2025年中考数学课件：专项十 几何探究题 课件（75张PPT）

(共75张PPT)
第一部分 专项突破
难点·压轴专项
专项十 几何探究题
几何探究题通常根据基本的几何图形或身边的实物素材（如学具），开展与之
相关的多层次多角度的数学问题探究，借助一定的实物操作与理性思考、分析与探
究，得出一些有价值的猜想与结论，并拓展延伸或应用相关的知识与结论解决问题，
重在经历“问题探究—问题解决”的过程.主要考查类型有：①动点型探究题；②几何
变换操作型探究题；③新定义型探究题；④作图操作型探究题.
类型1 动点型
【解题策略】解决动点问题的关键在于化动为静，抓住其中的等量关系、变量
关系，用运动与变化的观点构建数学模型（函数模型、方程模型或不等式模型）去
分析与解决问题.
例1（1） 问题发现：如图1，点为平面内一动点，且， ，
则的最小值为______， 的最大值为______.
（2） 轻松尝试：如图2，在矩形中，，，为 边的中
点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接 ，则
的最小值为___.
8
（3） 方法运用：在四边形中， ，，，．
① 如图3，当时，求线段 的最大值；
解：如图，以为直角边作等腰直角三角形，则 .
，，， .
.
当取最大值时，最大，即当，，三点共线时，最大，即图中
的长为最大值.
，， .
当时，线段的最大值为 .
② 如图4，当时，用含的式子直接表示出线段 的最大值．
【自主解答】
解：如图，作 ，
且，即 .
，
，
，
.
.
.
当取最大值时，最大，即当，， 三点共线
时，最大，即图中 的长为最大值.
， ，
，
.
.
的最大值为 ．
类型2 几何变换操作型
【解题策略】一是分析变换前图形的形状、位置、大小；二是对变换过程作全
面分析，抓住变换要素及变换过程中的不变量和变量；三是借助变换的性质，化动
为静，动静结合，从特殊情形入手与类比；四是进一步分析与探究相关图形性质的
变与不变.
例2 [2024·赣州模拟] 九年级（1）班同学
在数学老师的指导下，以“等腰三角形的
旋转”为主题，开展数学探究活动．
（1） 如图1， 为等腰三角形，
， ，将 绕
点旋转 ，得到，连接，是的中点，连接，则 ____
____ ，与 的数量关系是________.
【操作探究】
【迁移探究】
（2） 如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转时，点 正好落
在的平分线上，得到，求出此时的度数及与 的数量关系.
【拓展应用】
（3） 如图3，在等腰三角形中，， ．将 绕
点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当 时，
请直接写出 的长．
【自主解答】
（1） 如图1， 为等腰三角形，
， ，将绕点 旋转 ，得到，连接，是
的中点，连接，则____ ，与 的数量关系是___________.
90
【迁移探究】
（2） 如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转时，点 正好落
在的平分线上，得到，求出此时的度数及与 的数量关系.
解：由旋转的性质，可知 .
为等边三角形，平分， 为等边三角形，
， .
.
， ， 是等腰直角三角形.
.
是的中点， .
是等腰直角三角形. .
【拓展应用】
（3） 如图3，在等腰三角形中，， ．将 绕
点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当 时，
请直接写出 的长．
【自主解答】
解：分以下两种情况进行讨论：
①如答图1,当点在 右边时，
， ， 为等腰直角三角形.
.
， .由旋转的性质，得
，
为等边三角形.是的中点，， 平分
.
.
②如答图2，当点在 左边时，
同理，可得 ，， ．
综上所述，的长为 或2．
类型3 新定义型
【解题策略】首先认真阅读与理解新定义图形的概念、性质，将相关内容转化
为熟悉的或已知的内容，在此基础上，结合所学知识分析与求解相关问题.
例3 [2024·吉安三模] 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1、
图2、图3中，，是的中线，，垂足为.像 这样的三角
形均为“中垂三角形”.设，， .
【特例探索】
（1）① 如图1，当 ，时，________， ________.
② 如图2，当 ，时，求和 的值.
【归纳证明】
（2） 请你观察（1）中的计算结果，猜想,, 三者之间的关系，用等式表示出
来，并利用图3证明你发现的关系式.
（3） 利用（2）中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，， 分别为线段
，的中点，连接，并延长，交于点，，分别交于点， ，
如图4所示，求 的值.
【自主解答】
（1）① 如图1，当 ，时，_____， _____.
[解析] 在图1中，， .
.
② 如图2，当 ，时，求和 的值.
[答案] 同理可得，，则， .
【归纳证明】
（2） 请你观察（1）中的计算结果，猜想,, 三者之间的关系，用等式表示出
来，并利用图3证明你发现的关系式.
[答案] 关系式为 .
证明：如图3，易得：， ，则
.
