苏科版九年级数学下册第6章 图形的相似 章节测试卷(含详解)

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名称 苏科版九年级数学下册第6章 图形的相似 章节测试卷(含详解)
格式 docx
文件大小 1.7MB
资源类型 教案
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2025-05-22 12:05:27

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文档简介

第6章 《图形的相似》章节测试卷
一.选择题(共8小题,满分16分,每小题2分)
1.若a和b都不为零,且3a=4b,则下列比例中正确的是(  )
A. B. C. D.
2.如图,在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为(  )
A.135° B.90° C.60° D.45°
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为(  )
A.14 B.7 C.6 D.5
4.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE=2cm,BD,EF交于点G.若EG=FG,则BG的长为(  )
A. B. C. D.
5.凸透镜成像的原理如图所示,AG∥l∥HC.若缩小的实像是物体的,则物体到焦点F1的距离与焦点F2到凸透镜的中心线GH的距离之比为(焦点F1和F2关于O点对称)(  )
A. B. C.3 D.
6.如图,正六边形ABCDEF外作正方形DEGH,连接AH交DE于点O,则等于(  )
A.3 B. C.2 D.
7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形,点A在线段OA上,AA′=2OA.若点B的坐标为(2,1),则点B′的坐标为(  )
A.(4,2) B.(6,3) C.(8,4) D.(1,0.5)
8.如图,在△ABC中,点D、E在AC、BC边上,连接DE并延长交AB延长线于点G.过D作DF⊥AG于F.若2∠ADF=∠G,CE:BE=2:1,AD=2,AF=2,GE=4,则BA的长度为(  )
A. B. C.9 D.12
二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)
9.若,则    .
10.如图,校园里一片小小的树叶,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么BP的长度为   cm.
11.如图,在 ABCD中,AE=2BE,F是BC的中点,EF交BD于点O,EF的延长线交DC的延长线于G点,那么S△BOE:S△DOG=    .
12.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上,AEAD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE,CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍,则AD=    .
13.如图,菱形ABCD中,EF⊥AC于点H,分别交AD及CB的延长线交于点E、F,且AE:FB=1:2,则AH:HC的值为    .
14.如图,点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点,.连接DE并延长,交AB于点G,过点G作GF∥AC,交BC于点F,平行四边形ABCD的面积为72.则四边形EGFC的面积为   .
15.如图,四边形ABCD为矩形,AB,BC,点E为AB边上一点,将△BCE沿CE翻折,点B的对应点为点F,过点F作FG∥CE交DC于点G,若DG:GC=1:4,则FG的长为    .
16.如图,在平面直角坐标系中,点A和点C是反比例函数图象上的两点,以AC为边作等边△ABC,反比例函数恰好过点B,则k值为    .
17.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,点P为CD上一点,∠APB=120°,若AB=6,CD=4,则PA PB的最大值为    ,PA+PB的最大值为    .
18.如图,在平面直角坐标系中,以点A(0,2)为圆心,2为半径的圆交y轴于点B.已知点C(2,0),点D为⊙A上的一动点,以CD为斜边,在CD左侧作等腰直角三角形CDE,连接BC,则△BCE面积的最小值为   .
三.解答题(共8小题,满分64分)
19.(6分)如图,过点P作两条直线分别与圆交于A,B和C,D两点,分别求证:PA PB=PC PD.
20.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB>CD,点E,F分别在线段AC,BC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:AF=DE;
(2)若AF2=BF CE,求证:∠ABC=∠CDE.
21.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示,每个小正方形的边长为1,以原点O为位似中心,在第一象限内,对△ABC进行位似变换,得到△DEF(点A,B,C分别对应点D,E,F),且△ABC与△DEF的相似比为2:1.其中点B坐标为(4,2).
(1)画出△DEF;
(2)点E坐标为    ;
(3)线段AC上一点(x,y)经过变换后对应的点的坐标为    .
22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣2,2)、B(﹣4,0)、C(﹣4,﹣4).
(1)在y轴右侧、以O为位似中心,将△ABC按相似比为1:2缩小,画出△A'B'C';
(2)在线段AC上找一点P使AP:PC=2:3.
