苏科版九年级数学下册第7章 锐角三角函数 章节测试卷(含详解)

第7章《锐角三角函数》章节测试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．下列条件中，不能解直角三角形的是（　　）
A．已知两条直角边
B．已知斜边和一条直角边
C．已知两锐角
D．已知一边与一锐角
2．下列各式中不成立的是（　　）
A．sin260°+sin230°＝1 B．tan45°＞tan30°
C．tan45°＞sin45° D．sin30°+cos30°＝1
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值为（　　）
A． B．2 C． D．
4．如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（　　）
A．6cos52°米 B．6sin52°米 C．米 D．米
6．在△ABC中，AB＝BC，DA⊥AB交CB延长线于点D，DE⊥CA，垂足为E．若tan∠C＝k，CD＝1，则AD的值为（　　）
A．k B． C．k2 D．
7．如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15km到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离AC为（　　）km．
A． B． C．30 D．
8．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB，则tanC的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．某同学沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26m，那么他的高度上升了　 　m．
10．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是 　 　．
11．如图，两根竹竿AB和AC斜靠在与地面OF垂直的墙OE上，量得∠ACO＝45°，∠ABO＝30°，则的值为 　 　．
12．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E，．则CD的长为 　 　．
14．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为，则cosα等于 　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，，点M是边AB的中点，点N是边AD上一点，若一条光线从点M射出，先到达点N，再经AD反射后经过点C，则的值为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B，D为BC上一点，若满足CDBD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则 　 　．
17．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 　 　．
18．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC，AD＝3，CD＝4，BD的取值范围为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）
19．（8分）已知在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，根据下列条件解直角三角形．
（1）已知∠A＝45°，c＝6，求a；
（2）已知，，求c和∠B．
20．（8分）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面6m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB．（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）．
21．（8分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4．
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）
22．（8分）如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是：30°和37°，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高AB约是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．（8分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
24．（8分）旅游旺季，某沙漠景区吸引了大量游客，为了更好的参观，特绘制了沙漠线路的平面示意图．景点B在入口A的正西方向，景点C在景点B的正北方向，景点D在入口A的北偏西30°方向1000米处，景点D在景点C的东南方向1800飞米处．（参考数据：1.41，1.73）
（1）求AB的长度；（结果精确到个位）
（2）小明和小华从入口A处进入，约定一起到景点C处看日落．小明选择步行①A﹣D﹣C，步行速度为90米/分钟，在景点D处停留5分钟观赏沙漠中的泉水景观，然后按原速继续向景点C前进．小华选择骑骆驼②A﹣B﹣C，在景点B处不停留，骆驼队伍速度为110米/分钟，若两人同时从入口A出发，请计算说明小明和小华谁先到达景点C？（结果精确到0.1）
25．（8分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）
