海南省三亚市实验中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题（含详解）

海南省三亚市实验中学2024 2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．已知函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（ ）
A．35种 B．32种 C．16种 D．14种
6．某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
7．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ）
A．
B．
C．有3个零点
D．直线与的图象仅有1个公共点
10．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D．学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，则有6种分法
11．已知函数（ ）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C．当在区间上不单调，则实数的取值范围是
D．若的单调递减区间为，则.
三、填空题（本大题共3小题）
12．求的值为 .
13．用“实” “验” “中” “学” “顶” “呱” “呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语.（不考虑短语的含义）
14．过原点与曲线相切的切线方程为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，．
（1）求的单调递增区间与极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
16．求下列问题的排列数：
（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；
（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；
（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端.
17．由0，1，2，3，4这五个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的五位数？
（2）能组成多少个无重复数字的五位偶数？
（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
18．设函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，
故共有种选择方法.
故选D.
2．【答案】C
【详解】由依题意，知，
则.
故选C.
3．【答案】A
【详解】由已知可得，，
则，
所以，.
故选A.
4．【答案】D
【详解】依题意，，
因为，
所以，所以切线方程为，
即，
故选D.
5．【答案】C
【详解】从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法，
其中全部为白球有种取法，
则至少含有1个红球和1个白球的取法有种.
故选C.
6．【答案】D
【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，
当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案.
故选D
7．【答案】A
【详解】当时，令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，
于是当时，，即；
当时，，即.
又为上的奇函数，
所以当时，，当时，，
又，
所以的解集为.
故选A.
8．【答案】D
【详解】由得，构造函数，求导得
在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，
及时，的图象如图，得到有3个解.

故选D.
9．【答案】ACD
【详解】由题意得
则，解得，故A正确.
由，解得，故B错误.
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的极大值为，
画出草图，所以有3个零点，故C正确；
直线与的图象仅有1个公共点，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BCD
【分析】利用排列数公式判断A；利用排除法列式计算判断B；利用组合计数判断C；分类计算判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，四个字母全排列共有种，而正确的只有1种，可能出现的错误共有种，B正确；
对于C，10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，共有次，C正确；
对于D，5个名额，按分有种，按分有种，共有种，D正确.
故选BCD.
11．【答案】AD
【详解】由函数可知：函数的定义域为，导数.
对于选项A：因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分离出参数，可得在上恒成立.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故选项A正确.
对于选项B：因为在上存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
分离出参数，可得在上有解.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故选项B错误.
对于选项C：当时，.
令，解得.
因为在区间上不单调，
所以导数在区间上有极值点，
则，解得：，故选项C错误.
对于选项D：因为的单调递减区间为，
所以是的一个根，即，
解得：，故选项D正确.
故选AD.
12．【答案】18
【详解】
13．【答案】
【详解】由于这七个字中有两个重复文字，故第一步优先摆放，共有种；
第二步摆放剩下五个文字，共有种；
根据分步计数乘法原理得它们可以组成种不同的七字短语.
14．【答案】
【详解】设切点坐标为，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切线的方程.
【详解】设切点坐标为，切线方程为，
由，则，则，
则，即，即，解得，所以，
所以原点与曲线相切的切线方程为．
15．【答案】（1）单调增区间为和，极大值为，极小值为
（2）最大值为1，最小值为
【详解】（1），令，得或，
当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以单调增区间为和，单调减区间为，
所以的极大值为，极小值为．
（2）由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，
所以在区间上的最大值为1，最小值为．
16．【答案】（1）720(种)
（2）1440(种)
（3）1440(种)
【详解】（1）根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列，
共有(种)不同的安排方法.
（2）根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，
共有(种)不同的排列方法.
（3）先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，
共有(种)不同的排列方法.
17．【答案】（1）96
（2）60
（3）65
【详解】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
（2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
即可以组成个无重复数字的五位偶数；
（3）计算比21034大的五位数的个数分两类：
万位比2大的五位数个数是，
万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，
由分类加法计数原理得，
所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.
18．【答案】(1)；
(2)存在，.
【详解】（1）函数的定义域为，不等式，
令，依题意，恒成立，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由函数，求导得，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，无解；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得，符合题意，
所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.
19．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，令，得；
令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，恒成立，
所以，则，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以，实数的取值范围为.