的和可看作是展开式系数的和，所以令x＝1，则展开式系数的和为(1＋1)(2＋1)6＝1 458，C正确．故选ACD．]
考点三
典例6 (1)B (2)B [(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝522 023－522 022＋522 021－…＋52－＋a，因为512 023＋a能被13整除，结合选项，
所以－＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1．
(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13．]
跟进训练
3．(1)B (2)8 [(1)因为22 024＝41 012＝(3＋1)1 012
＝×31 012＋×31 011＋×31 010＋…＋×32＋×31＋×30，
其中×31 012＋×31 011＋×31 010＋…＋×32
＝×31 010＋×31 009＋×31 008＋…＋×32能被9整除，
又×30＝3 037＝9×337＋4，
所以22 024被9除的余数为4．故选B．
(2)∵，
∴×234＝233＝811＝(9－1)11＝·99－…＋·91－·90＝9k－1＝9＋8，其中k∈N，
∴该组合数被9除的余数是8．]
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第2课时 二项式定理
[考试要求] 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
链接教材·夯基固本
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝____________________________________ (n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝an－kbk(k＝0，1，2，…，n，n∈N*)，表示展开式的第______项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为．
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
an＋an-1b＋…＋an－kbk＋…＋bn
k＋1
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数______，即＝．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋＋＋…＋＝____．
相等
2n
[常用结论]
．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1．
．＝＋．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． ( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． ( )
(4)通项Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换． ( )
×
×
√
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )
A．6 B．－6 C．24 D．－24
A [(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为＝6．故选A．]
2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为( )
A．－40 B．－40x2
C．40 D．40x2
√
B [的展开式的中间项为(2x)3·＝
－40x2．故选B．]
3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为( )
A．252x3 B．210x4
C．252x5 D．210x6
√
C [由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝xk，且有＝，因此n＝10．故二项式系数最大的项为x5＝252x5．故选C．]
4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
－15 [(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2．
故x2的系数为－15．]
－15
考点一 二项展开式的通项公式的应用
考向1 形如(a＋b)n的展开式问题
[典例1] (1)(2024·辽宁大连一模)＝
( )
A．－ B．
C．－ D．
典例精研·核心考点
√
(2)(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是( )
A．n＝10
B．展开式中的常数项为45
C．含x5的项的系数为210
D．展开式中的有理项有5项
√
√
√
(1)B (2)ABC [(1)易知
＝＋＋＋＋
＝．
故选B．
(2)二项展开式的通项为Tk＋1＝，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则，
故，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝，
令20－＝0，解得k＝8，
则展开式中的常数项为＝45，故B正确；
令20－＝5，解得k＝6，
则含x5的项的系数为＝210，故C正确；
令20－∈Z，则k为偶数，此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项有理项，故D错误．]
考向2 形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
[典例2] (1)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－23 B．－3
C．3 D．15
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_______．(用数字作答)
√
－28
(1)A (2)－28 [(1)由组合知识可知，含x3的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是
(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23．故选A．
(2)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，
所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x3y5＝
－28x2y6，
所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．]
考向3 形如(a＋b＋c)n的展开式问题
[典例3] (2025·河北沧州模拟)在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3项的系数为( )
A．6 480 B．2 160
C．60 D．－2 160
√
A [(x－2y＋3z)6相当于6个因式相乘，其中一个因式取x，有种取法，余下5个因式中有2个取－2y，有种取法，最后3个因式中全部取3z，有种取法，故(x－2y＋3z)6展开式中xy2z3的系数为×33＝6 480．故选A．]
名师点评 几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．
[跟进训练]
1．(1)(2024·山东烟台一模)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4＝( )
A．100 B．110
C．120 D．130
√
(2)已知·(1－2x)4的展开式中x3的系数是－70，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________．
√
92
(1)C (2)D (3)92 [(1)在(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，a2＝×22＝40，a4＝×24＝80，所以a2＋a4＝120．
故选C．
(2)由题知(1－2x)4＝2×(1－2x)4－×(1－2x)4，(1－2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝(－2x)k＝xk，k＝0，1，2，3，4，所以2×(1－2x)4的展开式中x3的系数是2××(1－2x)4的展开式中x3的系数是，所以－64－＝－70，解得a＝4．
