第5课时 离散型随机变量的分布列和数字特征
[考试要求] 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． 2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以__________的随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi____0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝___．
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝______________________＝______________________为随机变量X的______或数学期望，数学期望简称______．它反映了离散型随机变量取值的__________．
(2)方差
称D(X)＝______________________为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的__________，并称__为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝____________．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝__________．(a，b为常数)
[常用结论]
1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． ( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( )
(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． ( )
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．
3． (人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
4．(人教A版选择性必修第三册P69例5改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，D(X)＝，则E(X2)＝________．
考点一 分布列的性质
[典例1] (1)已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝2，4，5，6，7，则P(1＜X≤5)等于( )
A． B．
C． D．
(2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－q q－q2
则q＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
[跟进训练]
1．(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是( )
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝
C．P(2＜X＜4)＝1 D．P(X＜0)＝0
(2)设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，若随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝________．
考点二 离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2] (2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
离散型随机变量分布列的求解步骤
[跟进训练]
2．(1)已知随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P b－a b a
则下列说法正确的是( )
A．E(ξ)有最小值 B．E(ξ)有最大值
C．D(ξ)有最小值0 D．D(ξ)有最大值
(2)某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰．已知甲、乙、丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为．
①若三人中有两人过关，求丙过关的概率；
②记甲、乙、丙三人中过关的人数为X，求X的分布列与数学期望．
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考点三 数字特征在决策中的应用
[典例3] (2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0
(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用均值、方差进行决策的方法
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
[跟进训练]
3．某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50，B工序加工质量层次高的个数为75，C工序加工质量层次为高的个数为80．加工一个口罩的利润如下表所示：
口罩等级 100等级 99等级 95等级
利润/元 2 1 0.5
(1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；
(2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
(3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b．试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值．
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第5课时 离散型随机变量的分布列和数字特征
梳理·必备知识
1．(1)唯一 (2)一一列举
2．(2)≥ 1
4．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
均值 期望 平均水平 (2)
偏离程度
5．(1)aE(X)＋b (2)a2D(X)
激活·基本技能
一、(1)× (2)√ (3)√ (4)√
二、1．D [第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5．故选D．]
2． [由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝．]
3． [E(X)＝－，
则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－．]
4． [因为E(X)＝，D(X)＝，
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝．]
考点一
典例1 (1)A (2) [(1)由题意得P(1＜X≤5)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝．
(2)由离散型随机变量分布列的性质得
解得q＝．]
跟进训练
1．(1)AB (2)0.3 [(1)由分布列可知，事件“X＝1.5”不存在，所以P(X＝1.5)＝0，所以A正确．因为P(X＞－1)＝1－P(X＝－1)＝，所以B正确．因为P(2＜X＜4)＝P(X＝3)＝，P(X＜0)＝，所以C，D均错误．
(2)因为随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，所以P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，10)，所以η＝2ξ－1等可能地取1，3，5，7，…，19，则P(η＝j)＝(j＝1，3，5，…，19)，所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝0.3．]
考点二
典例2 解：(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字，有种方法，
然后每种小球各取1个，有种取法，所以P＝＝．
(2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以P＝＝；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以P＝＝；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以P＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E＝1×＋2×＋3×＝．
跟进训练
2．(1)D [由题意知b－a＋b＋a＝2b＝1，即b＝．
又b－a＞0，则0＜a＜，因为E(ξ)＝b＋2a＝＋2a，所以E(ξ)没有最值．因为D(ξ)＝＋a＝－4a2＋2a＋＝－4＋．又0＜a＜，所以当a＝时，D(ξ)取最大值．]
(2)解：①记甲、乙、丙三人过关分别为事件A，B，C，记三人中恰有两人过关为事件D，
则P(D)＝P(ABBC)
＝＝，
又P(CD)＝P(C)
＝＝，
所以P＝＝＝，
故若有两人过关，丙过关的概率为．
②由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝P()＝＝，
P(X＝1)＝P(AC)
＝＝，
P＝P＝，
P＝P＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
即X的数学期望为．
考点三
典例3 解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
∴比赛成绩不少于5分的概率
P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686．
