湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期五月联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3。若[x-2]=-1,则x的取值范围为( )
A.(0,1] B.[0,1)
C.(1,2] D.[1,2)
2.若α=3 rad,则下列说法正确的是( )
A.sin α
C.tan α<-1 D.α是第三象限角
3.如图,在平行四边形ABCD中,F是BC的中点,,若,则x+y=( )
A.1 B.6
C. D.
4.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥A B1CD1的体积为( )
A. B.
C.4 D.6
5.在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.-
6.已知点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若△ABC是正三角形,则D的离心率是( )
A. B.
C. D.
7.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+n,则a9等于( )
A.20 B.30
C.36 D.28
8.若函数f(x)=3x+-3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=-x+2互相垂直,则实数t=( )
A. B.e2
C.或2 D.或4
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5∶4∶1,现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,下列结论正确的是( )
A.C组人数为10人 B.C组人数为45人
C.单位人数为100人 D.单位人数为450人
10.下列说法正确的有( )
A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限
B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
C.过点(2,-1),斜率为-的直线的点斜式方程为y+1=-(x-2)
D.斜率为-2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x±3
11.已知数列{an}满足an=4n+λ(-2)n+1。若对任意n∈N*,都有an+1>an成立,则整数λ的值可能是( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD。已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟。若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 米。
13.双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F。过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为 。
14.设实数λ>0,对任意的x>1,不等式λeλx≥ln x恒成立,则λ的取值范围为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值。
16.（本小题满分15分）
如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点。
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角。
17.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系Oxy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C。
(1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C 若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;
(2)试确定:过A,B,C三点的圆是否过定点。
18.（本小题满分16分）
已知数列{an}是等差数列,a1=1,且a1,a2,a5-1成等比数列。给定k∈N*,记集合{n|k≤an≤2k,n∈N*}的元素个数为bk。
(1)求b1,b2的值;
(2)求满足b1+b2+…+bn>2 025的最小自然数n的值。
19.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=aln x-(a∈R)。
(1)若f(x)≤0,求实数a的取值范围;
(2)证明:-1(n∈N*)。湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期五月联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3。若[x-2]=-1,则x的取值范围为 (D)
A.(0,1] B.[0,1)
C.(1,2] D.[1,2)
解析 由题意得解得1≤x<2。故选D。
2.若α=3 rad,则下列说法正确的是 (B)
A.sin αC.tan α<-1 D.α是第三象限角
解析 因为<3<π,所以α是第二象限角,sin α>0>cos α,故A错误,B正确,D错误;因为y=tan x在上单调递增,所以tan α>tan=-1,故C错误。故选B。
3.如图,在平行四边形ABCD中,F是BC的中点,,若,则x+y= (C)
A.1 B.6
C. D.
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以,,因为,所以,又因为,,不共线,所以x=,y=-,所以x+y=。故选C。
4.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥A B1CD1的体积为 (A)
A. B.
C.4 D.6
解析 如图,
三棱锥A B1CD1是由正方体ABCD A1B1C1D1截去四个小三棱锥A A1B1D1,C B1C1D1,B1 ABC,D1 ACD得到的,又=23=8,,所以。故选A。
5.在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 (B)
A. B.
C. D.-
解析 取BD的中点O,连接AO,OC,由CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,得AO⊥BD,CO⊥BD,且OC=,AO=1。在△AOC中,AC2=AO2+OC2,故AO⊥OC,又BD∩OC=O,BD,OC 平面BCD,所以AO⊥平面BCD,以OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),所以=(1,0,-1),=(-1,-,0),设异面直线AB与CD所成角为θ,则cos θ=,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为。故选B。
6.已知点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若△ABC是正三角形,则D的离心率是 (C)
