广东省肇庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·肇庆期末）若函数（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，则.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域以及导函数，赋值求值即可.
2．（2024高二下·肇庆期末）已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解.
故答案为：B.
【分析】根据卡方公式代入计算即可.
3．（2024高二下·肇庆期末）求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：，
由题意可知：500的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘，
则500的正整数因数的个数为.
故答案为：A.
【分析】，结合题意分析求解即可.
4．（2024高二下·肇庆期末）已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
易知，则函数在上单调递减，
因为，所以，
所以，则.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数研究函数的单调性，根据对数函数的性质比较自变量的大小，再根据的单调性判断即可.
5．（2024高二下·肇庆期末）已知随机变量，若方差，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，由，解得或，
则.
故答案为：D.
【分析】利用二项分布的方差公式求出，再求的值即可.
6．（2024高二下·肇庆期末）直线与曲线相切于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：曲线，，
由题意可得：，解得，
则，解得，故.
故答案为：C.
【分析】求函数的导函数，由题意求出，再根据求出，即可求得的值.
7．（2024高二下·肇庆期末）若，则（ ）
A．4048 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：
易知均为负值，
令，得，
故.
故答案为：D.
【分析】利用赋值法令求解即可.
8．（2024高二下·肇庆期末）已知函数，且，为自然对数的底数恰有两个极值点，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数恰有两个极值点、，所以有两个变号零点，
即方程有两个不相等的实数根，
令，则的图象与直线有两个不同的交点，
因为，设过原点的切线的切点为，
则切线方程为，
则，所以，即，
所以切线斜率，
当时，则，解得；
当时，则，解得
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得方程有两个不相等的实数根，令，则的图象与直线有两个不同的交点，设过原点的切线的切点为，利用导数的几何意义表示出切线法方程，从而得到，即可得到切线斜率，再分、两种情况讨论，分别求出的取值范围即可.
9．（2024高二下·肇庆期末）下列关于一元线性回归的叙述正确的有（ ）
A．若相关系数，则与的相关程度很强
B．残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用模型比较合适
C．决定系数越大，模型的拟合效果越差
D．经验回归直线经过所有样本点
【答案】A,B
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、 若相关系数，即 越接近于1，相关性越强，故A正确；
B、残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，拟合效果较好，选用模型比较合适，故B正确；
C、决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C错误；
D、样本点分布在经验回归直线附近，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用相关系数、残差图、决定系数、经验回归直线的意义逐项判断即可.
10．（2024高二下·肇庆期末）已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示，
若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由既成等差数列也成等比数列，可得，
将①代入②中，化简整理得，即，
回代入①，可得，由分布列可知，则，，，
故，故A正确，B错误；
，
，
，则，故D正确，C错误.
故答案为：AD.
【分析】由题意求得，再根据随机变量的数学期望、方差公式计算化简比较即可.
11．（2024高二下·肇庆期末）微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则（为常数）
C．是函数的极值点
D．函数在上单调递减
【答案】A,B,D
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、 函数的导函数满足，且，
令时，，则，故A正确；
B、若，则，且（为常数），故B正确；
CD、由选项B知：，又，则，
，求导得，当且仅当时取等号，
因此函数在上单调递减，无极值点，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】代入计算即可判断A；利用复合函数求导法则求导即可判断B；求出函数，利用导数探讨单调性即可判断CD.
12．（2024高二下·肇庆期末）设随机变量服从正态分布，且，则 ．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，且，可得，
则.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的对称性分析求解即可.
13．（2024高二下·肇庆期末）用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则 ．
【答案】
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由，两边取自然对数可得，
令，则，
因为，所以，，所以，
则.
故答案为：.
【分析】将两边取自然对数，再结合题意得到，求的值即可.
14．（2024高二下·肇庆期末）抛掷一校质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则 ， .
【答案】；
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可知：抛掷1次后事件A发生的概率为；
抛掷n次后事件A发生，
抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
构造二项式
，
令，
，
令，
，
两式做差得，
，
因为，所以.
故答案为：；.
【分析】根据次独立重复实验事件发生的概率为，构造二项式利用赋值法分别计算即可.
15．（2024高二下·肇庆期末）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得；令，解得；
则函数在内单调递增，在内单调递减，
且的极大值为，无极小值；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，，函数在内单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在内单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，求导，利用导数求的单调性和极值即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数求函数单调性即可.