23.(8分)如图, ABCD中,点E是AD的中点,连结CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB;
(2)点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H,若AG=2,FG=6,求CH的长.
24.(8分)如图,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC,垂足为D,点E与点A在直径BC的两侧,且,BE、AC的延长线交于点G,BE与AD的延长线交于点F.
(1)判断△FAG的形状,并说明理由.
(2)若⊙O的半径为5,OD=2,求AF的长.
25.(8分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P、Q两点同时开始运动,当点P运动到点B时停止,点Q也随之停止.设运动时间为t(s).
(1)当移动几秒时,△BPQ的面积为9cm2?
(2)当移动几秒时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?
26.(10分)【观察与猜想】
(1)如图1,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、AB上,连接DF与CE交于点O,若∠FOC=90°,且AD=8,CD=5,则   ;
【类比探究】
(2)如图2,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边AD、AB上,连接DF与CE交于点O,当∠FOC与∠A满足什么关系时,成立?请说明理由;
【拓展延伸】
(3)如图3,在四边形ABCD中,,AB=7,∠A=∠BCD=120°,,点E在边AD上,连接DB与CE交于点O,当∠BOC=∠A时,求的值.
参考答案
一.选择题
1.
【分析】根据逆用比例的基本性质,将乘积式化成比例式,逐个判定即可.
【解答】解:A、∵3a=4b,
∴,错误,不符合题意;
B、∵3a=4b,
∴,正确,符合题意;
C、∵3a=4b,
∴,错误,不符合题意;
D、∵3a=4b,
∴,错误,不符合题意.
故选:B.
2.
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出.
【解答】解:∵AB、AC,BC=5,DE、EF=2,DF,
∴,
∴△ABC∽△DEF,
∴∠BAC=∠DEF=180°﹣45°=135°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=45°.
故选:D.
3.
【分析】根据已知条件可以推出△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来,利用对应边的比相等,即可推出x的值.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,放置边长分别为3,4,x的三个正方形,
∴∠MOE=90°,∠FPN=90°,EF=x,MO=3,PN=4,
∵∠OME+∠OEM=90°,∠PFN+∠PNF=90°,∠CEF+∠CFE=90°,∠CEF+∠OEM=90°,∠CFE+∠PFN=90°,
∴∠OME=∠PFN=∠CEF,∠OEM=∠PNF=∠CFE,
∴△OME∽△PFN,
∴OE:PN=OM:PF,
∴OE=x﹣3,PF=x﹣4,
∴(x﹣3):4=3:(x﹣4),
整理得:x2﹣7x=0,
解得:x=0或x=7,
经检验,x=7是方程的根,
故选:B.
4.
【分析】由矩形的性质得CD=AB=6cm,∠EBF=∠C=90°,求得DB10cm,而AE=2cm,则BE=4cm,因为EG=FG,所以BG=FGEF,则∠BFE=∠CBD,即可证明△BFE∽△CBD,得,则EFDB,所以BG,于是得到问题的答案.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,AB=6cm,BC=8cm,点E,F分别在边AB,BC上,
∴CD=AB=6cm,∠EBF=∠C=90°,
∴DB10(cm),
∵AE=2cm,
∴BE=AB﹣AE=6﹣2=4(cm),
∵BD,EF交于点G,且EG=FG,
∴BG=FG=EGEF,
∴∠BFE=∠CBD,
∴△BFE∽△CBD,
∴,
∴EFDB10,
∴BG,
故选:B.
5.
【分析】先证明四边形OHCD是矩形,得到OH=CD,再利用相似三角形的性质解决问题即可.
【解答】解:∵l∥HC,CD⊥l,OH⊥l,
∴四边形OHCD是矩形,
∴OH=CD,
∵AB∥OH,
∴△ABF1∽△HOF1,
∴,
∵缩小的实像是物体的,
∴,
∴,
∵焦点F1和F2关于O点对称,
∴OF1=OF2,
∴,
故选:A.
6.
【分析】连接BD,如图所示:由正六边形和正方形的性质得:B、D、H三点共线,设正六边形的边长为a,则AB=BC=CD=DE=a,解直角三角形求出BD,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【解答】解:连接BD,如图所示:
由正六边形和正方形的性质得:B、D、H三点共线,
设正六边形的边长为a,则AB=BC=CD=DE=a,
∵在△BCD中,BC=CD=a,∠BCD=120°,
∴BDa.