A. B.
C. D.
解析 无论椭圆焦点位于x轴还是y轴,根据点A,B,C为椭圆D的三个顶点,△ABC是正三角形,可得2b=,即a2=3b2,故a2=3(a2-c2),2a2=3c2,则e2=,所以e=。故选C。
7.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+n,则a9等于 (A)
A.20 B.30
C.36 D.28
解析 因为a1=2,2an+1=2an+n,所以an+1-an=,所以a9=(a9-a8)+(a8-a7)+…+(a2-a1)+a1=+…++2=20。故选A。
8.若函数f(x)=3x+-3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=-x+2互相垂直,则实数t= (D)
A. B.e2
C.或2 D.或4
解析 由题意得,直线l的斜率为2,f'(x)=3-,由f'(x)=2,解得x=1或x=-1(舍去),因为f(1)=3+1-3=1,所以直线l的方程为y=2x-1。g'(x)=t(x+1)ex,设函数g(x)=txex与直线l切于点(x0,y0),则,整理得2-x0-1=0,解得x0=1或x0=-,则et=1或--1,得t=或t=4。故选D。
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5∶4∶1,现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,下列结论正确的是 (AC)
A.C组人数为10人 B.C组人数为45人
C.单位人数为100人 D.单位人数为450人
解析 因为员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5∶4∶1,所以从中抽取一个容量为20的样本,则抽取的C组人数为×20=2,设C组员工总数为m,则甲、乙二人均被抽到的概率为,即m(m-1)=90,解得m=10。设单位员工总数为x,则由,可得x=100。故选AC。
10.下列说法正确的有 (ABC)
A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限
B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
C.过点(2,-1),斜率为-的直线的点斜式方程为y+1=-(x-2)
D.斜率为-2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x±3
解析 A中,直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则k<0,b>0,所以点(k,b)在第二象限,故A正确;B中,直线可写为y-2=a(x-3),所以直线过定点(3,2),B正确;C中,过点(2,-1)且斜率为-的点斜式方程为y+1=-(x-2),故C正确;D中,斜率为-2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x+3,故D错误。故选ABC。
11.已知数列{an}满足an=4n+λ(-2)n+1。若对任意n∈N*,都有an+1>an成立,则整数λ的值可能是 (BC)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
解析 因为an+1>an对任意n∈N*恒成立,即4n+1+λ(-2)n+2>4n+λ(-2)n+1对任意n∈N*恒成立,所以当n为奇数时,4n+1-λ2n+2>4n+λ2n+1,即(2n+1+2n+2)λ<4n+1-4n,则λ<=2n-1对所有的n为奇数恒成立,当n=1时,2n-1取得最小值1,所以λ<1;当n为偶数时,4n+1+λ2n+2>4n-λ2n+1,即(2n+1+2n+2)λ>4n-4n+1,则λ>=-2n-1对所有的n为偶数恒成立,当n=2时,-2n-1取得最大值-2,所以λ>-2。综上,-2<λ<1。故选BC。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD。已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟。若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 50 米。
解析 连接OC(图略),由题意,知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°。在△COD中,由余弦定理,得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°,即OC=50米。
13.双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F。过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为 。
解析 因为a2=9,b2=16,所以c=5,且渐近线为y=±x。所以A(3,0),F(5,0),不妨设直线BF的方程为y=(x-5),代入双曲线方程解得B。所以S△AFB=|AF|·|yB|=。
14.设实数λ>0,对任意的x>1,不等式λeλx≥ln x恒成立,则λ的取值范围为 。
解析 由题意,得eλx·λx≥xln x=eln x·ln x,令f(t)=tet,t∈(0,+∞),则f'(t)=(t+1)et>0。所以f(t)在(0,+∞)上单调递增,又f(λx)≥f(ln x),即当x∈(1,+∞)时,λx≥ln x,即λ≥恒成立,令g(x)=,x∈(1,+∞),则g'(x)=,所以在(1,e)上,g'(x)>0,g(x)单调递增;在(e,+∞)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)≤g(e)=,故λ≥。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值。
解 (1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2。所以所求不等式的解集为{a|3-2}。
(2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以故a的值为3±,b的值为-3。
16.（本小题满分15分）
如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点。
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角。
解 (1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D四点在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾。故直线EF与BD是异面直线。
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即异面直线EF与BD所成的角(或其补角)。又因为AC⊥BD,则FG⊥EG。在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°。
17.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系Oxy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C。
