广东省中山市桂山中学2023-2024学年高二下学期第二次段考（5月）数学试题（含详解）

2023-2024年广东中山桂山中学高二下学期第二次段考（5月）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人,后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法( )
A． 150 B．300 C． 900 D． 450
2.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前n项和，若，则=( )
A． B． 45 C． 75 D． 150
3.已知随机变量～N，且，则的最小值为( )
A． 9 B． C． 4 D． 6
4.学校以劳动周形式开展劳育工作创新实践，学校开设“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“3D打印”四种课程.甲、乙、丙3名同学每名同学至少从中选一种，每种课程都恰有1人参加，记“甲参加民俗文化”，“甲参加茶艺文化”，C=“乙参加茶艺文化”，则下列结论正确的是( )
A． 事件A与B相互独立 B． 事件A与C互斥
C． D．
5.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（ ）
A．0.21 B．0.06 C．0.94 D．0.95
6.已知两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个.盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球.若从盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为( )
A． 3 B． 5 C． 7 D． 9
7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为若，，则的值可以是( )
A． 2019 B． 2020 C． 2021 D． 2022
8.已知函数有三个不同的零点，，其中，则=( )
A． 1 B． 4 C． 64 D． 16
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.等差数列的前项和为，，，则( )
A． 数列是递减数列 B．
C． 是中最小项 D．
10.下列说法正确的是( )
A． 的展开式中的常数项为
B． 精确到的近似值为
C． 被除的余数为
D． 的展开式中含项的系数为
11.某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：
下列说法正确的有( )
A．从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得
B． 从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生
C． 有的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联
D． 若该样本中男生身高h(单位：cm)服从正态分布,则该样本中身高在区间
内的男生超过30人
附1:（其中n=a+b+c+d)．
临界值表：
附2:若,则随机变量X取值落在区间上的概率约为
12.已知函数，则下列结论正确的是( )

A． 函数有极小值也有最小值
B． 函数存在两个不同的零点
C． 当时，恰有三个实根
D．若时, 则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）
14.等比数列的各项均为正数，且，则的值为 ．
15.已知实数与是函数的两个极值点，且，则的最小值为 ．
16.将瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这瓶酒，并让他重新按品质优劣将种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．，，，表示第一次排序为的四种酒分别在第二次排序中的序号，记为其偏离程度，假设，，，为的等可能的各种排列．假设每轮测试之间互不影响，表示在轮测试中的概率，表示在前3轮测试中恰好有一轮的概率，则= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.设，，已知．
(1)求的值；
(2)设，其中，，求的值．
18.已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
19.某工厂共有员工人，现从中随机抽取位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行
统计，统计表格如表：
(1)工厂规定：每月完成合格产品的件数超过件的员工，会被评为“生产能手”称号'由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手”称号与性别有关？
(2)为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额件以内的包括件，计件单价为元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出件以上的部分，累进计件单价为元.将这段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取人，女员工中随机选取人进行工资调查，设实得计件工资实得计件工资定额计件工资超定额计件工资,超过元的人数为，求的分布列和数学期望．附：，．
20.某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额(单位：万元)满足：，且曲线与直线在点相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点．
(1)分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式：
(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润 其最大利润约为多少万元？(结果保留3位小数，参考数据：，，，，.
