第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
1.如图，下列条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③在 ABCD中，AC⊥BD；④在 ABCD中，AC＝BD.能判定四边形ABCD为菱形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.[2023秋·沈阳月考]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.求证：四边形ABCD是菱形.
3.[2023·湘西州]如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，NB.
（1）求证：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形BMDN是菱形.
4.（推理能力）如图，在 ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是AD边上的动点，连接EG并延长，交BC的延长线于点F，连接CE，DF.
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形.
参考答案
1.C 2.略
3.略
4.（1）略 （2）4
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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
1.[2023·乐山]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝ .
2.[2023·甘肃]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D.若AB＝6cm，则EF＝ cm.
3.[2022·哈尔滨]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，F为CD的中点，连接OF.若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 .
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分别交于点M，N.
（1）请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长.
5.（推理能力）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合.
（1）求证：不论点E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF.
（2）当点E，F分别在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.
参考答案
1. 2.2 3.2
4.（1）OM＝ON.理由略. （2）4＋20
5.（1）略
（2）当点E，F分别在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4，而△CEF的面积发生变化，其最大值为.
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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第3课时 菱形的性质与判定的综合
1.[2023·西藏]如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是（ ）
A. B.3 C. D.6
2.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且BE＝DF，连接AC.
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD，若AB＝5，AC＝6，则BD的长为 .
3.[2023秋·沈阳期中]如图，在 ABCD中，AD⊥BD，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若∠A＝60°，AD＝5，求四边形BFDE的面积.
4.[2022·安徽]如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.
（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形.
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.
①求∠CED的大小；
②若AF＝AE，求证：BE＝CF.
图1 图2
5.（推理能力）[2023秋·于洪区期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，E，F分别是边CD，CB上的点，连接BE，DF相交于点G，BE＝DF.添加下列条件之一，使四边形ABCD成为菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥CB.
（1）你添加的条件是 （填序号），并证明；
（2）在（1）的条件下，连接CG，若CG＝2，BC＝2，BG＝2，求菱形ABCD的面积.
参考答案
1.D
2.（1）略 （2）8
3.（1）略 （2）
4.（1）略 （2）①60° ②略
5.（1）② 证明略 （2）16
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