∵OD∥AB,
∴,
故选:B.
7.
【分析】根据AA′=2OA求出△ABC与△A′B′C′的位似比,根据位似变换的性质解答即可.
【解答】解:∵△ABC和△A′B′C′是位似图形,AA′=2OA,
∴OA:OA′=1:3.
∴△ABC与△A′B′C′的位似比为:1:3,
∵点B的坐标为(2,1),
∴点B′的坐标为(6,3),
故选:B.
8.
【分析】设∠FDA=α,则∠G=2α,然后证明GA=GD,设GD=x,利用勾股定理列出方程求出x=10,过点B作BQ∥GD交AC于点Q,得△BQC∽△EDC,对应边成比例代入值求出BQ=9,然后证明AB=BQ,即可解决问题.
【解答】解:如图,设∠FDA=α,则∠G=2α,
∵DF⊥AG,
∴∠AFD=90°,
∴∠A=90°﹣α,
∴∠ADG=180°﹣2α﹣(90°﹣α)=90°﹣α,
∴∠ADG=∠A,
∴GA=GD,
∵AD=2,AF=2,
∴DF6,
设GD=x,
∴GF=AG﹣AF=DG﹣AF=x﹣2,
在Rt△GFD中,根据勾股定理得:GD2=GF2+DF2,
∴x2=(x﹣2)2+62,
∴x=10,
∴GD=10,
∵GE=4,
∴DE=GD﹣GE=6,
过点B作BQ∥GD交AC于点Q,
∴△BQC∽△EDC,
∴,
∵CE:BE=2:1,
∴,
∴BQ=9,
∵GA=GD,
∴∠A=∠GDA,
∵BQ∥GD,
∴∠BQA=∠GDA,
∴∠A=∠BQA,
∴AB=BQ=9,
故选:C.
二.填空题
9.
【分析】根据比例的性质设a=5k,b=2k,代入计算即可求解.
【解答】解:设a=5k,b=2k,
则,
故答案为:.
10.
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
【解答】解:因为P为AB的黄金分割点(AP>PB),
所以.
又因为AB=10cm,
所以AP=()cm,
所以BP=AB﹣AP=10﹣()=()cm.
故答案为:().
11.
【分析】根据平行四边形的性质证明△BEF≌△CGF(ASA),得BE=CG,所以DG=4BE,然后证明△BOE∽△DOG,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解决问题.
【解答】解:在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
∴∠EBF=∠GCF,
∵F是BC的中点,
∴BF=CF,
在△BEF和△CGF中,

∴△BEF≌△CGF(ASA)
∴BE=CG,
∵AE=2BE,
∴AB=AE+BE=3BE,
∴DG=DC+CG=AB+BE=4BE,
∵AB∥CD,
∴△BOE∽△DOG,
∴△BOE的面积:△DOG的面积=(BE:DG)2=(1:4)2=1:16.
故答案为:1:16.
12.
【分析】设AD=x,,根据折叠性质得DF=AD=x,∠ADE=∠FDE,过E作EH⊥AC于H,设EF与AC相交于M,证明△AHE∽△ACB,得到,进而得到EH=x,AH=2x,证明Rt△EHD是等腰直角三角形,得到∠HDE=∠HED=45°,可得∠FDM=90°,证明△FDM≌△EHM(AAS),得到,则,根据三角形的面积公式结合已知可得,然后解一元二次方程求解x的值即可.
【解答】解:∵,
∴设AD=x,,
∵△ADE沿DE翻折,得到△FDE,
∴DF=AD=x,∠ADE=∠FDE,
过E作EH⊥AC于H,设EF与AC相交于M,
则∠AHE=∠ACB=90°,
又∵∠A=∠A,
∴△AHE∽△ACB,
∴,
∵CB=5,CA=10,,
∴,
∴EH=x,,则DH=AH﹣AD=x=EH,
∴Rt△EHD是等腰直角三角形,
∴∠HDE=∠HED=45°,则∠ADE=∠EDF=135°,
∴∠FDM=135°﹣45°=90°,
在△FDM和△EHM中,

∴△FDM≌△EHM(AAS),
∴,,
∴,
25﹣5x,
∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍,
∴,
则3x2﹣40x+100=0,
解得,x2=10(舍去),
则,
故答案为:.
