江苏省邗江中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题

江苏省邗江中学2015-2016学年度第二学期
高二数学期末试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．设集合P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q=
▲
．
2．设复数（为虚数单位），则||=_____▲________．
3．=_______▲__________．
4．函数的定义域为___▲______．
5.设，则a，b，c的大小关系为
▲
.（用<号表示）
6．已知p：m-1▲
.
7.从1,2,3,4,5,6，这6个数中任取两个不同的数，则这两个数的和是偶数的概率为
▲
.
8.已知幂函数y=f（x）的图像过点（），则
▲
.
【理】9．在的展开式中，常数项=
▲
.
【文】9.若角的终边经过P，则sintan的值是
▲
.
【理】10.已知函数则方程f（1-x2）=f（2x）的解集是
▲
.
【文】10.如果直线l1：x+2my-1=0与l2：（3m-1）x-my-1=0垂直，那么实数m的值为
▲
.
11．记为区间[]的长度.已知函数y=，其值域为[m,n],则[m，n]的长度的最小值是
▲
.
12．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是
▲
.
【理】13.设集合A=，那么集合A中满足条件“”的元素个数为
▲
.
【文】13.若的值为
▲
.
14．已知函数若函数y=f（f（x））-有且只有3个零点，则实数k的取值范围是
▲
.
第Ⅱ卷（解答题
共90分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（本小题满分14分）
已知集合A={a|，不等式对恒成立}，B={x|}.
(1)若k=1，求AB;
(2)若，求实数k的取值范围.
【理】16（本小题满分14分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
求乙投球的命中率；
求甲投球2次，至少命中1次的概率；
若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率.
【文】16.已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的函数值的取值范围.
17（本小题满分14分）
已知函数是奇函数，f（x）=是偶函数.
求m+n的值；
设h（x）=f（x）+若g（x）>h[log4(2a+1)]
对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围.
18（本小题满分16分）
某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖
( http: / / www.21cnjy.com )网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长56元，筛网(图中虚线部分)的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计．
(1)
把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数，并求出最低造价；
(2)
若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？(结果精确到0.01米)
19（本小题满分16分）
设为实数，函数
(1)求的最小值；
(2)设函数，求不等式的解集.
20（本小题满分16分）
对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
（1）判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；
（2）已知函数是“(1,4)型函数”,且当时,,若当时,都有成立,,试求的取值范围.
江苏省邗江中学2015-2016学年度第二学期
高二数学期终试卷
（理科附加题）
21.已知矩阵
( http: / / www.21cnjy.com )的一个特征值为,求.
22.在极坐标系中，求圆上的点到直线
（）距离的最大值.
23.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中
( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝3，AA1＝AC＝4，
AA1⊥平面ABC；
AB⊥AC，
（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．
24.
设集合，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的表达式，并证明之.
江苏省邗江中学2015-2016学年度第二学期
高二数学期终试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．设集合P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q=
{0,2}
．
2．设复数（为虚数单位），则||=_____________．
3．=_______▲__________．
4．函数的定义域为__（0,1）∪（1,2]_▲______．
5.设，则a，b，c的大小关系为
c（用<号表示）
6．已知p：m-1[3,5]
7.从1,2,3,4,5,6，这6个数中任取两个不同的数，则这两个数的和是偶数的概率为
.3/4
8.已知幂函数y=f（x）的图像过点（），则
.
【理】9．在的展开式中，常数项=
▲
.-160
【文】9.若角的终边经过P，则sintan的值是
▲
.16/15
【理】10.已知函数则方程f（1-x2）=f（2x）的解集是
▲
.
【文】10.如果直线l1：x+2my-1=0与l2：（3m-1）x-my-1=0垂直，那么实数m的值为
▲
.
1或1/2
11．记为区间[]的长度.已知函数y=，其值域为[m,n],则[m，n]的长度的最小值是
▲
.3
12．设f(x)是定义在R上的周期为2的函
( http: / / www.21cnjy.com )数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是
▲
.
f(x)=3－|x+1|
【理】13.设集合A=，那么集合A中满足条件“”的元素个数为
▲
.130
【文】13.若的值为
▲
.