(3)法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为＋31＋30＝92．
法二：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝(1＋2x)5＋(1＋2x)4(－3x2)＋(1＋2x)3(－3x2)2＋(1＋2x)2(－3x2)3＋(1＋2x)(－3x2)4＋
所以x5的系数为25＋×23×(－3)＋×2×(－3)2＝92．]
【教用·备选题】
(2024·山东济南三模)展开式中x2的系数为( )
A．－5 B．5
C．15 D．35
√
A [若要产生x2这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，当在中取时，再在中取3个、取3个1，所以展开式中x2的系数为＝15－20＝－5．故选A．]
考点二 二项式系数与项的系数问题
考向1 二项式系数和与系数和
[典例4] (1)(多选)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，下列命题正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 024
B．展开式中所有偶数项系数的和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为
D．＝－1
√
√
√
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
－3或1
(1)ACD (2)－3或1 [(1)由二项式知＋＋…＋＝22 024，A正确；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，
当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024，
由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝，B错误；
由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝， C正确；
令x＝可得a0＋＝0，
又a0＝1，
所以＝－1，D正确．故选ACD．
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．]
考向2 二项式系数的性质
[典例5] (1)已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是( )
A． B．
C．x2 D．7x2
(2)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
√
5
(1)C (2)5 [(1)展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝，
所以前三项的系数依次为，
依题意，有＝，即1＋＝n，
整理得n2－9n＋8＝0，解得n＝1(舍去)或n＝8．
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即T5＝x2．故选C．
(2)由题可知展开式通项公式为Tk＋1＝xk，0≤k≤10且k∈Z，
设展开式中第k＋1项系数最大，
则
?即，又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．]
名师点评 1．赋值法的应用
(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn．
(2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
2．求展开式中系数最大项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，则解出k．
提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．
[跟进训练]
2．(1)(2024·安徽皖江名校联考)已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
√
(2)(2024·湖南长沙模拟)若(1－2x)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，则下列结论中正确的是( )
A．a0＝1
B．a4＝80
C．＝35
D．
√
(3)(多选)已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A．a＝1
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和为1 458
D．展开式中含x2项的系数为240
√
√
√
(1)C (2)C (3)ACD [(1)由已知2n＝256，故n＝8，故通项为Tk＋1＝2kx8-2k(k＝0，1，…，8)，故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
24，
∴>1，>1，
故26最大，因此第7项的系数最大．故选C．
(2)由(1－2x)5＝a0＋a1＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，
对于A中，令x＝1，可得a0＝－1，所以A错误；
对于B中，(1－2x)5＝[－1－2(x－1)] 5，
由二项展开式的通项得a4＝·(－2)4·(－1)1＝－80，
所以B错误；
对于C中，与[1＋2(x－1)]5的系数之和相等，
令x－1＝1即＝35，所以C正确；
对于D中，令x＝2，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－35，
令x＝0，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝1，
解得a0＋a2＋a4＝，
可得，所以D错误．故选C．
(3)令x＝1，所以的展开式中各项系数的和为(1＋a)(2－1)6＝2，解得a＝1，故A正确；展开式通项为Tk＋1＝＝(－1)k26-kx6-2k，当6－2k＝0时，k＝3；当6－2k＝1时，k＝(舍去)，
所以展开式中常数项为(－1)3×23＝－160；
当6－2k＝2时，k＝2；当6－2k＝3时，k＝(舍去)，
所以展开式中含x2项的系数为(－1)2×24＝240，B错误，D正确；展开式系数的绝对值的和可看作是展开式系数的和，所以令x＝1，则展开式系数的和为(1＋1)(2＋1)6＝1 458，C正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
1．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680
√
C [因为偶数项的二项式系数之和为2n-1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tk＋1＝(－2x)k＝，所以T5＝其系数为(－2)4＝
1 120．故选C．]
2．(2024·湖北武汉二模)已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 ( )
A．n＝5
B．n＝8
C．展开式的常数项为－20
D．的展开式中各项系数的和为1
√
D [由题可知，2n＝64，则n＝6，所以AB错误；
展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝＝x6-2k．
令6－2k＝0，得k＝3，则T4＝x6-6＝－160，故C错误；
令x＝1得＝1，则的展开式中各项系数的和为1．故选D．]
3．(多选)在二项式的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项是
B．各项的系数和是64
C．第4项的二项式系数最大
D．奇数项的二项式系数和为－32
√
√
AC [二项式的展开式通项为Tk＋1＝6-k＝，令3－k＝0，则k＝2，故常数项是，A正确；
各项的系数和是，B错误；
二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；
奇数项二项式系数和为25＝32，D错误；
故选AC．]
考点三 二项式定理的应用
[典例6] (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
√
√