13.
【分析】连接BD,证明△AEG∽△BFG,求出的值,平行线分线段成比例,得到的值,进而得到的值,证明△AHE∽△BHF,列出比例式进行求解即可.
【解答】解:连接BD,设EF,AB交于点G,
∵四边形ABCD是菱形,AC、BD是菱形的对角线,
∴AD∥BC,AD=BC,BD⊥AC,
∴△AEG∽△BFG,
∴,
∵AE:FB=1:2,
∴,
∵EF⊥AC,
∴EF∥BD,
∴,
∴,
∴BC=AD=3AE,
∵AE:FB=1:2,
∴BF=2AE,
∴CF=BF+BC=5AE,
∵AD∥BC,
∴△AHE∽△BHF,
∴;
故答案为:.
14.
【分析】根据平行四边形的性质,证明△AEG∽△CED,得到,进而得到,求出的值,证明△BFG∽△BCA,根据面积比等于相似比的平方,求出△AEG,△BFG的面积,分割法求出四边形EGFC的面积即可.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,且平行四边形ABCD的面积为72,
∴AB∥CD,AB=CD,S△ACD=S△ABCS ABCD=36,
∵,
∴AE:EC=1:3,
∴S△DECS△ACD=27,
∵AB∥CD,
∴△AEG∽△CED,
∴,
∴,S△AEG:S△DCE=1:9,
∴,S△AEGS△DCE=3,
∵GF∥AC,
∴△BFG∽△BCA,
∴,
∴S△BFGS△BCA=16,
∴四边形EGFC的面积=S△BCA﹣S△BFG﹣S△AEG=36﹣16﹣3=17,
故答案为:17.
15.
【分析】设EF与CG的交点为M,可得△CEM和△GFM是等腰三角形,设GM=x,则CM=2﹣x,在Rt△CFM中,根据勾股定理可建立方程,求出x的值,表达GM和CM的值,进而可得BE的长;再根据勾股定理可得CE的长,由平行可得△GFM和△CEM相似,根据相似比可得最终结果.
【解答】解:设EF与CG的交点为M,
在矩形ABCD中,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,
∴∠DCE=∠BEC,
由折叠可知,∠BEC=∠FEC,BE=EF,BC=CF,
∴∠FEC=∠DEC,
∴EM=CM,
∵FG∥CE,
∴△GFM∽△CEM,
∴GM:FM=CM:EM=1:1,FG:CE=GM:EM,
∴GM=FM,EF=CG=2,
∵DG:GC=1:4,AB,
∴DG,CG=EF=2,
∴CE,
设GM=x,则CM=2﹣x;
∴FM=GM=x,CM=EM=2﹣x,
在Rt△CFM中,∠CFM=∠B=90°,
由勾股定理可得CF2+FM2=CM2,
即()2+x2=(2﹣x)2,
解得x,
∴GM=FM,CM=EM,
∴GF::,
∴GF.
故答案为:.
16.
【分析】如图,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N.利用相似三角形的性质求出△OBN的面积,可得结论.
【解答】解:如图,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N.
设A(m,n),则有mn=1,
∵△ABC是等边三角形,OA=OC,
∴OB⊥AC,OBOA,
∵∠AMO=∠BNO=∠AOB=90°,
∴∠AOM+∠BON=90°,∠BON+∠OBN=90°,
∴∠AOM=∠OBN,
∴△AMO∽△ONB,
∴()2,
∵S△AMO,
∴S△ONB,
∴,
∵k<0,
∴k=﹣3.
故答案为:﹣3.
17.
【分析】延长AP交⊙O于点F,连接BF,DF,AC,利用直径所对的圆周角为直角,含30°的直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质得到PA PB=2PC PD,再利用完全平方式和非负数的意义得到PA PB≤8;设PA=a,PB=b,则PFb,BFb,在Rt△ABF中,由勾股定理可得,AF2+BF2=AB2,所以(ab)2+(b)2=62,整理得到(a+b)2=36+ab,再根据ab最大值求解即可.