(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，∵0∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)
＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，
∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝q(1－q)2，
P(X＝10)＝q2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q．
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]
＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
∵0∴pq(p－q)(p＋q－3)>0，即E(X)＞E(Y)，
∴应该由甲参加第一阶段比赛．
跟进训练
3．解：(1)设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为p1，p2，p3，
用频率估计概率可得：p1＝＝0.5，p2＝＝0.75，p3＝＝0.8，
记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件M，
所以P＝0.5×0.75×0.8＝0.3．
(2)由题意可知，X的可能取值为2，1，0.5，则有，
P＝P＝0.3，P＝p3(1－p1p2)＝0.5，
P＝1－P－P＝0.2，
所以X的分布列为
X 2 1 0.5
P 0.3 0.5 0.2
X的期望E＝2×0.3＋1×0.5＋0.5×0.2＝1.2(元)．
(3)由题意可知，工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为0.5＋b，b∈，
设工厂升级方案后一个口罩利润为Y，
由题意可知，Y的可能取值为1.8，0.8，0.3，则有：
P＝×0.75×0.8＝0.6b＋0.3，
P＝0.8 ＝0.5－0.6b，
P＝1－P－P＝0.2，
所以Y的期望E＝1.8×＋0.8×＋0.3×0.2＝0.6b＋1(元)，
令E>E，即0.6b＋1>1.2，解得例如b＝符合题意．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第5课时 离散型随机变量的分布列和数字特征
[考试要求] 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．
2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
链接教材·夯基固本
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以__________的随机变量．
唯一
一一列举
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi____0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝___．
≥
1
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝______________________＝___________为随机变量X的______或数学期望，数学期望简称______．它反映了离散型随机变量取值的__________．
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
均值
期望
平均水平
(2)方差
称D(X)＝________________________为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的__________，并称_______为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
偏离程度
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝____________．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝__________．(a，b为常数)
[常用结论]
1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
aE(X)＋b
a2D(X)
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． ( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( )
(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． ( )
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小． ( )
×
√
√
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点
D [第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5．
故选D．]
2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．
[由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝．]
3． (人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
X －1 0 1
P
[E(X)＝－＝－，
则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝．]
4．(人教A版选择性必修第三册P69例5改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，D(X)＝，则E(X2)＝________．
[因为E(X)＝，D(X)＝，
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝＝．]
考点一 分布列的性质
[典例1] (1)已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝2，4，5，6，7，则P(1＜X≤5)等于( )
A． B．
C． D．
典例精研·核心考点
√
(2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q＝________．
X －1 0 1
P 1－q q－q2
(1)A (2) [(1)由题意得P(1＜X≤5)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＝．
(2)由离散型随机变量分布列的性质得
解得q＝．]
名师点评 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
[跟进训练]
1．(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是( )
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝
C．P(2＜X＜4)＝1 D．P(X＜0)＝0
(2)设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，若随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝________．
√
√
0.3
(1)AB (2)0.3 [(1)由分布列可知，事件“X＝1.5”不存在，所以P(X＝1.5)＝0，所以A正确．因为P(X＞－1)＝1－P(X＝－1)＝，所以B正确．因为P(2＜X＜4)＝P(X＝3)＝，P(X＜0)＝，所以C，D均错误．
(2)因为随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，所以P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，10)，所以η＝2ξ－1等可能地取1，3，5，7，…，19，则P(η＝j)＝(j＝1，3，5，…，19)，所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝0.3．]
【教用·备选题】
1．(多选)已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下：
若E(Y)＝10，则( )
A．m＝ B．n＝
C．E(X)＝3 D．D(Y)＝
X 1 2 3 4 5
P m n
√
√
AC [由m＋＋n＋＝1可得m＋n＝，①
又因为E(Y)＝E＝3E＋1＝10，
解得E(X)＝3，故C正确；
所以E＝m＋2×＋3×＋4n＋5×＝3，
则m＋4n＝，②
所以由①②可得，n＝，m＝，
故A正确，B错误；
D(X)＝＝4×＋1×＋1×＋4×＝，
D(Y)＝D＝9D＝9×＝，故D错误．故选AC．]
2．(2024·山东济南模拟)已知等差数列{an}的公差为d，随机变量X满足P(X＝i)＝ai(0A． B．
C． D．
√
D [因为随机变量X满足P(X＝i)＝ai(0所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
也即a1＋a2＋a3＋a4＝1，又因为是公差为d的等差数列，
所以a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d，
所以a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝1，则a1＝d，a2＝a1＋d＝d，a3＝a1＋2d＝d，a4＝a1＋3d＝d，
因为0解得－3．设离散型随机变量X的分布列为
(1)求2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
解：(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3．
