(共25张PPT)
（湘教版）七年级
下
2.2 立方根
实数
第2章
学习目标
1 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根（重点）
3 立方根的应用（难点）
2 会用立方运算求数的立方根，会用计算器计算立方根（重点）
情境导入
要制作一种容积为26立方米的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长是多少？
情境导入
要制作一种容积为26立方米的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长是多少？
分析：设这种包装箱的棱长为 米，则
探究立方根
回顾平方根的定义：
如果一个数使得那么叫作的一个平方根，也叫作二次方根，正数的平方根表示为 .
类比平方根的定义，你能得到立方根的定义吗？
立方根定义
立方根的定义：
如果一个数使得那么叫作的一个立方根，也叫作三次方根， 的立方根记作： ，读作“立方根号a”或”三次根号a”.
若
→
典例精讲
例1：1、说一说：根据立方根的定义填空。
∵
∴的立方根是 ____ ,
∵
∴的立方根是 ____ ,
∵
的立方根是 ____ ,
1
2
3
6
-6
0
的立方根记作
∴；
的立方根记作
∴；
的立方根记作
∴；
典例精讲
2、计算内个整数的立方，你能得到类似上面的个等式吗？
3、的立方根是_____, 的立方根是_____,
立方根______ ；
=0.5
注意：能化简的要化简
=1
=2
=3
=4
=5
=6
=7
=8
=9
=10
归纳总结
1、在目前我们所学习的数中，每一个数有且只有一个立方根，记作 。
一个正数有一个正的立方根
一个负数有一个负的立方根
0的立方根是0
2、
3、求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根。
正数a的平方根是
负数没有平方根
0的平方根是0
典例精讲
的立方根记作_____, _____,_____；
______,______；
例2：填空
的立方根记作______, _____, _____；
典例精讲
例3：在目前我们所学习的数中，根据立方根的定义，解下列方程。
解
解
-4的立方根
的
立方根
注意： 前面的系数变为1
典例精讲
思考：通过解方程，把方程的解代入原方程可得：
，则，可得到：对于任何数， 。
典例精讲
例4：用计算器求下列各数的立方根
例5：用计算器求的近似值
（精确到0.001）
计算器
=
SHIFT
输入数据
操作方法
343的立方根是7，-1.331的立方根是-1.1
≈1.260
许多有理数的立方根都是无理数，如是无理数，但可以用有理数来近似地表示它。
合作探究
求下列各式的值:
探究一
结论：对于任何数，
a
合作探究
求下列各式的值:
结论：对于任何数，
探究二
拓展提升
1、估计的大小，它夹在哪两个连续整数之间？
2、在迄今为止我们所认识的数中，解方程：
答案
解
解
解
8
课堂小结
如果一个数b，使得b3=a，那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根， a的立方根记作：
在目前我们所学习的数中，一个正数有一个正的立方根，
一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0
什么是立方根？a的立方根如何表示？
1
立方根的性质是什么？
2
如何利用计算器求一个数的立方根？
3
=
SHIFT
输入数据
达标作业
1、求下列各数的立方根
②
① 0.001
③
2、计算
①
②
③
提升作业
1、在目前我们所学习的数中，解方程
课后探究作业
1、你能证明 吗？
2、若能，请你运用上述结论求下列各式的值：
达标作业
1、求下列各数的立方根
②
① 0.001
③
2、计算
①
②
③
注意：带分数先化为假分数
提升作业
1、在目前我们所学习的数中，解方程
解
课后探究作业
1、你能证明 吗？
证明
∴
∴
∴
∴ 即
课后探究作业
2、若能，请你运用上述结论求下列各式的值：
①
·
②
·
数学是知识的工具。
下次再见！
再见2.2立方根教学设计
学科 数学 年级 七年级 课型 新授课 设计者 欧阳海良
课题 2.2立方根 课时 1课时
课标要求 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器计算立方根.3.立方根的应用.
