河南省百师联盟2024?2025学年高二下学期4月联考数学试题（含详解）

河南省百师联盟2024 2025学年高二下学期4月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知变量x与y的5组观测值如下表：
x 1 2 3 4 5
y 4 8 12
且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（ ）
A． B． C． D．
2．变量x与y的n组样本数据为，，…，，y与x线性相关，记，，则下面说法错误的是（ ）
A．回归直线必经过点
B．样本相关系数r与回归系数同号
C．对样本相关系数r，越大，两个变量之间的线性相关性越强
D．回归直线至少经过点，，…，中的一个点
3．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示（单位：人），根据数据计算得，依据小概率值的独立性检验，小概率值相应的临界值为，则下列结论不正确的是（ ）
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者 25 10 35
吸烟者 15 65
合计 40 60 100
A．
B．若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联
D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联
6．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性多
B．样本中多数女性是35岁以上
C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多
7．已知是等差数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．的最小值为 D．
8．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ）
A．4050 B．2025 C．4052 D．2026
二、多选题（本大题共3小题）
9．某兴趣小组为研究本校学生每周平均体育运动时间与性别是否有关联，进行了一次抽样调查.已知被抽取的男、女生人数相同.调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的占，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的占.若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关联，则被抽取的男生人数可以是（ ）
附：，.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
A．65 B．70 C．75 D．80
10．研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强
C．线性回归方程不变 D．回归系数不变
11．已知等比数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是递减数列
B．数列是等差数列
C．记，则有最小值
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知变量x，y具有线性相关关系，且回归直线方程为，若回归直线过点，则 .
13．数列是以1为首项，3为公差的等差数列，则 .
14．曲线在处的切线方程为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在数列中，，.
(1)求，，猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
16．已知，曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)若，求曲线过点的切线方程.
17．近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4 5
新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
(1)计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.
(2)求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：.参考公式：.
18．某校利用数字化软件记录500位学生每日课后作业完成的时长，某次考试之后统计得到了如下平均作业时长与学业成绩的数据表：
平均作业时长（单位：小时）
学业成绩优秀： 1 14 37 43 5
学业成绩不优秀： 136 137 102 18 7
(1)填写如下列联表，试判断：是否有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？
时长 其他 总计
优秀
不优秀
总计
(2)常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从所有500名学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若，且，求.
附：，.
19．已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)设，数列的前n项和为.
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】回归直线必过点
因为，，
所以y关于x的回归直线必过点.
故选：B.
2．【答案】D
【详解】回归直线必过点，可能不过任何一个样本点，故A正确，D错误.
样本相关系数r为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；
样本相关系数r为负时，两个变量为负相关，回归系数为负.
故样本相关系数r与回归系数同号，B正确.
样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，C正确.
故选：D
3．【答案】B
【详解】因为，所以，所以.
故选：B.
4．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，
即曲线在点处的切线方程为.
故选：A.
5．【答案】D
【详解】对于A，由列联表得，，A正确；
对于B，非肺癌患者的概率为，B正确；
对于CD，由，得在犯错误的概率不超过0.001的前提下，
认为吸烟与患肺癌有关联，D错误，C正确.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】根据题意，得到如下两个列联表.
35岁以上 35岁及以下 总计
男性
女性
总计
35岁以上 35岁及以下 总计
男性
女性
总计
根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为，
女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确；
根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为，
35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确；
根据第2个列联表可知，样本中35岁及以下男性市民人数为，
35岁以上女性市民人数为，由A选项的分析知，
但无法判断与的大小，故C不一定正确；
根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为，
35岁及以下市民人数为，又，
即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确.
故选：C.
7．【答案】A
【详解】因为是等差数列，则，即，
又因为，则公差，可知，
所以数列为递增数列，且的最小值为，
综上所述：A正确，B，C，D错误.
故选：A.
8．【答案】B
【详解】由等比数列的性质，得.
又因为函数，所以，
所以，
所以，，，….
令，则，
所以，
所以.
故选：B.
9．【答案】BCD
【详解】设被抽取的男生人数为，依题意可得的列联表如下：
性别 运动情况 总计
每周平均体育运动时间超过4小时 每周平均体育运动时间不超过4小时
男生 x
女生 x
总计
若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关联，
则，
解得，则被抽取的男生至少有70人.
故选：BCD.
10．【答案】ACD
【详解】设，，则，，所以，.
对于A、B中，由，
，，
则相关系数，
可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误；
对于C、D中，因为，
且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确.
故选：ACD.
11．【答案】ABC
【详解】在等比数列中，，
当时，，解得；
当时，由得，两式相减，得，
所以数列是首项为1，为公比为2的等比数列，所以.
对于选项A：因为，所以数列是递减数列，故A正确；
对于选项B：因为，则，
所以数列是公差为的等差数列，故B正确；
对于选项C：由题意可得，
因为有最小值，所以有最小值，故C正确；
对于选项D：在数列中，，
当时，，故D错误；
故选：ABC.
12．【答案】
【详解】由回归直线过点，可得，解得.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】因为数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
可得，所以，所以.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】由函数，可得，所以，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，
可得，，
因此可猜想.
（2）当时，，等式成立；
假设当时，等式成立，即，
则当时，，
即当时，等式也成立.
综上所述，对任意，.
16．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：由函数，其中，可得，
因为曲线在点处的切线方程为，
可得，且，即，
解得.
（2）解：由（1）知，，可得，
设切点为，则切线的斜率，故切线方程为，
因为切线过点，所以，整理得，
解得或，所以切点为或，
此时，曲线过点的切线方程为或.
17．【答案】(1)可以用线性回归模型拟合与的关系.
(2)，估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
【详解】（1）由题意可得：，
则
，
因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题意可得：，，
则，当时，，
所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
18．【答案】(1)列联表见详解，有的把握
(2)0.2
【详解】（1）列联表数据如下：
时长 其他 总计
优秀 80 20 100
不优秀 120 280 400
总计 200 300 500
因为，
所以有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关；
（2）已知，则，，
由已知得，
所以由概率的乘法公式可知，
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）证明：因为，可得，所以，
两边同除以，可得，即，
又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）解：①由（1）可得，所以，可得，
所以，
则.
两式相减，可得
，
所以.
②因为对任意的恒成立，所以，
则对任意的恒成立.
令，可得，
所以数列是递减数列，
当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是.