14．已知函数若函数y=f（f（x））-有且只有3个零点，则实数k的取值范围是
（]
第Ⅱ卷（解答题
共90分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（本小题满分14分）
已知集合A={a|，不等式对恒成立}，B={x|}.
(1)若k=1，求AB;
(2)若，求实数k的取值范围.
答案(1)AB=(-2,3)
(2)k≤0或k≥6
理16（本小题满分14分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
求乙投球的命中率；
求甲投球2次，至少命中1次的概率；
若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率.
设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B
[1-P(B)]2=(1-p)2=1/16,p=3/4
(2)1-P()=3/4
(3)
文16：已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的函数值的取值范围.
解:
(1)因为……………………………………………………………4分
……………………………………………………………………………………………6分
故的最小正周期为………………………………………………………………………………8分
(2)当时,…………………………………………………………………10分
故所求的值域为………………………………………………………………………………14分
17.已知函数是奇函数，f（x）=是偶函数.
求m+n的值；
设h（x）=f（x）+若g（x）>h[log4(2a+1)]
对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围.
答案（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即，n=1，由于f（x）=log4（4x+1）+mx，
∴f（-x）=log4（4-x+1）-mx=log4（4x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得到m=-，由此可得：m+n的值为
∵h（x）=f（x）+x=log4（4x+1），∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2）
又∵g（x）=在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g（x）min=g（1）=
由题意；a的取值范围{a|-1/218.某水产养殖场拟造一个
( http: / / www.21cnjy.com )无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长56元，筛网(图中虚线部分)的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计．
(1)
把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数，并求出最低造价；
(2)若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？(结果精确到0.01米)
解：（Ⅰ）由题意得
………………………
5分
＝13120．………………
6分
当且仅当即时，取得最小值，即有最低造价为13120元．…
8分
（Ⅱ）由题意得，解得．
……………
10分
设（），则．…
12分
因为当时，有恒成立，
所以当时，函数单调递减．
………………………
14分
所以当时，函数有最小值，y也有最小值，此时．…
15分
答：当网箱长为15米，宽为10.67米时，可使总造价最低．…………
16分
19.设为实数，函数
(1)求的最小值；(2)设函数，求不等式的解集.
解：（1）当时，
( http: / / www.21cnjy.com )；
…………2分
当时，…………4分
∴综上
( http: / / www.21cnjy.com ).…………7分
（2）当时，解集为；…………10分
当时，解集为；…………13分
当时，解集为.…………16分
20.对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
（1）判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；
（2）已知函数是“(1,4)型函数”,且当时,,若当时,都有成立,,试求的取值范围.
解:
(1)函数是“()型函数”…………………………………………………………2分
因为由,得,所以存在这样的实数对,如………………6分
(2)
由题意得,,所以当时,
,其中,
而时,,且其对称轴方程为,
当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,此时无解………………………11分
②当,即时,的值域为,即,所以则在
上的值域为,则由题意得且,解得……………………………………………………………………13分
当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,
则,解得.
综上所述,所求的取值范围是…………………………………………………16分
江苏省邗江中学2015-2016学年度第二学期
高二数学期终试卷
（理科附加题）
21.已知矩阵
( http: / / www.21cnjy.com )的一个特征值为,求.
解：代入
( http: / / www.21cnjy.com )，得
矩阵
( http: / / www.21cnjy.com )
……………5分
∴
……………10分
22.在极坐标系中，求圆上的点到直线
（）距离的最大值.
解：圆的直角坐标方程为，
…………3分
直线的直角坐标方程为，
…………6分
圆心到直线的距离为，则圆上点到直线距离最大值为．
…………10分
23.如图，在三棱柱ABC－A1B1C
( http: / / www.21cnjy.com )1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，
AA1⊥平面ABC；
AB⊥AC，
（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．
【解析】（1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,
则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为,
则,即,
令,则,,所以.
同理可得,平面BB1C1的法向量为,
所以.
由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.
………5分
( http: / / www.21cnjy.com )
24.
设集合，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的表达式，并证明之.
( http: / / www.21cnjy.com )