(1)B (2)B [(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝522 023－522 022＋522 021－…＋52－＋a，因为512 023＋a能被13整除，结合选项，
所以－＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1．
(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13．]
名师点评 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
[跟进训练]
3．(1)(2025·山东济南模拟)22 024被9除的余数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)组合数被9除的余数是________．
√
8
(1)B (2)8 [(1)因为22 024＝41 012＝(3＋1)1 012
＝×31 012＋×31 011＋×31 010＋…＋×32＋×31＋×30，
其中×31 012＋×31 011＋×31 010＋…＋×32
＝×31 010＋×31 009＋×31 008＋…＋×32能被9整除，
又×30＝3 037＝9×337＋4，
所以22 024被9除的余数为4．故选B．
(2)∵，
∴×234＝233＝811＝(9－1)11＝·99－…＋·91－·90＝9k－1＝9＋8，其中k∈N，
∴该组合数被9除的余数是8．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
16
一、单项选择题
1．的展开式中x2y3的系数是( )
A．－ B．
C．－30 D．30
课后作业(五十八) 二项式定理
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
A [的展开式的通项为Tk＋1＝x5-kyk，k＝0，1，2，3，4，5．令k＝3，可得x2y3的系数是32×．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
16
2．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T9改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
D [因为在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8中，含x3的项为(－x)3，所以含x3的项的系数是－＝－(10＋20＋35＋56)＝－121．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
3．(2025·江西上饶模拟)已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
√
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
A [已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则n＝2×＝4，
从而的展开式通项为Tk＋1＝＝
，
令4－2k＝0，解得k＝2，
所以展开式中的常数项为22＝24．
故选A．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
4．(2024·广东江门一模)已知，则a0＋a2＋a4＋…＋a10的值是( )
A．680 B．－680
C．1 360 D．－1 360
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
B [令x＝－1，则0＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，
即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0．
令x＝－3，
则＝a0－a1＋a2－a3＋…－a11，
即a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝＝－1 360，
可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝－＝－680．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
5．(2024·重庆模拟)已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为( )
A．－10 B．－11
C．－13 D．－15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
B [∵展开式中各项系数之和为3，所以令x＝1，可得2＋a＝3，解得a＝1，
∴，
∵的展开式的通项为Tk＋1＝＝·x6-k，
当在项中取x2时，项中需取x-1，
不符合条件；
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
当在项中取x时，项中需取x0，
则6－k＝0，即k＝6，此时x的系数为＝1；
当在项中取1时，项中需取x，
则6－k＝1，即k＝5，此时x的系数为＝－12，
综上，展开式中x的系数为1＋＝－11．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
6．在(x2＋x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为( )
A．60 B．15
C．120 D．30
A [在(x2＋x＋y)6的展开式中，含y2的项为
故含x5y2的系数为＝60．
故选A．]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
7．已知二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则(2＋x)k展开式的二项式系数和是( )
A．210 B．310
C．29 D．39
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
16
A [用Tk表示二项式(1＋2x)13中第k项系数，
若二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则有Tk－1≤Tk≥Tk＋1，其中Tk＝2k-1，k∈N*，
即解得，
因为k∈N*，所以k＝10，
所以(2＋x)k展开式的二项式系数和为210．
故选A．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
16
8．(2024·山东潍坊三模)已知(x＋3)(x＋2)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9，则a8＝( )
A．8 B．10
C．28 D．29
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
14
15
16
B [＝[(x＋1)＋2][(x＋1)＋1]8，
其中展开式的通项为Tk＋1＝且k≤8，
当k＝0时，T1＝此时只需乘以第一个因式中的2，可得2；
当k＝1时，T2＝此时只需乘以第一个因式中的，可得．所以a8＝2＋8＝10．故选B．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
√
14
15
16
二、多项选择题
9．(2025·浙江杭州模拟)已知的展开式中含有常数项，则n的可能取值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
AC [展开式的通项为Tk＋1＝
，
其中k＝0，1，2，3，…，n．
令n－k＝0，则k＝n，可知n为4的倍数，故B、D错误；
故选AC．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
√
14
15
16
10．(2024·山西临汾三模)在的展开式中( )
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为38
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
AB [对于A，二项式系数和为28，则所有奇数项的二项式系数的和为＝128，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C，Tk＋1＝