(1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C 若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;
(2)试确定:过A,B,C三点的圆是否过定点。
解 由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0,设A(x1,0),B(x2,0),可得Δ=m2-8m>0,则m<0或m>8,x1+x2=m,x1x2=2m。令x=0,得y=2m,即C(0,2m)。
(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,即x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0(舍去)或m=-。此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,半径r=|CM|=,故所求圆的方程为。
(2)设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0。整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0。令故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和。
18.（本小题满分16分）
已知数列{an}是等差数列,a1=1,且a1,a2,a5-1成等比数列。给定k∈N*,记集合{n|k≤an≤2k,n∈N*}的元素个数为bk。
(1)求b1,b2的值;
(2)求满足b1+b2+…+bn>2 025的最小自然数n的值。
解 (1)设数列{an}的公差为d,因为a1,a2,a5-1成等比数列,所以a1(a5-1)=,即1×(1+4d-1)=(1+d)2,即4d=(1+d)2,解得d=1。所以an=n。因为{n|k≤an≤2k,n∈N*},所以当k=1时,集合{n|1≤n≤2,n∈N*}={1,2},所以该集合中元素的个数b1=2,当k=2时,集合{n|2≤n≤4,n∈N*}={2,3,4},所以该集合中元素的个数b2=3。
(2)结合(1)知bk=2k-k+1,所以b1+b2+…+bn=+n=2(2n-1)-。当n=10时,2(2n-1)-=2 001<2 025,当n=11时,2(2n-1)-=4 039>2 025,记Tn=b1+b2+…+bn,显然数列{Tn}是递增数列,所以所求n的最小值是11。
19.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=aln x-(a∈R)。
(1)若f(x)≤0,求实数a的取值范围;
(2)证明:-1(n∈N*)。
解 (1)因为f'(x)=。当a=0时,f(x)=-<0,符合题意。当a<0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,而f()=1->0,不合题意。当a>0时,令f'(x)>0,得04a2,即f(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(4a2)=aln(4a2)-≤0,解得0(2)证明:由(1)知,当a=1时,ln x-<0,即ln x<,所以0(-1)+()+…+()=-1,故原不等式成立。高二数学试题答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A B C A D
二、选择题：
题号 1 2 3
答案 AC ABC BC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.50 。 13.。 14.。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解 (1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2。所以所求不等式的解集为{a|3-2}。
(2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以故a的值为3±,b的值为-3。
16.（本小题满分15分）
解 (1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D四点在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾。故直线EF与BD是异面直线。
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即异面直线EF与BD所成的角(或其补角)。又因为AC⊥BD,则FG⊥EG。在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°。
17.（本小题满分15分）
解 由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0,设A(x1,0),B(x2,0),可得Δ=m2-8m>0,则m<0或m>8,x1+x2=m,x1x2=2m。令x=0,得y=2m,即C(0,2m)。
(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,即x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0(舍去)或m=-。此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,半径r=|CM|=,故所求圆的方程为。
(2)设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0。整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0。令故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和。
18.（本小题满分16分）
解 (1)设数列{an}的公差为d,因为a1,a2,a5-1成等比数列,所以a1(a5-1)=,即1×(1+4d-1)=(1+d)2,即4d=(1+d)2,解得d=1。所以an=n。因为{n|k≤an≤2k,n∈N*},所以当k=1时,集合{n|1≤n≤2,n∈N*}={1,2},所以该集合中元素的个数b1=2,当k=2时,集合{n|2≤n≤4,n∈N*}={2,3,4},所以该集合中元素的个数b2=3。
(2)结合(1)知bk=2k-k+1,所以
b1+b2+…+bn=+n=2(2n-1)-。当n=10时,2(2n-1)-=2 001<2 025,当n=11时,2(2n-1)-=4 039>2 025,记Tn=b1+b2+…+bn,显然数列{Tn}是递增数列,所以所求n的最小值是11。
19.（本小题满分16分）
解 (1)因为f'(x)=。当a=0时,f(x)=-<0,符合题意。当a<0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,而f()=1->0,不合题意。当a>0时,令f'(x)>0,得04a2,即f(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(4a2)=aln(4a2)-≤0,解得0(2)证明:由(1)知,当a=1时,ln x-<0,即ln x<,所以0(-1)+()+…+()=-1,故原不等式成立。