（1）当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）由题意可知：的定义域为，且，
若，则，可知在内单调递减；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在内单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
16．（2024高二下·肇庆期末）小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将的前6位数字（1，1，3，4，5，9）按照一定的顺序进行设置．
（1）记事件：相同的数字相邻，求事件发生的概率；
（2）记事件：相同的数字不相邻，求事件发生的概率；
（3）记事件：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件发生的条件下，事件发生的概率．
【答案】（1）解：由题意可知：在事件中，要求两个1需相邻，
只需要将其看成一个元素与另外四个数字全排，有种方法，
根据古典概型概率公式可得：；
（2）解：在事件中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生的5个空中进行插空，
再对这四个数字进行全排即可，有种方法，根据古典概型概率公式可得：；
（3）解：在事件中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，
故只需先在3，4，5，9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排，有种方法，由古典概型概率公式可得：，
由条件概率公式可得，.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【分析】（1）采用“捆绑法”求解即可；
（2）采用“插空法”处理元素不相邻问题求解即可；
（3）先在3，4，5，9中 选出一个数字放在两个1之间，再“捆绑”后与另外三个数字全排，即得排法，最后运用条件概率公式计算即可.
（1）依题意，在事件中，要求两个1需相邻，故只需要将其看成一个元素与另外四个数字全排即可，
有种方法，由古典概型概率公式可得：
（2）在事件中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生的5个空中进行插空，
再对这四个数字进行全排即可，有种方法，由古典概型概率公式可得：；
（3）在事件中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，
故只需先在3，4，5，9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排即可，
有种方法，由古典概型概率公式可得：，
由条件概率公式可得，.
17．（2024高二下·肇庆期末）如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为．
（1）求和的值；
（2）推测与的关系，并求出的表达式．
【答案】（1）解：由题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、，，
第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
则第二秒灯点在底面上的概率；
（2）解：第秒亮灯点在底面上的概率为，
在底面上的概率为，
则，即，
故数列是以，公比为的等比数列，，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率求出，再根据相互事件及互斥事件的概率公式求即可；
（2）由题意可得，则，即数列是以，公比为的等比数列，利用等比数列的通项求出即可.
（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、，
所以，
第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
所以第二秒灯点在底面上的概率；
（2）第秒亮灯点在底面上的概率为，
在底面上的概率为，
所以，
所以，所以是以，公比为的等比数列，
所以，则.
18．（2024高二下·肇庆期末）已知函数（是自然对数的底数）．
（1）设直线为曲线的切线，记直线的斜率的最大值为，求的最大值；
（2）已知，设，求证： ．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
令，，
因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的最大值为，
可知，且在内单调递减，
则的最大值为；
（2）证明：由已知，则，由（1）可知：在内单调递增，
且，
可知；
因为在内单调递减，且，
可知；
且，
令，则，
可知在内单调递减，则，
即，所以.
【知识点】集合间关系的判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，令，利用导数判断函数的单调性和最值，得，从而得最值即可；
（2）根据（1）中的单调性求集合，进而分析包含关系即可证明.
（1）由题意可知：的定义域为，且，
令，则的定义域为，且，
因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的最大值为，
可知，且在内单调递减，
所以的最大值为.
（2）由已知，则，
由（1）可知：在内单调递增，
且，
可知；
又因为在内单调递减，且，
可知；
且，
令，则，
可知在内单调递减，则，
即，所以 .
19．（2024高二下·肇庆期末）某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错．
（1）假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数；
（2）假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率；
（3）第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小．
【答案】（1）解：因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分，
因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，
6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，
故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分，
所以总得分的中位数是；
（2）解：因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法，
选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法，
这道题的总选法有：种，则；
（3）解：若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6，
，，，；
若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4，
，，，；
记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和，
则
因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是，
所以，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用列举法求解即可；
（2）利用分类思想来得到不得分的可能性，求解概率即可；
（3）利用概率及期望思想来解决实际问题.
（1）因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分，
因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，
6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，
故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分，
所以总得分的中位数是；
（2）因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法，
选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法，
这道题的总选法有：种，
所以；
（3）若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6，
且，，，；
若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4，
且，，，；
记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和，
则
因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是，
所以，
故.