列表为
从而2X＋1的分布列为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由(1)知m＝0.3，列表为
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
考点二 离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2] (2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字，有种方法，
然后每种小球各取1个，有种取法，所以P＝＝．
(2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以P＝＝；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以P＝＝；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以P＝＝，
所以X的分布列为
所以E＝1×＋2×＋3×＝．
X 1 2 3
P
名师点评 离散型随机变量分布列的求解步骤
[跟进训练]
2．(1)已知随机变量ξ的分布列为
则下列说法正确的是( )
A．E(ξ)有最小值 B．E(ξ)有最大值
C．D(ξ)有最小值0 D．D(ξ)有最大值
ξ 0 1 2
P b－a b a
√
(2)某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰．已知甲、乙、丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为．
①若三人中有两人过关，求丙过关的概率；
②记甲、乙、丙三人中过关的人数为X，求X的分布列与数学期望．
(1)D [由题意知b－a＋b＋a＝2b＝1，即b＝．
又b－a＞0，则0＜a＜，因为E(ξ)＝b＋2a＝＋2a，所以E(ξ)没有最值．因为D(ξ)＝＋a＝－4a2＋2a＋＝－4＋．又0＜a＜，所以当a＝时，D(ξ)取最大值．]
(2)解：①记甲、乙、丙三人过关分别为事件A，B，C，记三人中恰有两人过关为事件D，
则P(D)＝P(ABBC)
＝＝，
又P(CD)＝P(C)
＝＝，
所以P＝＝＝，
故若有两人过关，丙过关的概率为．
②由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝P()＝＝，
P(X＝1)＝P(AC)
＝＝，
P＝P＝，
P＝P＝＝，
所以X的分布列为
故E＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
即X的数学期望为．
X 0 1 2 3
P
【教用·备选题】
1．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝，则D(3X－2)＝( )
A． B． C．5 D．7
X －1 0 1
P a b
√
C [∵E(X)＝，∴由随机变量X的分布列得，
解得
∴D(X)＝＝，
∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×＝5．故选C．]
2．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
解：(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P()
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．
(2)由题意可知，X 的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06 ．
即X 的分布列为
期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13 ．
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
考点三 数字特征在决策中的应用
[典例3] (2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
∴比赛成绩不少于5分的概率
P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686．
(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，
∵0∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)
＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，
∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝q(1－q)2，
P(X＝10)＝q2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q．
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]
＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
∵0∴pq(p－q)(p＋q－3)>0，即E(X)＞E(Y)，
∴应该由甲参加第一阶段比赛．
名师点评 利用均值、方差进行决策的方法
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
[跟进训练]
3．某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．现从A，B，C三道工序的流
水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50，B工序加工质量层次高的个数为75，C工序加工质量层次为高的个数为80．加工一个口罩的利润如下表所示：
口罩等级 100等级 99等级 95等级
利润/元 2 1 0.5
(1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；
(2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
(3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b．试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值．
解：(1)设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为p1，p2，p3，
用频率估计概率可得：p1＝＝0.5，p2＝＝0.75，p3＝＝0.8，
记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件M，
所以P＝0.5×0.75×0.8＝0.3．
(2)由题意可知，X的可能取值为2，1，0.5，则有，
P＝P＝0.3，P＝p3(1－p1p2)＝0.5，
P＝1－P－P＝0.2，
所以X的分布列为
X 2 1 0.5
P 0.3 0.5 0.2
X的期望E＝2×0.3＋1×0.5＋0.5×0.2＝1.2(元)．
(3)由题意可知，工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为0.5＋b，b∈，
设工厂升级方案后一个口罩利润为Y，
由题意可知，Y的可能取值为1.8，0.8，0.3，则有：
P＝×0.75×0.8＝0.6b＋0.3，
P＝0.8 ＝0.5－0.6b，
P＝1－P－P＝0.2，
所以Y的期望E＝1.8×＋0.8×＋0.3×0.2＝0.6b＋1(元)，
令E>E，即0.6b＋1>1.2，解得例如b＝符合题意．
【教用·备选题】
(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为E(Y)＞E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．已知随机变量X服从两点分布，且P＝0.4，设Y＝2X－1，那么P＝( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.6
13
课后作业(六十一) 离散型随机变量的分布列和数字特征
√
D [由题意可知，当Y＝－1时，即2X－1＝－1，解得X＝0，又因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，所以P＝P＝0.6．故选D．]
题号
1
3
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2
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12
13
2．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试．设该同学通过考试的高校的个数为随机变量X，则D(X)等于( )
A． B．
C． D．
题号
1
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13
√
题号
1
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12
13
A [X的可能取值为0，1，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝＝．]
3．(2025·广东八校联考)已知随机变量X的分布列如表所示：
若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
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2
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6
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11
12
√
13
X －1 0 1
P m n