【解答】解:延长AP交⊙O于点F,连接BF,DF,AC,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∵∠APB=120°,
∴∠FPB=60°,
∴∠PBF=30°,
∴PFPB.
∵∠CAP=∠D,∠C=∠PFD,
∴△PAC∽△PDF,
∴.
∴PA PF=PC PD,
∴PA PB=PC PD,
∴PA PB=2PC PD.
∵CD=4,
∴PC+PD=4,
∵(PC﹣PD)2≥0,
∴(PC+PD)2﹣4PC PD≥0,
∴16﹣4PC PD≥0.
∴4PC PD≤16,
∴2PC PD≤8.
∴PA PB≤8,
∴PA PB的最大值为8;
设PA=a,PB=b,则PFb,BFb,
∴AF=PA+PF=ab,
在Rt△ABF中,由勾股定理可得,AF2+BF2=AB2,
∴(ab)2+(b)2=62,
整理得,a2+ab+b2=36,
∴(a+b)2=36+ab,
∵ab≤8,
∴(a+b)2=36+ab≤44,
∴a+b,
∴PA+PB最大值为2.故答案为:8;2.
18.
【分析】设出点E(m,n),先构造出△CME≌△END(AAS),进而确定出点D(m+n,n+2﹣m),再利用AD=2,建立方程,利用两点间的距离得出点E是以O为圆心,为半径的圆上,即可得出结论.
【解答】解:如图,设E(m,n),
过点E作EM⊥x轴于M,过点作DN⊥EM,交ME的延长线于N,
∴∠CME=∠END=90°,
∴∠MCE+∠MEC=90°,
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴CE=DE,∠CED=90°,
∴∠NED+∠MEC=90°,
∴∠MCE=∠NED,
∴△CME≌△END(AAS),
∴EM=DN=n,CM=EN=2﹣m,
∴D(m+n,n+2﹣m),
∵点D在以A(0,2)为圆心半径为2的圆上,
连接AD,则AD=2,
∴2,
∴,
即,
∴点E在以点O为圆心,为半径的圆上,(到定点(0,0)的距离是的点的轨迹),
∵以点A(0,2)为圆心,2为半径的圆交y轴于点B,
∴B(0,4),
∴OB=4,
∵C(2,0),
∴OC=2,
∴BC=2,
过点O作OH⊥BC于H,
∴OH,
设点E到BC的距离为h,
∴S△BCEBC hhh,
∴h最小时,S△BCE最小,而h最小=OH,
∴S△BCE最小()=4;
方法2:∵OA=OC,
∴∠ACO=45°,
∵∠ECD=45°,
∴∠OCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,
∴∠OCE=∠ACD,
∵,
∴△COE∽△CAD,
∴,
∵AD=2,
∴OE,
当OE⊥BC时,△BCE的面积最小,
∵OB=4,OC=2,
∴h,
∴△BCE的面积的最小值为2()=4;
故答案为:4.
三.解答题
19.解:如图1,
∵A、B、C、D都在同一个圆上,
∴∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△ACP∽△DBP,
∴,
∴PA PB=PC PD;
当四边形ABCD是圆内接四边形时,如图2,连接AD,BC,
∴∠A+∠BCD=180°,
∵∠BCP+∠BCD=180°,
∴∠BCP=∠A,
又∵∠P=∠P,
∴△PBC∽△PDA,
∴,
∴PA PB=PC PD.
20.(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠ACF,
在△ADE和△CAF中,

∴△ADE≌△CAF(ASA),
∴AF=DE;
(2)证明:∵△ADE≌△CAF,
∴∠AED=∠CFA,
∴∠CED=∠AFB.
∵AF2=BF CE,
∴,
∵AF=DE,
∴,
∴△ABF∽△CDE,
∴∠ABC=∠CDE.
21.解:(1)如图所示,△DEF即为所求;
(2)∵△ABC与△DEF关于原点位似,且相似比为2:1,B(4,2),
∴点E的坐标为(2,1),
故答案为:(2,1);
(3)∵△ABC与△DEF关于原点位似,且相似比为2:1,
∴线段AC上一点(x,y)经过变换后对应的点的坐标为 ,
故答案为:.