1 / 1广东省肇庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·肇庆期末）若函数（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2024高二下·肇庆期末）已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·肇庆期末）求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
4．（2024高二下·肇庆期末）已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·肇庆期末）已知随机变量，若方差，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·肇庆期末）直线与曲线相切于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·肇庆期末）若，则（ ）
A．4048 B． C．1 D．
8．（2024高二下·肇庆期末）已知函数，且，为自然对数的底数恰有两个极值点，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·肇庆期末）下列关于一元线性回归的叙述正确的有（ ）
A．若相关系数，则与的相关程度很强
B．残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用模型比较合适
C．决定系数越大，模型的拟合效果越差
D．经验回归直线经过所有样本点
10．（2024高二下·肇庆期末）已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示，
若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·肇庆期末）微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则（为常数）
C．是函数的极值点
D．函数在上单调递减
12．（2024高二下·肇庆期末）设随机变量服从正态分布，且，则 ．
13．（2024高二下·肇庆期末）用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则 ．
14．（2024高二下·肇庆期末）抛掷一校质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则 ， .
15．（2024高二下·肇庆期末）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论的单调性．
16．（2024高二下·肇庆期末）小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将的前6位数字（1，1，3，4，5，9）按照一定的顺序进行设置．
（1）记事件：相同的数字相邻，求事件发生的概率；
（2）记事件：相同的数字不相邻，求事件发生的概率；
（3）记事件：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件发生的条件下，事件发生的概率．
17．（2024高二下·肇庆期末）如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为．
（1）求和的值；
（2）推测与的关系，并求出的表达式．
18．（2024高二下·肇庆期末）已知函数（是自然对数的底数）．
（1）设直线为曲线的切线，记直线的斜率的最大值为，求的最大值；
（2）已知，设，求证： ．
19．（2024高二下·肇庆期末）某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错．
（1）假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数；
（2）假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率；
（3）第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，则.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域以及导函数，赋值求值即可.
2．【答案】B
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解.
故答案为：B.
【分析】根据卡方公式代入计算即可.
3．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：，
由题意可知：500的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘，
则500的正整数因数的个数为.
故答案为：A.
【分析】，结合题意分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
易知，则函数在上单调递减，
因为，所以，
所以，则.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数研究函数的单调性，根据对数函数的性质比较自变量的大小，再根据的单调性判断即可.
5．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，由，解得或，
则.
故答案为：D.
【分析】利用二项分布的方差公式求出，再求的值即可.
6．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：曲线，，
由题意可得：，解得，
则，解得，故.
故答案为：C.
【分析】求函数的导函数，由题意求出，再根据求出，即可求得的值.
7．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：
易知均为负值，
令，得，
故.
故答案为：D.
【分析】利用赋值法令求解即可.
8．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数恰有两个极值点、，所以有两个变号零点，
即方程有两个不相等的实数根，
令，则的图象与直线有两个不同的交点，
因为，设过原点的切线的切点为，
则切线方程为，
则，所以，即，
所以切线斜率，
当时，则，解得；
当时，则，解得
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得方程有两个不相等的实数根，令，则的图象与直线有两个不同的交点，设过原点的切线的切点为，利用导数的几何意义表示出切线法方程，从而得到，即可得到切线斜率，再分、两种情况讨论，分别求出的取值范围即可.
9．【答案】A,B
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、 若相关系数，即 越接近于1，相关性越强，故A正确；
B、残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，拟合效果较好，选用模型比较合适，故B正确；
C、决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C错误；
D、样本点分布在经验回归直线附近，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用相关系数、残差图、决定系数、经验回归直线的意义逐项判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由既成等差数列也成等比数列，可得，
将①代入②中，化简整理得，即，
回代入①，可得，由分布列可知，则，，，
故，故A正确，B错误；
，
，
，则，故D正确，C错误.
故答案为：AD.
【分析】由题意求得，再根据随机变量的数学期望、方差公式计算化简比较即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、 函数的导函数满足，且，
令时，，则，故A正确；
B、若，则，且（为常数），故B正确；
CD、由选项B知：，又，则，
，求导得，当且仅当时取等号，
因此函数在上单调递减，无极值点，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】代入计算即可判断A；利用复合函数求导法则求导即可判断B；求出函数，利用导数探讨单调性即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，且，可得，
则.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的对称性分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由，两边取自然对数可得，
令，则，
因为，所以，，所以，
则.