C [由P(X≤0)＝，得m＝＝，n＝1－P(X≤0)＝，
则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×＋0×＝，
由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，所以D(Y)＝4D(X)＝．
故选C．]
题号
1
3
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11
12
13
4．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A． B．
C．2 D．
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
12
√
13
D [由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝．]
题号
1
3
5
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6
8
7
9
10
11
12
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A． B．
C． D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B [依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝，
ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，
P(ξ＝6)＝＝，
故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝．故选B．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)约为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A [由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，…，n，
P＝，P＝＝，P＝，…，P＝，
∴E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，①
则E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，②
①－②得，E＝1＋＋…＋－n×，
即得E＝3－．当n→＋∞时，E≈3．
故选A．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2024·辽宁沈阳一模)如图是离散型随机变量X的概率分布直方图，其中3a＝5b，2b＝3c，则( )
A．a＝0.5
B．E＝2.3
C．D＝0.61
D．D＝1.22
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
ABC [由题知 解得a＝0.5，b＝0.3，c＝0.2，A选项正确；
所以E＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝2.3，B选项正确；
D＝(1－2.3)2×0.2＋(2－2.3)2×0.3＋(3－2.3)2×0.5＝0.61，C选项正确； D＝22·D＝2.44，D选项错误．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则( )
A．目标被击中的概率为 B．P＝
C．E＝ D．D＝
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BD [由题意可得，目标没有被击中的概率为＝，所以目标被击中的概率为1－＝，A错误；
易知该射手每次射击未命中的概率为，
X的可能取值为1，2，3，所以P＝，
P＝＝，P＝＝，
13
题号
1
3
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2
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6
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10
11
12
所以X的分布列为
E＝1×＋2×＋3×＝，
D＝＝，BD正确，C错误．
故选BD．]
13
X 1 2 3
P
题号
1
3
5
2
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6
8
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10
11
12
三、填空题
9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．
13
1
1
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
1 1 [ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1．
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．]
13
ξ 0 1 3
P
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[由题意知P(ξ＝2)＝＝．
ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝，∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
四、解答题
11．在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解：(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，
则P(E)＝＝，
故a同学摸球三次后停止摸球的概率为．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以随机变量X的分布列为
13
X 0 1 2 3 4
P
期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2024·上海松江二模)某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次．如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1，p2，p3，假定p1，p2，p3互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若p1＝，p2＝，p3＝，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，请写出所需派出的人员数目X的分布列，并求X的期望E；
(3)已知1>p1>p2>p3，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解：(1)设事件A表示“该小组比赛胜利”，
则P＝＝．
(2)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝p1，P(X＝2)＝(1－p1)p2，P(X＝3)＝(1－p1)(1－p2)，
所以X的分布列为
13
X 1 2 3
P p1 (1－p1)p2 (1－p1)(1－p2)
所以E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝p1p2－2p1－p2＋3．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(3)若依次派甲、乙、丙进行闯关，设派出人员数目的期望为E1，由(2)可知，E1＝p1p2－2p1－p2＋3，
若依次派丙、乙、甲进行闯关，设派出人员数目的期望为E2，
则E2＝p3p2－2p3－p2＋3，
则E1－E2＝(p1p2－2p1－p2＋3)－(p3p2－2p3－p2＋3)＝p1p2－2p1－p3p2＋2p3＝p2(p1－p3)－2(p1－p3)＝(p1－p3)(p2－2)，
因为1>p1>p2>p3，所以p1－p3>0，p2－2<0，
所以E1－E2<0，即E1所以要使派出人员数目的期望较小，应先派出甲．
13
题号
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12
13．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理．
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式；
13
题号
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(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表：
13
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率．
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由．
题号
1
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11
12
解：(1)y＝
(2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7，所以X的分布列为
13
X 720 840 960
P 0.1 0.2 0.7
E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912，
D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝
6 336．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为
则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8，916.8＞912．