26．（8分）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）如图2，当B、C、D三点共线，CD＝40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度；
（2）调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如图3所示，且点D到地面的距离为140cm，求CD的长．（结果精确到1cm）
参考答案
一．选择题
1．
【分析】根据四个选项中所给条件，结合解直角三角形的步骤依次进行判断即可．
【解答】解：当已知两条直角边时，
可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数，
所以这个直角三角形可解．
故A选项不符合题意．
当已知斜边和一条直角边时，
可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值，
可利用勾股定理求出另一条直角边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数，
所以这个直角三角形可解．
故B选项不符合题意．
当已知两锐角时，
此直角三角形的大小无法确定，
所以这个直角三角形不可解．
故C选项符合题意．
当已知一边与一锐角时，
可先求出另一个锐角，再借助正弦或余弦求出剩余的边即可，
所以这个直角三角形可解．
故D选项不符合题意．
故选：C．
2．
【分析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
【解答】解：A．sin260°+sin230°＝（）2+（）21，因此选项A不符合题意；
B．tan45°＝1，tan30°，所以tan45°＞tan30°，因此选项B不符合题意；
C．tan45°＝1，sin45°，所以tan45°＞sin45°，因此选项C不符合题意；
D．sin30°+cos30°，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得
AB．
由锐角的余弦，得cosA．
故选：C．
4．
【分析】设正方形网格中每个小正方形的边长为1，根据正方形网格的特点及勾股定理得BC＝2，AC，CD，BD，则AD，再根据勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，然后在Rt△ABD中，根据正切函数的定义可求出tan∠BAC的值．
【解答】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1，如图所示：
则BC＝2，
根据勾股定理得：AC，CD，BD，
∴AD＝AC﹣CD，
又∵CD2+BD2＝4，BC2＝4，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠BAC．
故选：C．
5．
【分析】根据正弦函数的定义得sin∠ACB，由此可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6米，∠ACB＝52°，
∵sin∠ACB，
∴AB＝AC sin∠ACB＝6sin52°（米）．
故选：B．
6．
【分析】根据等边对等角及同角的余角相等，得出∠C＝∠ADE，再根据正切的定义令DE＝mk，则CE＝m，AE＝mk2，最后再由CD＝1结合勾股定理即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C．
又∵DA⊥AB，DE⊥CA，
∴∠BAD＝∠DEA＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE，
∴∠C＝∠ADE，
∴tan∠ADE＝tan∠C＝k．
在Rt△CDE中，
tan∠C，
∴令DE＝mk，CE＝m．
又∵CD＝1，
∴m2+m2k2＝12，
则m2．
在Rt△ADE中，
tan∠ADEk，
∴AE＝mk2，
∴ADk．
故选：A．
7．
【分析】连接AC，根据题意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝15km，
∴AC＝BC tan60°＝15（km），
∴此时渔船与小岛A的距离为15km，
故选：B．
8．
【分析】设AB＝3x，则BC＝3x，由sin∠AOB，可得BO＝7x，因tanC，可得tanC的值．
【解答】解：设AB＝3x，则BC＝3x，
∵sin∠AOB，
∴BO＝7x，
∴tanC，
故选：B．
二．填空题
9．
【分析】设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，然后根据勾股定理解答即可．
【解答】解：设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，
由勾股定理得26，
解得h＝10（负值舍去）．
故答案为：10．
10．
【分析】根据所给图形，延长AB到格点M，连接CM构造出直角三角形，再结合正切的定义即可解决问题．
【解答】解：延长AB到格点M，连接CM，
则AM⊥CM．
令正方形网格的边长为a，
则CM，
AM．
在Rt△AMC中，
tan∠BAC．
故答案为：．
11．
【分析】证明△ACO是等腰直角三角形，得OA＝OC，则ACOA，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2OA，即可得出结论．
【解答】解：根据题意可知，∠ACB＝90°，
∵∠ACO＝45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴OA＝OC，
∴ACOA，