Tk＋1为有理项，k可取的值为0，3，6，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D，令x＝1，则所有项系数和为＝1，故D错误．故选AB．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
√
14
15
16
11．(2024·安徽安庆模拟)已知f＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列描述正确的是( )
A．f (－1)除以5所得的余数是1
B．a1＋a2＋…＋a8＝1
C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28
D．2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
AC [对于A，f (－1)＝38＝94＝(10－1)4＝104－×10＋1
＝10×＋1，
故f (－1)除以5所得的余数是1，故A正确；
对于B，令x＝1得，a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，令x＝0得，a0＝28，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B错误；
对于C，由题意可知，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
对于f (x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，又因为a0＝28，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38－28，故C正确；
对于D，对于f (x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8两边同时求导可得，
－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，
令x＝1得，－8＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
令x＝0得，a1＝－8×27，
所以2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，故D错误．
故选AC．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
三、填空题
12．(2024·天津高考)在的展开式中，常数项为______．
20 [因为的展开式的通项为Tk＋1＝x6(k-3)，k＝0，1，…，6，
令6(k－3)＝0，可得k＝3，
所以常数项为＝20．]
20
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
13．(2024·浙江温州一模)＝________．
82 [＝
114＋123＋132＋141＋150，可得两式和的结果为82．]
82
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
14．(2024·江西九江二模)第14届国际数学教育大会(ICME－International Congress of Mathematics Education)在我国上海华东师范大学举行．如图是本次大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是3×83＋7×82＋4×81＋4×80＝2 020，正是会议召开的年份，那么八进制换算成十
进制数，则换算后这个数的末位数字是( )
A．1 B．3
C．5 D．7
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
B [由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得，
7×89＋7×88＋…＋7×81＋7×80＝7×＝810－1，
810－1＝－1＝210－1
因为101×29是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为210－1的末尾数字，由210－1＝1 023可得，末尾数字为3．故选B．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
15．(多选)(教材改编)若(a＋b＋c)6的展开式是关于a，b，c的多项式，则下列说法正确的是( )
A．展开式中每一项的次数都是6
B．展开式中含a3b2c项的系数是60
C．所有项的系数之和为26
D．展开式中共有28项
√
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
ABD [对于选项AB：由题意可知，展开式中每一项由x个a、y个b以及z个c相乘而得，
其中x，y，z∈N，且x＋y＋z＝6，展开式中每一项都为axbycz的形式，展开式中每一项的次数都是x＋y＋z＝6，故A正确；
展开式中含a3b2c项的系数是＝60，故B正确；
对于选项C：令a＝b＝c＝1，可得所有项的系数之和为36，故C错误；
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
对于选项D：本题等价于将6个相同的球分到3个不同的盒中，
等价于将9个相同的球分到3个不同的盒中(每盒不空)，则有＝28(种)可能放法，
所以展开式中共有28项，故D正确．
故选ABD．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
16．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n＋1行的第3个数字为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝______，＝_______．
220
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
220 [法一：由题意知an＝，
a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220．
＝2．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14
15
16
法二：由题意知an＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＋＝220．
＝2．]
谢 谢！课后作业(五十八) 二项式定理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共84分
一、单项选择题
1．的展开式中x2y3的系数是( )
A．－ B．
C．－30 D．30
2．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T9改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
3．(2025·江西上饶模拟)已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
4．(2024·广东江门一模)已知，则a0＋a2＋a4＋…＋a10的值是( )
A．680 B．－680
C．1 360 D．－1 360
5．(2024·重庆模拟)已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为( )
A．－10 B．－11
C．－13 D．－15
6．在(x2＋x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为( )
A．60 B．15
C．120 D．30
7．已知二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则(2＋x)k展开式的二项式系数和是( )
A．210 B．310
C．29 D．39
8．(2024·山东潍坊三模)已知(x＋3)(x＋2)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9，则a8＝( )
A．8 B．10
C．28 D．29
二、多项选择题
9．(2025·浙江杭州模拟)已知的展开式中含有常数项，则n的可能取值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
10．(2024·山西临汾三模)在的展开式中( )