22.解:(1)如图,△A′B′C′即为所求.
(2)如图所示,点P即为所求.
取格点D(2,﹣3),连接CD,
∵C(﹣4,﹣4),D(2,﹣3),E(﹣2,0)、F(﹣4,﹣1),
∴CF=DE=3,CF∥DE,
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴EF∥CD,
∴,
∵A(﹣2,2),
∴AE=2,
∴.
23.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD∥AB,
∴∠D=∠FAD,∠DCE=∠F,
∵E是AD的中点,
∴DE=AE,
∴△CDE≌△FAE(AAS),
∴CE=EF,
∵AE∥BC,
∴1,
∴AF=AB;
(2)解:∵AG=2,FG=6,
∴AF=FG+AG=6+2=8,
∴AB=AF=8,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=8,
∵∠DCE=∠F,∠FCG=∠FCD,
∴∠F=∠FCG,
∴CG=FG=6,
∵CD∥AF,
∴△DCH∽△AGH,
∴,即,
∴GH=1.2,
∴CH=GC﹣GH=4.8.
24.解:(1)△FAG是等腰三角形,
理由:∵,
∴∠ACB=∠ABE,
∵∠ACB=∠G+∠CBE,∠ABE=∠ABC+∠CBE,
∴∠G+∠CBE=∠ABC+∠CBE,
∴∠G=∠ABC,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD⊥BC于点D,
∴∠BDA=90°,
∴∠FAG=∠ABC=90°﹣∠BAF,
∵∠G=∠FAG,
∴AF=GF,
∴△FAG是等腰三角形.
(2)连接OA,
∵⊙O的半径为5,OD=2,
∴OA=OB=5,
∴AD,BD=OB+OD=7,
∵∠FBA+∠G=90°,∠FAB+∠FAG=90°,且∠G=∠FAG,
∴∠FBA=∠FAB,
∴BF=AF,
∵∠BDF=90°,FD=AF,
∴BD2+FD2=BF2,
∴72+(AF)2=AF2,
解得AF,
∴AF的长是.
25.解:(1)设当移动x秒时,△BPQ的面积为9cm2,则AP=x cm,BQ=2x cm,BP=(6﹣x)cm,
∵,△BPQ的面积为9cm2,
∴9cm2,
∴(6﹣x) 2x=9,
解得:x1=x2=3,
即移动3秒时,△BPQ的面积为9cm2;
(2)设移动a秒时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,
∵∠PBQ=∠ABC,
∴或,
∴或,
解得:a或3,
所以移动秒或3秒时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.
26.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠CDE=90°,
∴∠AFD+∠ADF=90°,
∵∠FOC=∠EOD=90°,
∴∠ADF+∠CED=90°,
∴∠CED=∠AFD,
∴△DAF∽△CDE,
∴,
∵AD=8,CD=5,
∴,
故答案为:;
(2)当∠FOC=∠A时,成立,理由如下:
∵∠FOC=∠A,∠DOE=∠FOC,
∴∠DOE=∠A,
又∵∠ODE=∠ADF,
∴△ODE∽△ADF,
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,AB=CD,
∴∠A+∠ADC=180°,
又∵∠FOC+∠COD=180°,
∴∠ADC=∠COD,
∵∠DCE=∠OCD,
∴△DCE∽△OCD,
∴,
∴,
∴,即;
(3)如图所示,过点C作CN∥AD交AB延长线于N,过点D作DM∥AB交NC延长线于M,则四边形DANM是平行四边形,
∴∠M=∠A=120°,DM=AN,,
同(2)可得,
在NM上取一点P使得NB=NP,连接BP,
∵AD∥MN,∠A=120°,
∴∠N=60°,
∴△NBP是等边三角形,
∴BP=NB=NP,∠BPN=60°,
∴∠BPC=120°=∠M;
∵∠BCD=120°,
∴∠PCB+∠PBC=60°=∠PCB+∠MCD,
∴∠PBC=∠MCD,
∴△PBC∽△MCD,
∴,
设DM=3x,则PC=4x,BP=PN=BN=AN﹣AB=3x﹣7,
∴,
∵,
∴,
解得x=3,
∴DM=3x=9,
∴.