教材分析 本节是在平方根基础上学习立方根，类比平方根概念、性质及运算，拓展数的开方知识，为后续学习实数和根式运算打基础，体现知识的系统性与逻辑性。
学情分析 七年级学生已掌握平方根知识，具备一定类比和抽象思维能力，但对立方根符号表示、性质理解及应用可能存在困难，需借助实例和对比突破。
核心素养目标 1. 数学抽象：理解立方根概念，用符号表示。2. 数学运算：会用立方运算和计算器求立方根。3. 逻辑推理：通过类比平方根探究立方根性质。4. 直观想象：运用立方根解决实际问题，建立数与形联系。
教学重点 1. 立方根的概念、符号表示及性质。2. 用立方运算求立方根，用计算器计算。
教学难点 1. 立方根与平方根的区别与联系。2. 立方根性质的应用。
教学方法 1. 类比教学法：通过与平方根对比，引导学生自主探究立方根概念与性质。2. 问题驱动法：以实际问题（如正方体包装箱棱长计算）引入，激发学生学习兴趣与求知欲。3. 合作探究法：通过小组讨论、合作计算，培养学生的协作能力与探究精神。4. 直观演示法：借助程序计算器可视化操作演示，直观呈现立方根计算过程，突破抽象概念难点。
教学过程（教学环节可结合学科特点自行设置）
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 情境引入要制作一种容积为26立方米的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长是多少？分析：设这种包装箱的棱长为 x米，则 什么数的立方等于26呢？要解决上面的问题，需要求出未知数x的值。 1. 思考与分析：学生根据教师提出的实际问题，自主思考并尝试分析问题中的数量关系，设出正方体包装箱棱长为x米，列出方程x3=26 。2. 交流与表达：学生在独立思考后，与同桌或小组内成员交流想法，分享自己对问题的理解和初步思路，共同探讨如何求解x的值，提出疑惑或见解 。3. 观察与倾听：认真倾听教师对问题的进一步引导和分析，观察问题的解决方向，积极思考“什么数的立方等于26”这一关键问题，为后续新知识的引入做好铺垫。 1. 激发学习兴趣：以生活中制作正方体包装箱的实际问题为情境，贴近学生生活经验，引发学生的好奇心和求知欲，让学生感受到数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和积极性。2. 建立问题驱动：通过提出具体问题，将学生置于认知冲突中，使学生意识到现有知识无法直接解决该问题，从而产生学习新知识（立方根）的内在需求，自然地引入课题，为后续教学内容做好铺垫。3. 培养问题解决能力：引导学生经历分析问题、设未知数、列方程的过程，培养学生运用数学思维解决实际问题的能力，提升学生的数学建模意识和逻辑思维能力。
环节二 二、新知探究同学们回顾平方根的定义：如果一个数r，使得,那么我们把r 叫作a的一个平方根，也叫作二次方根，正数a的平方根表示为.类比平方根的定义，你能得到立方根的定义吗？立方根的定义：如果一个数b,使得,那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根，a的立方根记作 .回到刚才的问题， ，根据立方根的定义，则x是26的一个立方根，26的立方根记作 ，所以 .
1.回忆与思考：学生回忆平方根的定义，思考其内涵和表达方式，为类比得出立方根的定义做准备。2.类比与归纳：根据平方根定义的形式和结构，尝试类比推出立方根的定义，积极思考并回答问题，总结出立方根的概念。3.应用与理解：将立方根的定义应用到前面提出的包装箱问题中，理解x是26的立方根，进一步体会立方根的实际意义。 1.知识迁移：通过引导学生类比平方根的定义来推导立方根的定义，培养学生的知识迁移能力和类比推理思维，让学生在已有知识的基础上主动探索新知识，加深对概念的理解。2.自主探究：鼓励学生自主归纳立方根的定义，发挥学生的主体作用，提高学生的归纳总结能力和自主学习能力，使学生在探究过程中获得成就感，增强学习数学的自信心。3.前后联系：将新学的立方根概念与前面的实际问题相结合，让学生看到知识的应用过程，体会数学知识之间的连贯性和系统性，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