∵∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】过点B作BC⊥AC，根据，则设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即，进行计算即可得．
【解答】解：如图所示，过点B作BC⊥AC，
∵，
∴设BC＝x，则AC＝2x，
由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，
即，
20＝x2+4x2，
x2＝4，
x＝2，x＝﹣2（不合题意，舍去），
∴BC＝2，
即此时小球距离地面的高度为2，
故答案为：2．
13．
【分析】过C作CF⊥AB于F，由cos∠BAC，设AC＝3k，BC＝5k，则BC＝4k，由三角形的面积公式求出CF，再由直角三角形斜边中线的性质得CD＝AD＝BD，S△ACD＝S△BCD，进而得CF＝BE，然后在Rt△BDE中由勾股定理求出k＝5，继而可得CD的长．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于F，如图所示：
在Rt△ABC中，cos∠BAC，
∴设AC＝3k，BC＝5k，
由勾股定理得：BC4k，
由三角形的面积公式得：S△ABCAB CFAC BC，
∴CF，
∵点D是△ABC斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝BDAB，S△ACD＝S△BCD，
∴AD CFCD BE，
∴CF＝BE，
在Rt△BDE中，BD，BE，DE，
由勾股定理得：BD2﹣BE2＝DE2，
∴（，
解得：k＝5或k＝﹣5（不合题意，舍去），
∴CD．
故答案为：．
14．
【分析】根据一次函数的性质，求出A、B的坐标，得到OA、OB的长度，根据三角函数的定义即可求出cosa的值．
【解答】解：根据题意：直线AB的方程为，
令y＝0，则x＝1，令x＝0，则，
则A点坐标为（1，0），B点坐标为，
故AO＝1，；
∴，，
∵∠AOB＝90°，即α+∠BOP＝90°，
且∠ABO+∠BOP＝90°，
∴∠α＝∠ABO，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，设菱形边长为10个单位长，设EN＝x，利用三角函数表示出EN、FN，求出CF和ME，由光的反射定律得，∠MNE＝∠CND，证明△MNE∽△CNF，利用相似比求出x即可．
【解答】解：作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，
设菱形边长为10个单位长，
∵M为AB中点，
∴AM＝5，
∵tanA，
∴AE＝3，ME＝4，
∵AD＝10，
∴DE＝7，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠A，
∴tan∠CDF，
∵CD＝10，
∴CD＝8，DF＝6，
设EN＝x，
∴DN＝7﹣x，
∴FN＝13﹣x，
由光的反射定律得，∠MNE＝∠CND，
∴△MNE∽△CNF，
∴EN：FN＝ME：CF，即x：（13﹣x）＝4：8，
∴x，
∴AN＝AE+EN，DN＝7﹣x，
∴AN：DN，
故答案为：．
16．
【分析】根据问题分析：要求的值，可能需要构造相似或者平行线分线段成比例，所以作CM⊥AD于点M，从而将转化成，再根据题中条件去求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥CB于点H，作CM⊥AD于点M，
∵AB＝BC，，
设BD＝8a，则CD＝5a，
∴BC＝AB＝BD+CD＝13a，
∵tanB，
∴AH＝5a，BH＝12a，
∴DH＝BH﹣BD＝4a，CH＝a，
在Rt△ACH中，ACa，
在Rt△ADH中，ADa，
∴cos∠ADC，
∴DM＝CD cos∠ADCa，
∴AM＝AD﹣DMa，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】当sinα的值最大时，则tanα值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝m，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到m（n﹣3）（n+2），进而求解．
【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，
∵直线y＝﹣2与x轴平行，
∴∠ABN＝α，
当sinα的值最大时，则tanα值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG最大时，sinα的值最大，
设BG＝m，
则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∴tan∠CAM＝tan∠BCG，
∴，即，
∴m（n﹣3）（n+2）（n）2，
∵0，
∴当n时，m取得最大值，
故n，
故答案为：．
18．
【分析】作△ADE，证明△ADE∽△ACB，证明△DAC∽△EAB，利用BE﹣DE≤BD≤BE+DE，即可求解．
【解答】解：过点A作线段AE，使∠EAD＝∠BAC，过点D作DE⊥AD交AE于点E，
∵∠EAD＝∠BAC，∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴△ADE∽△ACB，连接BE，
∴DE＝AD tan∠DAE＝3，
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB﹣∠DAE＝∠DAB﹣∠BAC＝∠DAC，
∴△DAC∽△EAB，
∴，即，
而cos∠DAE＝cos∠BAC，解得：BE＝5，
在△DBE中，BE﹣DE≤BD≤BE+DE，
即BD，
故答案为：BD．
三．解答题
19．解：（1）在Rt△ABC中，
sinA．
∵∠A＝45°，c＝6，
∴，
∴a．
（2）在Rt△ABC中，
∵，，
