河北承德市双滦区实验中学2024-2025学年高二下学期高二4月份月考数学试卷（含详解）

河北承德市双滦区实验中学
2024--2025学年第二学期高二数学4月份月考试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知函数（是的导函数），则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
2.在等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
3.若函数在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.若，则（ ）
A. 100 B. 110 C. 120 D. 130
5.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
8.某学校有4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总得分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是(　　)
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D.
11.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处的切线方程为 B. 函数的单调递减区间为
C. 的极小值为e D. 方程有2个不同的解
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．
13.已知，则使恒成立的的范围是______ ．
14.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题13分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.
（1）求的值：
（2）求展开式中的系数.
16.(本小题15分）某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润(单位：万元)与投资成本(单位：万元)满足：，为常数，，)；乙产品的平均成本利润(单位：万元)与投资成本(单位：万元)满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.
(1)求，的值；
(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？
(参考数据：，)
17.(本小题15分）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列前项和为；
（3）设求数列的前项和.
18.(本小题17分）设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若已知，且的图象与相切，求b的值；
（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）.
19.(本小题17分）已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若x>0，证明：(ex－1)ln (x＋1)>x2.
参考答案：
1.【答案】A
【解析】对函数求导可得，所以当x=1时，
所以，所以，所以.所以选择A.
2.【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，，；
由于，，成等差数列，所以，，又因为；所以.
3.【答案】B
【解析】因为函数，所以
，
若在区间上不是单调函数，，
则在区间上有解即在区间上有解，
即,
设，则，，
,所以，实数的取值范围是，
4.【答案】C
【解析】由展开的性质得，，所以.
5.【答案】C
【解析】由题意，，，
由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点，
即当时，有两个不同正实数根、，由韦达定理可得：，，则，解得， 即实数a的取值范围是.
6.【答案】A
【解析】已知命题“”为真命题，即对于区间内的任意，不等式恒成立.移项可得在上恒成立，所以要小于等于在上的最小值.
对函数求导，得.
因为时，，，所以，函数在上单调递增.
所以当时，函数取得最小值，.
由于，而，所以，即实数的取值范围是.
7.【答案】D
【解析】因为，所以，化简可得，
即，故可知等差数列的首项为2，公差为1，
所以有，即，
故当时，，所以，
8.【答案】D
【解析】分以下四种情况讨论：
①2位同学选甲题作答，一人答对一人答错，另外2位同学选乙题作答，一人答对一人答错，此时不同得分情况的种数为C×2×2＝24；
②4位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，此时不同得分情况的种数为2C＝12；
③1位同学选甲题作答并且答对，另外3位同学选乙题作答并且全部答错，此时不同得分情况的种数为C＝4；
④1位同学选甲题作答并且答错，另外3位同学选乙题作答并且全部答对，此时不同得分情况的种数为C＝4.
综上所述，不同得分情况的种数为24＋12＋4＋4＝44，故选D.
9.【答案】ACD
【解析】依题意，，
令，得，令，得，，令，得，
所以A，C选项正确，B选项错误.
由题可得
时，，所以D选项正确.
10.【答案】BC
【解析】因为，且，上式两边除以得：，
则是公差为1，首项为1的等差数列，，
则，所以C对
对于A项：，则，不是等比数列
对于B项：，所以是等比数列，故B正确
对于D项：，，
两式相减得，故D错误．
11.【答案】ACD
【解析】对函数求导得，.
对于选项A，因为，，所以函数在处的切线方程为，即，故选项A正确；
对于选项B，令，即，解得，因为 ，
所以函数的单调递减区间为，，故选项B错误；
对于选项C，令，解得，即函数在上单调递增， 时单调递减，
所以函数在处取得极小值，极小值为，故选项C正确；
对于选项D，方程，即，即求方程零点的个数，
构造函数，并对其求导得，
当时，，即函数为单调递增的，，
，故在区间有唯一一个零点，
时，即函数为单调递减的，，
即在区间存在唯一一个零点，故选项D正确；
12.【答案】90
【解析】解法一：因偶数排列顺序固定且0只能在从左向右排，第6，5，4位，奇数可任意排列，则
当0排在第6位时，共有（个）数；
当0排在第5位时，共有（个）数；
当0排在第4位时，共有（个）数，
所以这样的七位数共有（个）．
解法二：因为偶数不排首位，且偶数的顺序从小到大排列，
所以分三步进行，先排首位为奇数，再将剩余的两个奇数排在后六个位置中，余下四个位置再将四个偶数按照由小到大从前向后的顺序依次排列即可，因此共有.
13.【答案】
【解析】因为恒成立，
所以对于恒成立，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
当时，，求导得，在上单调递减，
，于是得函数在上单调递减，，
因此，则，所以的取值范围是.
14.【答案】
【解析】由（），可得：在上有解.
令（），只要即可.
求导，.
令，即，因为，所以，解得.
当时，，则，所以在上单调递增.
当时，，则，所以在上单调递减.
由的单调性可知，在处取得极大值，也是最大值，.
因为，所以.正确答案为
15.【答案】解：（1）依题意，，令，得，则，
所以，因为时，，所以是原方程的一个解，
又因为函数在上单调递增，所以是原方程唯一的解
综上，的值为5．
（2）由（1）得，的通项公式，
依题意，令，解得，
所以展开式中的系数为.
16.【答案】解：(1)由题意知，，
整理得，解得，；
(2)设甲产品投资万元，乙产品投资万元，且，
则该公司获得的利润，；
则在上单调递减，
令，解得或(舍去)，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，
∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.
17.【答案】解：（1）根据题意，由于，则①；
又有，，成等比数列，则②，
联立①②且，
解得，，
则，
故数列的通项公式为.
（2）因为
，
所以
，
则；
（3）因为，
所以③，
④，
则③-④得，
综上可知.
18.【答案】解：（1）当时，，
求导可得，
令，解得或时，
令，解得时，
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）当时，，
设与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得；
（3）当时，，
的图象与有三个公共点，
所以等价于方程有三个不等实数根，
设函数，则，
时，或；时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值，时取极小值，
所以的取值范围为.
19.【答案】(1)解方法一由题意得，f′(x)＝ex－1－2ax.
∵ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立，∴f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x.
∴当1－2a≥0，即a≤时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，且f′(x)不恒等于0，
∴f(x)单调递增，f(x)≥f(0)，即f(x)≥0，符合题意．
又由ex>1＋x(x≠0)，可得e－x>1－x(x≠0)．
∴当a>时，f′(x)∴在区间(0，ln2a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，f(x)<0，不符合题意．
综上，实数a的取值范围为.
方法二由题意得，f′(x)＝ex－1－2ax.令h(x)＝ex－1－2ax，则h′(x)＝ex－2a.
当2a≤1，即a≤时，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，且h′(x)不恒等于0，
∴h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，即f′(x)≥f′(0)＝0.
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，
∴a≤时满足条件．
当2a>1，即a>时，令h′(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h′(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln2a)时，有h(x)即f′(x)∴f(x)在区间(0，ln2a)上单调递减，∴f(x)综上，实数a的取值范围为.
(2)证明由(1)得，当a＝且x>0时，ex－1>x＋.
欲证不等式(ex－1)ln (x＋1)>x2，只需证ln (x＋1)>.
设F(x)＝ln (x＋1)－，则F′(x)＝－＝.
∵当x>0时，F′(x)>0恒成立，故F(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵F(0)＝0，∴F(x)>0恒成立．
∴原不等式得证．