从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个．
13
Y 660 780 900 1 020
P 0.1 0.2 0.16 0.54
谢 谢！课后作业(六十一) 离散型随机变量的分布列和数字特征
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、单项选择题
1．已知随机变量X服从两点分布，且P＝0.4，设Y＝2X－1，那么P＝( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.6
2．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试．设该同学通过考试的高校的个数为随机变量X，则D(X)等于( )
A． B．
C． D．
3．(2025·广东八校联考)已知随机变量X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P m n
若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝( )
A． B．
C． D．
4．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A． B．
C．2 D．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A． B．
C． D．
6．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)约为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
二、多项选择题
7．(2024·辽宁沈阳一模)如图是离散型随机变量X的概率分布直方图，其中3a＝5b，2b＝3c，则( )
A．a＝0.5 B．E＝2.3
C．D＝0.61 D．D＝1.22
8．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则( )
A．目标被击中的概率为
B．P＝
C．E＝
D．D＝
三、填空题
9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．
10．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________．
四、解答题
11．在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
12．(2024·上海松江二模)某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次．如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1，p2，p3，假定p1，p2，p3互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若p1＝，p2＝，p3＝，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，请写出所需派出的人员数目X的分布列，并求X的期望E；
(3)已知1>p1>p2>p3，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．
13．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理．
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式；
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率．
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由．
课后作业(六十一)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．D [由题意可知，当Y＝－1时，即2X－1＝－1，解得X＝0，又因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，所以P＝P＝0.6．故选D．]
2．A [X的可能取值为0，1，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝＝．]
3．C [由P(X≤0)＝，得m＝＝，n＝1－P(X≤0)＝，
则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×＋0×＝，
由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，所以D(Y)＝4D(X)＝．
故选C．]
4．D [由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝．]
5．B [依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝，
ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，
P(ξ＝6)＝＝，
故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝．故选B．]
6．A [由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，…，n，
P＝，P＝＝，P＝，…，P＝，
∴E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，①
则E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，②
①－②得，E＝1＋＋…＋－n×，
即得E＝3－．当n→＋∞时，E≈3．
故选A．]
7．ABC [由题知 解得a＝0.5，b＝0.3，c＝0.2，A选项正确；
所以E＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝2.3，B选项正确；
D＝(1－2.3)2×0.2＋(2－2.3)2×0.3＋(3－2.3)2×0.5＝0.61，C选项正确； D＝22·D＝2.44，D选项错误．
故选ABC．]
8．BD [由题意可得，目标没有被击中的概率为＝，所以目标被击中的概率为1－＝，A错误；
易知该射手每次射击未命中的概率为，
X的可能取值为1，2，3，所以P＝，
P＝＝，P＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E＝1×＋2×＋3×＝，
D＝＝，BD正确，C错误．
故选BD．]
9．1 1 [ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1．
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．]
10． [由题意知P(ξ＝2)＝＝．
ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝，∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝．]
11．解：(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，
则P(E)＝＝，
故a同学摸球三次后停止摸球的概率为．
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝．
12．解：(1)设事件A表示“该小组比赛胜利”，
则P＝＝．
(2)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝p1，P(X＝2)＝(1－p1)p2，P(X＝3)＝(1－p1)(1－p2)，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P p1 (1－p1)p2 (1－p1)(1－p2)
所以E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝p1p2－2p1－p2＋3．
(3)若依次派甲、乙、丙进行闯关，设派出人员数目的期望为E1，由(2)可知，E1＝p1p2－2p1－p2＋3，
若依次派丙、乙、甲进行闯关，设派出人员数目的期望为E2，
则E2＝p3p2－2p3－p2＋3，
则E1－E2＝(p1p2－2p1－p2＋3)－(p3p2－2p3－p2＋3)＝p1p2－2p1－p3p2＋2p3＝p2(p1－p3)－2(p1－p3)＝(p1－p3)(p2－2)，
因为1>p1>p2>p3，所以p1－p3>0，p2－2<0，
所以E1－E2<0，即E1所以要使派出人员数目的期望较小，应先派出甲．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)y＝
(2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7，所以X的分布列为
X 720 840 960
P 0.1 0.2 0.7
E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912，
D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝6 336．
②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为
Y 660 780 900 1 020
P 0.1 0.2 0.16 0.54
则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8，916.8＞912．
从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个．
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