∴c，
∴tanB，
∴∠B＝30°．
20．解：在Rt△CDB中，∠ABD＝45°，∠D＝90°，CD＝6m，
∴∠DCB＝∠CBD＝45°，
∴DB＝CD＝6（m），
在Rt△CDA中，tan17°，
∴AD19（m），
∴AB＝AD＝CD＝19﹣6＝13（m）．
21．解：（1）过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝26米，
∴设DG＝x米，则CG＝2.4x米．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝262，解得x＝10，
∴DG＝10米，CG＝24米，
答：斜坡CD的高为10米；
（2）∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∵EG＝ED+DG＝0.8+10＝10.8米，BG＝BC+CG＝26+24＝50米．
∴EM＝BG＝50米，BM＝EG＝10.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝15°，
∴AM＝EM tan15°≈50×0.27＝13.5米，
∴AB＝AM+BM＝13.5+10.8＝24.3（米）．
答：古树的高AB约为24.3米．
22．解：如图，过D作DF⊥BC于点F，过E作EG⊥AB于点G．
∴四边形DFBG是矩形，∴BG＝DF＝5，
在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，
∵，
∴，
∴CD＝10，则AE＝10．
在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，
∴，
∴AG＝AE sin37°≈6，
∴AB＝AG+BG＝6+5＝11．
答：一楼到三楼的层高AB是11米．
23．解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝x cm，则AC＝60+x，
∵sin53°，
∴AF＝（60+x） sin53°，
如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x，
∴AH＝（60+2x） sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x） sin53°＝（60+2x） sin37°，
∴，
解得：x＝30．
答：每节拉杆的长度为30cm．
24．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，如图，
由题意，可知四边形BEDF是矩形，∠ADE＝30°，∠DCF＝45°，AD＝1000米，CD＝1800米，
在Rt△ADE中，
AE＝AD sin30°＝1000500（米），
在Rt△CDF中，
DF＝CD sin45°＝18009001269（米），
∴AB＝AE+BE＝AE+DF＝500+1269≈1769（米），
答：AB的长度约为1769米；
（2）在Rt△ADE中，
DE＝AD cos30°＝1000865（米），
在Rt△CDF中，
CF＝CD cos45°＝18009001269（米），
∴BC＝BF+CF＝DE+CE＝865+1269＝2134（米），
小明选择步行①A﹣D﹣C需要的时间为：55≈36.1（分钟），
小华选择骑骆驼②A﹣B﹣C，需要的时间为：35.5（分钟），
∵36.1＞35.5，
∴小华先到达景点C．
25．解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，
∴BE＝AB sin∠BAE
＝3×sin53°
≈3
，
在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE，
∵sin∠BOE，
∴OB
＝4（m），
答：OB＝4m；
（2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D′G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，
在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，
∴DF＝OD sin37°
≈10
＝6（m），
∴D′G＝D′H+HG＝3+6＝9（m），
在Rt△D′OG中，OD′＝10m，D′G＝9m，
∴sin∠D′OG，
∴∠D′OG≈64°，
∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°，
即云梯OD大约旋转了27°．
26．解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵BC＝30cm，CD＝40cm，
∴BD＝BC+CD＝70（cm），
在Rt△DBE中，∠ABC＝53°，
∴BE＝BD cos53°≈70×0.6＝42（cm），
∵AB＝115cm，
∴AE＝AB﹣BE＝115﹣42＝73（cm），
∴端点D距离地面的高度约为73cm；
（2）过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥DF，垂足为G，延长GC交AB于点H，
由题意得：GH⊥AB，AH＝FG，DF＝140cm，
∴∠BHG＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵BC＝30cm，
∴BHBC＝15（cm），
∵AB＝115cm，
∴FG＝AH＝AB﹣BH＝115﹣15＝100（cm），
∴DG＝DF﹣FG＝140﹣100＝40（cm），
∵∠BCD＝97°，
∴∠DCG＝180°﹣∠BCH﹣∠BCD＝53°，
在Rt△DCG中，CD50（cm），
∴CD的长约为50cm．