环节三 三、典例精讲例1：说一说：根据立方根的定义填空1.（1）因为=216，所以216的立方根是 6 ,216的立方根记作 ，所以 =6；（2）因为=-216，所以-216的立方根是 -6 ,-216的立方根记作 ，所以 =-6；（3）因为=0，所以0的立方根是 0 ,0的立方根记作 ，所以 =0；2. 计算1-10内10个整数的立方，你能得到类似上面的10个等式吗？3.4的立方根是, -9的立方根是,0.125立方根0.5；（注意：能化简的要化简）归纳：在目前我们所学习的数中，每个数a有且只有一个立方根，记作 。一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0。（对比回顾：正数a的平方根是，0的平方根是0， 负数没有平方根）求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 开立方与立方也互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根。例2：填空。⑴.27的立方根记作, , , =(-0.3 ),；⑵.的立方根记作( ), =( ), =( )。例3：在迄今为止我们所认识的数中，根据立方根的定义，解下列方程。⑴. ⑵. 2 x是-4的立方根，x= x3=9，x是9的立方根，x = (注意：x3前面的系数要变为1） 思考：通过解方程，把方程的解代入方程可得： ⑴., ；⑵若,则x=(),。例4 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331.例5 用计算器求 的近似值（精确到0.001）（先保存有计算器的程序文件，放映幻灯片，点击超链接计算器按钮，点确定，弹出计算器，然后可以使用计算器演示操作计算一个数的立方根）许多有理数的立方根都是无理数，如是无理数，但可以用有理数来近似地表示它。 1.参与课堂问答：在例1中，学生通过填空的方式，根据立方根的定义找出不同数的立方根，积极回答问题，巩固对立方根概念的理解。2.自主计算归纳：在计算1 - 10内整数立方的过程中，学生独立完成计算，然后观察总结规律，归纳出每个数的立方根的特点以及开立方运算的相关性质。3. 解方程练习：在例3中，学生根据立方根的定义解给定的方程，将方程中的未知数表示为某个数的立方根，进一步熟悉立方根与方程的联系。4.使用计算器操作：在例4和例5中，学生跟随教师的演示，使用计算器求数的立方根以及无理数立方根的近似值，学习利用工具解决数学问题。 1.深化概念理解：通过例1中具体数字的分析，让学生从不同角度理解立方根的定义，明确正数、负数和0的立方根的特点，对比平方根的相关知识，加深对立方根概念的认识。2.培养归纳能力：学生在计算整数立方并归纳规律的过程中，培养观察、分析和归纳总结的能力，从具体实例中抽象出一般性的结论，提高数学思维能力。3.强化应用能力：例3中解方程的练习，将立方根的知识应用到方程求解中，让学生体会数学知识之间的联系，提高运用立方根知识解决问题的能力。4.掌握工具使用：安排使用计算器求立方根的环节，使学生学会借助现代工具直观进行数学计算，了解无理数的近似表示方法，拓宽学生的数学视野，提高学生的数学应用技能。
环节四 四、合作探究探究1：求下列各式的值: = ( 2 ) = ( 4 ) = ( 0 )= (-3 ) = ( -2 ) 结论：对于任何数，= 探究2：求下列各式的值：= ( -0.2 ) = ( -0.2 )对于任何数， 1.学生通过计算题目中的各式的值，观察、分析计算结果，尝试总结规律。在探究过程中，学生可能会进行小组讨论，分享自己的计算结果和发现，共同探讨结论是否具有普遍性。 1. 培养探究能力：让学生通过自主计算和探究，发现立方根运算的一些性质和规律，培养学生的观察、分析和归纳能力，提高学生的数学探究能力和逻辑思维能力。2.深化概念理解：通过具体的计算和对结果的分析，加深学生对立方根概念的理解，使学生更加熟悉立方根的运算，明确立方根与被开方数之间的关系。3. 培养合作精神：合作探究过程中，学生分组讨论交流，培养学生的合作学习能力和团队协作精神，让学生学会在合作中共同进步，提高学生解决问题的能力。
环节五 五、拓展提升1.估计的大小，它夹在哪两个连续整数之间？在目前我们所学习的数中，解方程： = 2 1.估计大小：学生通过计算一些整数的立方，如13 = 1，23 = 8，33 = 27等，来判断的大小范围，然后得出夹在2和3这两个连续整数之间。2.解方程：学生运用立方根的定义和性质来解方程，大胆地创造性地得出新数 1.估计大小：让学生通过自主探索和计算，体会用有理数逼近无理数的思想，培养学生的数感和估算能力，加深对立方根概念的理解，同时也为后续学习实数的大小比较等知识做铺垫。2解方程：进一步巩固学生对立方根概念的运用，提高学生解方程的能力，让学生学会将实际问题转化为数学方程并求解，培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