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为38
11．(2024·安徽安庆模拟)已知f＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列描述正确的是( )
A．f (－1)除以5所得的余数是1
B．a1＋a2＋…＋a8＝1
C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28
D．2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
三、填空题
12．(2024·天津高考)在的展开式中，常数项为______．
13．(2024·浙江温州一模)＝________．
14．(2024·江西九江二模)第14届国际数学教育大会(ICME－International Congress of Mathematics Education)在我国上海华东师范大学举行．如图是本次大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是3×83＋7×82＋4×81＋4×80＝2 020，正是会议召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是( )
A．1 B．3
C．5 D．7
15．(多选)(教材改编)若(a＋b＋c)6的展开式是关于a，b，c的多项式，则下列说法正确的是( )
A．展开式中每一项的次数都是6
B．展开式中含a3b2c项的系数是60
C．所有项的系数之和为26
D．展开式中共有28项
16．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n＋1行的第3个数字为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________，＝________．
课后作业(五十八)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [的展开式的通项为Tk＋1＝x5-kyk，k＝0，1，2，3，4，5．令k＝3，可得x2y3的系数是32×．]
2．D [因为在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8中，含x3的项为(－x)3，所以含x3的项的系数是－＝－(10＋20＋35＋56)＝－121．]
3．A [已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则n＝2×＝4，
从而的展开式通项为Tk＋1＝＝，
令4－2k＝0，解得k＝2，
所以展开式中的常数项为22＝24．
故选A．]
4．B [令x＝－1，则0＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，
即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0．
令x＝－3，
则＝a0－a1＋a2－a3＋…－a11，
即a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝＝－1 360，
可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝－＝－680．故选B．]
5．B [∵展开式中各项系数之和为3，所以令x＝1，可得2＋a＝3，解得a＝1，
∴，
∵的展开式的通项为Tk＋1＝＝·x6-k，
当在项中取x2时，项中需取x-1，
不符合条件；
当在项中取x时，项中需取x0，
则6－k＝0，即k＝6，此时x的系数为＝1；
当在项中取1时，项中需取x，
则6－k＝1，即k＝5，此时x的系数为＝－12，
综上，展开式中x的系数为1＋＝－11．故选B．]
6．A [在(x2＋x＋y)6的展开式中，含y2的项为
故含x5y2的系数为＝60．
故选A．]
7．A [用Tk表示二项式(1＋2x)13中第k项系数，
若二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则有Tk－1≤Tk≥Tk＋1，其中Tk＝2k-1，k∈N*，
即解得，
因为k∈N*，所以k＝10，
所以(2＋x)k展开式的二项式系数和为210．
故选A．]
8．B [＝[(x＋1)＋2][(x＋1)＋1]8，
其中展开式的通项为Tk＋1＝且k≤8，
当k＝0时，T1＝此时只需乘以第一个因式中的2，可得2；
当k＝1时，T2＝此时只需乘以第一个因式中的，可得．所以a8＝2＋8＝10．故选B．]
9．AC [展开式的通项为Tk＋1＝，
其中k＝0，1，2，3，…，n．
令n－k＝0，则k＝n，可知n为4的倍数，故B、D错误；
故选AC．]
10．AB [对于A，二项式系数和为28，则所有奇数项的二项式系数的和为＝128，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C，Tk＋1＝Tk＋1为有理项，k可取的值为0，3，6，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D，令x＝1，则所有项系数和为＝1，故D错误．故选AB．]
11．AC [对于A，f (－1)＝38＝94＝(10－1)4＝104－×10＋1
＝10×＋1，
故f (－1)除以5所得的余数是1，故A正确；
对于B，令x＝1得，a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，令x＝0得，a0＝28，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B错误；
对于C，由题意可知，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8，
对于f (x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，又因为a0＝28，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38－28，故C正确；
对于D，对于f (x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8两边同时求导可得，
－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，
令x＝1得，－8＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8，
令x＝0得，a1＝－8×27，
所以2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，故D错误．
故选AC．]
12．20 [因为的展开式的通项为Tk＋1＝x6(k-3)，k＝0，1，…，6，
令6(k－3)＝0，可得k＝3，
所以常数项为＝20．]
13．82 [＝114＋123＋132＋141＋150，可得两式和的结果为82．]
[B组 在综合中考查关键能力]
14．B [由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得，
7×89＋7×88＋…＋7×81＋7×80＝7×＝810－1，
810－1＝－1＝210－1
因为101×29是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为210－1的末尾数字，由210－1＝1 023可得，末尾数字为3．故选B．]
15．ABD [对于选项AB：由题意可知，展开式中每一项由x个a、y个b以及z个c相乘而得，
其中x，y，z∈N，且x＋y＋z＝6，展开式中每一项都为axbycz的形式，展开式中每一项的次数都是x＋y＋z＝6，故A正确；
展开式中含a3b2c项的系数是＝60，故B正确；
对于选项C：令a＝b＝c＝1，可得所有项的系数之和为36，故C错误；
对于选项D：本题等价于将6个相同的球分到3个不同的盒中，
等价于将9个相同的球分到3个不同的盒中(每盒不空)，则有＝28(种)可能放法，
所以展开式中共有28项，故D正确．
故选ABD．]
16．220 [法一：由题意知an＝，
a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220．
＝2．
法二：由题意知an＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＋＝220．
＝2．]
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