（3） 利用（2）中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，， 分别为线段
，的中点，连接，并延长，交于点，，分别交于点， ，
如图4所示，求 的值.
【自主解答】
[答案] 连接，分别为线段，的中点， ，
.
点，分别是， 的中点.
，， .
同理可得， .
， .
同理可得，则 .
类型4 作图操作型
【解题策略】解答此类作图操作型问题，首先要动手实践与作图，在作图中增
强直观感受与体验，其次弄清作图之后的图形变化特征，上升到理性思考与推理，
最后发现相关图形的形状、位置与大小关系的本质特征.
例4 【课本再现】
（1） 在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即
可证明，其中与 相等的角是________.
【类比迁移】
（2） 如图2，在四边形中，与互余.小明发现四边形 中这
对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点 作
于点，连接，发现，， 之间的数量关系是________.
【方法运用】
（3） 如图3，在四边形中，连接， ，点是 两边垂
直平分线的交点，连接， .
① 求证： .
② 连接，如图4，已知，，，求 的长
（用含， 的式子表示）.
【自主解答】
（1） 在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即
可证明，其中与 相等的角是_______.
【类比迁移】
（2） 如图2，在四边形中，与互余.小明发现四边形 中这
对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点 作
于点，连接，发现，， 之间的数量关系是________________
__.
【方法运用】
（3） 如图3，在四边形中，连接， ，点是 两边垂
直平分线的交点，连接， .
① 求证： .
解:如图3，连接,作的外接圆 .
点是两边垂直平分线的交点， 点是 的外心.
, .
,, .
.
② 连接，如图4，已知，，，求 的长
（用含， 的式子表示）.
【自主解答】
解:如图4，在射线的下方作,过点 作
于点，连接 .
,, .
,., .
. ,
. .
,
, ,
.
.
类型1 新定义型
1.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形
叫作“等邻角四边形”.
（1） 【概念理解】
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的
例子，例如________是等邻角四边形.
（2） 【问题探究】
如图1，在等邻角四边形中，，， 的垂直平分线恰好交
于边上一点，连接，，试探究与 的数量关系，并说明理由.
. .
. .
（3） 【应用拓展】
如图2，在与中， ，， .将
绕着点顺时针旋转角得到 （如图3），当四边
形 为等邻角四边形时，求出它的面积.
（1） 【概念理解】
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如__________________________
_______________是等邻角四边形.
直角梯形或矩形或正方形（答案不唯一）
（2） 【问题探究】
如图1，在等邻角四边形中，，， 的垂直平分线恰好交
于边上一点，连接，，试探究与 的数量关系，并说明理由.
解：.理由如下：连接， ，如图1所示.
是的垂直平分线，是的垂直平分线，， .
，， .
， .
（3） 【应用拓展】
如图2，在与中， ，， .将
绕着点顺时针旋转角得到 （如图3），当四边
形 为等邻角四边形时，求出它的面积.
解：分两种情况考虑：①当时，延长，交于点 ，如答图2
所示.
.
由已知易得 .
设，由勾股定理得 ，
解得 .
过点作于点， .
，即，解得 .
，
.
.
②当 时，过点 作
于点 ，如答图3所示.
易得 ，
.
.
综上所述，四边形的面积为 或
.
2.[2024·中山市一模] 我们定义：对角线互
相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”．
（1） 在我们学过的四边形：①平行四边
形、②矩形、③菱形、④正方形中，是“神
奇四边形”的是________（填序号）.
（2） 如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作 于点
，交于点，连接， ．
① 求证：四边形 是“神奇四边形”.
② 如图2，点，，，分别是，，， 的中点，试判断四边形
是不是“神奇四边形”.
（3） 如图3，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线 翻
折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点.若 ，正方
形的边长为6，求线段 的长．
（1） 在我们学过的四边形：①平行四边
形、②矩形、③菱形、④正方形中，是“神
奇四边形”的是____（填序号）.
④
（2） 如图1，在正方形中，为
上一点，连接，过点作于点 ，
交于点，连接， ．
① 求证：四边形 是“神奇四边形”.
证明： 四边形 是正方形，
.
.
， .
.
在和中，
.又， 四边形 是“神奇四边形”.
② 如图2，点，，，分别是，，， 的中点，试判断四边形
是不是“神奇四边形”.
解：四边形 是“神奇四边形”.理由如下：
，为，的中点，为的中位线.， .
同理，可得，，，，， ，
， 四边形为平行四边形.， .
平行四边形为菱形.，， ，
.
四边形为正方形. 四边形 是“神奇四边形”.
（3） 如图3，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线 翻
折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点.若 ，正方
形的边长为6，求线段 的长．
解：如图3，延长交于点 ，由翻折的性质可知，
，，， .