21.法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该
面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布．
已知如下结论：若～，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量～.利用该结论解决下面问题．
(1) 假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；
(2) 庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g 庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； 假设有两箱面包(面包除颜色外，其他都一样)，已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包．求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．附：①随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
22.已知函数，
(1)求函数的单调区间和极值
(2)若存在，，且当时，，证明：．
参考答案与试题解析
1.D
【解析】略首先从后排的6人中选出2人，有种结果，再把选出的两个人在前排6个位置中选2个位置进行排列有种方法，不同的调整方法有种调整方法．
2.C
【解析】是等差数列的前n项和，，，，．
3.B
【解析】～N，可得正态分布曲线的对称轴为，又，，即．令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则的最小值为．故选：B．
4.C
【解析】甲、乙、丙三名同学从四种课程中至少选一种，共有种基本事件，事件A包含的基本事件数为：，则，同理，事件AB包含的基本事件数为：，则，事件AC包含的基本事件数为：，则，因为，故A错误;因为A事件和B事件不互斥，故B错误;因为，故C正确;因为，故D错误．故选C．
5.D
【解析】令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1，2．由全概率公式得：
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95．
故选：D．
6.B
【解析】可能取的值为0，1，2，根据题意可得，，，
所以，所以，且，所以当时，取最大值．
7.A
【解析】解： ，
除以10的余数为四个选项中，2019除以10的余数为9，故选A．
8.D
【解析】令，，即对，则 ，当时，，函数在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，由题意，函数有三个不同的零点，，(其中，则必有两个根，，且，且或者，且，由根与系数的关系有，，，
由图可知，，有唯一解，当，时有两解，，且，函数有三个不同的零点，，满足，时，有唯一解，当，时有两解，，且，函数有三个不同的零点，，满足，
故 ．
9.B,C
【解析】设等差数列的公差为，等差数列的前n项和为，，，，解得，，
对于，，故错误;
对于，，故正确;
对于，，为正整数，或时，最小，故是中最小项，故 正确;
对于，，，，，故错误．
10.A,B,D
【解析】选项：
的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为，故正确，
选项：，所以精确到的近似值为，故正确，
选项：
因为，其展开式的通项公式为，展开式中只要含有，必定能被整除，故当，时展开式的每一项都可以被整除，当时，即，故被整除的余数为，故C错误，
选项D：因为，所以展开式中含项为，含项的系数为，故D正确．
11.C,D
【解析】从高三年级名学生中随机抽取名，得列联表，不是分层抽样而得，A错误；
由列联表，高三学生身高最高的不一定是男生，B错误；
由列联表，，有的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联，C正确；
若该样本中男生身高(单位：)服从正态分布，则，D正确；
12.A,B,D
【解析】函数，，令，则，则函数的单调增区间为，令，则或，则函数的单调减区间为，．，
且当时，，当时，，当时，，画出函数的图象如下：
对于，所以的极小值就是最小值，故A正确；
对于，函数存在两个不同的零点，故 B正确；
对于，因为，所以当，恰有2个实根，当时，恰有1个实根，当时，无实根，故C错误；对于，若时则，故的最小值为，故D正确．
13.
【解析】若取的个数字不包括，先取数再对四个数作全排列，
则可以组成的四位数的个数为；
若取的个数字包括，先取数，然后排首位，再排剩余位即可，
则可以组成的四位数的个数为，
综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为：
．
14.7
【解析】根据题意，等比数列中，若，则，则
15.
【解析】函数定义域为，，因为实数与是函数的两个极值点，所以方程的两正实根分别为与，则，解得，且，，，，则，，
令，，则，当时，恒成立，在上单调递增，，即的最小值为．
16.
【解析】由题知满足题意的排列有四种，；；；；所以，依题意，前轮测试中随机变量～，因为每轮测试之间互不影响，所以
17.
(1)5
【解析】由，，
可得，，，
由，知，解得；
(2)-32
【解析】，
由于，，可得，
，故；
18.
(1)
【解析】依题意，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
(2)
【解析】由⑴知，，
则，
．
19.
(1)有
【解析】，
所以有的把握认为“生产能手”称号与性别有关；
(2)的分布列为：
【解析】，若员工实得计件工资超过元，则每月完成合格品的件数需超过件，由统计数据可知，男员工实得计件工资超过元的概率为，女员工实得计件工资超过元的概率为， 设名女员工中实得计件工资超过元的人数为，则～，名男员工实得计件工资超过元的人数为，则Y～，
的所有可能取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
故 ．
20.
(1)甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为．
乙产品的利润与投资金额间的关系式为．
【解析】函数的定义域为且，
因为点在直线上，故有，
又曲线与直线在点处相切，
故有，得,
则甲产品的利润与投资金额间的函数关系为,
由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为：，
将点代入上式，可得，
所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为．
(2)21.124
【解析】设甲产品投资万元，则乙产品投资万元，且，
则公司所得利润为，
故有， 令，解得，
令，解得，
所以为函数的极大值点，也是函数的最大值点．
故当甲、乙产品分别投资、万元时，公司获得最大利润为万元.
21.
(1)0.02275
【解析】假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量～，由已知结论可知，～，由附①数据知，
(2)见解答过程
【解析】由附②知，事件“”为小概率事件，由题意，个面包质量的平均值，小概率事件“”发生，所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报．
由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，
其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2， 设“所取两个面包来自第箱”，所以，
设“所取两个面包有个黑色面包”，
由全概率公式，，
，
所以黑色面包个数的分布列为
所以．
22.
(1)见解答过程
【解析】，定义域为，，
①当时，，在上单调递增，无极值
②当时，令，解得，的单调递减区间为
令，解得，的单调递增区间为此时有极小值，无极大值．
(2)见解答过程
【解析】不妨设，则． ，，令，，在上单调递增，，
从而．，
即，即．
下面证明，令，则，
即证明，只要证明，设，在上恒成立，在单调递减，
故，
所以，即