故答案为：.
【分析】将两边取自然对数，再结合题意得到，求的值即可.
14．【答案】；
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可知：抛掷1次后事件A发生的概率为；
抛掷n次后事件A发生，
抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
构造二项式
，
令，
，
令，
，
两式做差得，
，
因为，所以.
故答案为：；.
【分析】根据次独立重复实验事件发生的概率为，构造二项式利用赋值法分别计算即可.
15．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得；令，解得；
则函数在内单调递增，在内单调递减，
且的极大值为，无极小值；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，，函数在内单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在内单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，求导，利用导数求的单调性和极值即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数求函数单调性即可.
（1）当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）由题意可知：的定义域为，且，
若，则，可知在内单调递减；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在内单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
16．【答案】（1）解：由题意可知：在事件中，要求两个1需相邻，
只需要将其看成一个元素与另外四个数字全排，有种方法，
根据古典概型概率公式可得：；
（2）解：在事件中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生的5个空中进行插空，
再对这四个数字进行全排即可，有种方法，根据古典概型概率公式可得：；
（3）解：在事件中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，
故只需先在3，4，5，9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排，有种方法，由古典概型概率公式可得：，
由条件概率公式可得，.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【分析】（1）采用“捆绑法”求解即可；
（2）采用“插空法”处理元素不相邻问题求解即可；
（3）先在3，4，5，9中 选出一个数字放在两个1之间，再“捆绑”后与另外三个数字全排，即得排法，最后运用条件概率公式计算即可.
（1）依题意，在事件中，要求两个1需相邻，故只需要将其看成一个元素与另外四个数字全排即可，
有种方法，由古典概型概率公式可得：
（2）在事件中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生的5个空中进行插空，
再对这四个数字进行全排即可，有种方法，由古典概型概率公式可得：；
（3）在事件中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，
故只需先在3，4，5，9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排即可，
有种方法，由古典概型概率公式可得：，
由条件概率公式可得，.
17．【答案】（1）解：由题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、，，
第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
则第二秒灯点在底面上的概率；
（2）解：第秒亮灯点在底面上的概率为，
在底面上的概率为，
则，即，
故数列是以，公比为的等比数列，，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率求出，再根据相互事件及互斥事件的概率公式求即可；
（2）由题意可得，则，即数列是以，公比为的等比数列，利用等比数列的通项求出即可.
（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、，
所以，
第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
所以第二秒灯点在底面上的概率；
（2）第秒亮灯点在底面上的概率为，
在底面上的概率为，
所以，
所以，所以是以，公比为的等比数列，
所以，则.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
令，，
因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的最大值为，
可知，且在内单调递减，
则的最大值为；
（2）证明：由已知，则，由（1）可知：在内单调递增，
且，
可知；
因为在内单调递减，且，
可知；
且，
令，则，
可知在内单调递减，则，
即，所以.
【知识点】集合间关系的判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，令，利用导数判断函数的单调性和最值，得，从而得最值即可；
（2）根据（1）中的单调性求集合，进而分析包含关系即可证明.
（1）由题意可知：的定义域为，且，
令，则的定义域为，且，
因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的最大值为，
可知，且在内单调递减，
所以的最大值为.
（2）由已知，则，
由（1）可知：在内单调递增，
且，
可知；
又因为在内单调递减，且，
可知；
且，
令，则，
可知在内单调递减，则，
即，所以 .
19．【答案】（1）解：因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分，
因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，
6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，
故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分，
所以总得分的中位数是；
（2）解：因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法，
选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法，
这道题的总选法有：种，则；
（3）解：若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6，
，，，；
若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4，
，，，；
记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和，
则
因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是，
所以，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用列举法求解即可；
（2）利用分类思想来得到不得分的可能性，求解概率即可；
（3）利用概率及期望思想来解决实际问题.
（1）因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分，
因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，
6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，
故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分，
所以总得分的中位数是；
（2）因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法，
选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法，
这道题的总选法有：种，
所以；
（3）若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6，
且，，，；
若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4，
且，，，；
记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和，
则
因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是，
所以，
故.
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