四边形是正方形，边长为6，， .
， .
.设，则 ，在
中，由勾股定理得：
，.. ，
.
，即线段 的长
为 ．
类型2 几何变换操作型
3.[2024·景德镇二模] 【问题情境】在数学
活动课上，同学们用两张矩形纸片进行探
究活动．小组同学准备了两张矩形纸片
和，其中， ，将
它们按如图1所示的方式放置，点， 分别
【观察发现】
（1） 如图2所示，当 时，小组成员发现与 存在的数量关系为______；
位置关系为________.
落在，边上时，点，恰好为边，的中点．然后将矩形纸片 绕
点按顺时针方向旋转，旋转角为 ，连接与 ．
. .
. .
【探索猜想】
（2） 如图3所示，当 时，
（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明
理由.
【拓展延伸】
（3） 在矩形的旋转过程中，交
于点，交于点，连接， ，
是否为定值？如果是，请直接写
出此定值；如果不是，请你说明理由．
（1） 如图2所示，当 时，小组成员发现与 存在的数量关系为______
__；位置关系为_________.
解：如图2，延长交于点 ．
点，恰好为边， 的中点，
， .
四边形和都是矩形， ，
.
， ，
， ，
．故答案为：； .
[答案] ;
【探索猜想】
（2） 如图3所示，当 时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请
说明理由.
[答案] 当 时，（1）中发现的结论仍然成立．理
由如下：
如图3，连接， .
四边形和都是矩形， .
，即 .
，， .
， .
与交于点，与交于点，则 ，
.
当 时，与的数量关系是 ；位置关
系是 .
【拓展延伸】
（3） 在矩形的旋转过程中，交于点，交于点，连接， ，
是否为定值？如果是，请直接写出此定值；如果不是，请你说明理由．
[答案] 为定值65．理由如下：
由（2）得，、、、 均为直角三角形.
根据勾股定理得：，， ，
，
，
，
，即 为定值65．
类型3 动点型
4.综合与实践
如图1，在中，， ，点是平面内一点，连接， ，
分别以，为斜边向上画等腰直角三角形和，连接， .
. .
. .
【特例感知】
（1） 当点在边上时，延长交于点， .
① 如图2，当是边的中点时，________，____ ；
② 如图3，当不是边的中点时，________，____ .
【猜想证明】
（2） 当点不在边上时，猜想与 的关系，并结合图1进行证明.
【拓展应用】
（3） 如图4，在中，，， ，以 ，
为边向上分别作两个正方形和，它们的中心分别为， ，连接
，试求线段 的长.
（1） 当点在边上时，延长交于点， .
① 如图2，当是边的中点时，_____，____ ；
② 如图3，当不是边的中点时，_____，____ .
90
90
【猜想证明】
（2） 当点不在边上时，猜想与 的关系，并结合图1进行证明.
解：，.证明：如图1，过点作 ，过点
作于点，连接 .
， ， 四边形 是正方形.
， ， .
， ， ，
.
， .
又 ，， ，
.
，.延长交于点 ，
.
.
【拓展应用】
（3） 如图4，在中，，， ，以 ，
为边向上分别作两个正方形和，它们的中心分别为， ，连接
，试求线段 的长.
解：如图4，连接，，， .
正方形和的中心分别为，，和 都是等腰直
角三角形.
以为斜边构造等腰直角三角形，连接，则 .
作的中点，连接 .
过点作交于点，过点作于点 .
， ，
.
在中，.故线段的长为 .
类型4 作图操作型
5.综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.
已知， ，点为上一动点，将以 为对称轴翻折.同
学们经过思考后进行如下探究：
【独立思考】
小明：“当点落在上时， .”
小红：“若点为的中点，给出与的长，就可求出 的长.”
. .
. .
【实践探究】
奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1： 在等腰中，， ，由 翻折得到.
（1） 如图1，当点落在上时，求证： .
（2） 如图2，若点为的中点，，，求 的长.
【问题解决】
小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 的等腰三角形，可以
将问题进一步拓展.
问题2： 如图3，在等腰中， ， ，
.若，求 的长.
问题1： 在等腰中，， ，由 翻折得到.
（1） 如图1，当点落在上时，求证： .
证明：， .
由 翻折得到，
.
， .
（2） 如图2，若点为的中点，，，求 的长.
解：如答图1，连接，交于点 .
由翻折得到，， ，
.
又 点是 的中点，
， .
在中， .
在中， ，
.
【问题解决】
小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 的等腰三角形，可以
将问题进一步拓展.
问题2： 如图3，在等腰中， ， ，
.若，求 的长.
[答案] 如答图2，连接，过点作于点，过点作于点 .
， ，
，
.
，
.
.
又， 四边形 是矩形.
.
在中，， ，
.
， .
在 中，
，
.
在中， .