环节六 六、课堂小结我们一起来回忆总结这节课所学的知识点：1、什么是立方根？a的立方根如何表示？答案：如果一个数b，使得b3=a，那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根. a的立方根记作2、立方根的性质是什么？答案：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.3、如何利用计算器求一个数的立方根？答案：按键顺序为： 1.学生在教师引导下，回顾本节课所学内容，一起回答教师提出的问题，梳理立方根的定义、性质以及用计算器求立方根的方法。可能还会对一些重点知识进行简单的笔记整理。 1.巩固知识：通过回顾总结，让学生进一步加深对立方根相关知识的理解和记忆，强化重点内容，如立方根的定义和性质，使知识更加系统和完整。2.培养归纳能力：引导学生参与总结，培养他们归纳概括知识的能力，学会将所学的零散知识进行梳理，形成知识体系，提高学习能力。3.强化记忆：在总结过程中，学生对知识进行再次复述和强调，有助于将新知识更好地纳入已有的知识结构中，强化记忆效果，便于今后的提取和应用。4.了解掌握情况：教师通过学生的回答，可以了解学生对本节课知识的掌握程度，发现学生可能存在的问题和薄弱环节，为后续的教学和辅导提供依据。
总结评价 1. 知识掌握：学生能准确表述立方根的定义、性质及符号表示，熟练运用立方运算求解简单立方根问题，部分学生可完成方程与实际问题的综合应用。2. 能力发展：通过类比探究与合作学习，学生的逻辑推理、数学抽象与运算能力得到提升，多数学生能独立解决基础问题，但在复杂问题（如拓展探究题）中仍需加强思维训练。3. 学习态度：情境引入与探究活动有效激发学生兴趣，课堂参与度高，但在自主思考深度和合作效率上存在个体差异，需后续针对性指导。4. 改进方向：针对学生易错点（如平方根与立方根混淆）加强对比练习，设计分层任务满足不同水平学生需求，进一步培养数学应用与创新意识。
分层作业 作业布置（一）、基础达标作业求下列各数的立方根⑴ -0.001 ⑵ 3 ⑶ （注意：带分数先化为假分数）计算⑴ ⑵ - ⑶ （二）、能力提升作业在目前我们所学习的数中，解方程： (三）、拓展探究作业1、① 你能证明= 吗？② 若能，请你运用上述结论下列各式的值： 和 。
板书设计 八、板书设计
教学反思 一、教学亮点1. 情境驱动，激发兴趣：以制作容积为26立方米正方体包装箱的实际问题引入，将抽象的数学概念与生活场景结合，有效激发学生的好奇心和求知欲。学生能快速进入学习状态，主动思考如何通过数学运算解决实际问题，为后续知识的学习奠定良好基础 。2. 类比迁移，构建知识：通过类比平方根的定义引导学生推导立方根概念，充分利用学生已有知识经验，降低新知识的学习难度。这种教学方式不仅帮助学生加深对立方根本质的理解，还培养了他们的类比推理能力，让学生体会到数学知识间的内在联系，形成系统的知识结构。3. 分层设计，因材施教：作业布置采用分层形式，基础达标作业巩固立方根的基本计算和概念应用，适合基础薄弱学生夯实基础；能力提升作业涉及方程求解，锻炼学生知识运用能力；拓展探究作业鼓励学生深入思考，满足学有余力学生的学习需求。分层作业有效照顾不同层次学生的学习进度和能力差异，促进全体学生共同发展。4. 技术融合：嵌入可视化程序计算器操作求一个数的立方根，将抽象运算可视化，精准攻克估算与无理数认知难点。5. 创新教育：通过立方根定义，大胆得出新数。二、存在问题1. 时间把控不够精准：典例精讲环节中，由于对学生的计算速度和理解程度预估不足，部分学生未能充分消化吸收新知识，影响教学效果。三、改进方向1. 合理规划教学时间：在备课环节，更加细致地预估每个教学环节所需时间，制定详细的时间分配计划。在课堂上，灵活调整教学节奏，对于学生已经掌握的内容适当精简讲解，将更多时间留给重点、难点内容和学生的自主探究活动，确保教学任务顺利完成的同时，让学生充分理解和掌握知识。
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