9.1.1 生活中的轴对称
【基础堂清】
知识点1 轴对称图形
1 中国瓷器,积淀了深厚的文化底蕴,是中国传统艺术文化的重要组成部分.瓷器上的图案设计精美,极富变化.下面瓷器图案中,是轴对称图形的是 ( )
A B C D
2 数学中有许多精美的曲线,以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡儿心形线”.其中的轴对称图形的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 两个图形成轴对称
3 视力表中“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是 ( )
A B C D
知识点3 轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的特征
4如图,AD所在直线是△ABC的对称轴,点E,F是AD上的两点,若BD=3,AD=6,则图中阴影部分的面积是 .
5如图,△ABC与△DEF关于直线l成轴对称,则线段AB的对应线段是 ;∠C与∠F的数量关系是 .
【能力日清】
6下列图形中,是轴对称图形且对称轴条数最多的是 ( )
A B C D
7如图,已知AB=CB,要使四边形ABCD成为一个轴对称图形,还需添加一个条件,你添加的条件: .(只需写一个)
【素养提升】
8 如图,在4×4的正方形网格中,有5个黑色小正方形.
(1)请你移动一个黑色小正方形,使移动后所形成的4×4的正方形网格图形是轴对称图形.如:将8号小正方形移至14号;你的另一种做法是将 号小正方形移至 号.(填写标号即可)
(2)请你移动2个小正方形,使移动后所形成的图形是轴对称图形,你的一种做法是将 号小正方形移至 号、将 号小正方形移至 号.(填写标号即可)
参考答案
1.B 2.C
3.C
4.9
5.DE 相等
6.D
7.AD=CD
8.(1)9;3.
(2)9;3;13;4.(答案不唯一).9.1.2 轴对称的再认识
【基础堂清】
1有下列说法:①线段的对称轴有两条;②角是轴对称图形,它的平分线就是它的对称轴;③两点关于连结它们的线段的垂直平分线对称.其中说法正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2如图,△ABC和△AB'C'关于直线l对称,l交CC'于点D,若AB=4,B'C'=2,CD=0.5,则五边形ABCC'B'的周长为 ( )
A.14 B.13 C.12 D.11
3如图,四边形ABCD是轴对称图形,直线AC是它的对称轴,若∠BAC=65°,∠B=40°,则∠BCD的度数为 .
4如图,在△ABC中,将∠B,∠C按如图所示的方式折叠,点B,C均落于边BC上的点Q处,MN、EF为折痕,若∠A=82°,则∠MQE的度数为 .
5如图,在4×4正方形网格中,阴影部分是由2个小正方形组成的图形,请你分别在下图方格内添涂2个小正方形,使这4个小正方形组成的图形满足:图1有且只有一条对称轴;图2有且只有两条对称轴;图3有且只有四条对称轴.
【能力日清】
6如图,在△ABC中,D点在BC上,∠B=62°,∠C=53°,将D点分别以AB,AC为对称轴,画出对称点E,F,并连结AE,AF,则∠EAF的度数为 .
7如图,P为∠AOB内一点,分别作出P点关于OA,OB的对称点P1,P2,连结P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=2 025,求△PMN的周长.
【素养提升】
8 如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A'重合.
(1)若∠A=75°,求∠1+∠2的度数.
(2)若∠A=n°,求∠1+∠2的度数.
参考答案
1.B 2.B
3.150°
4.82°
5.如图所示:
6.130°
7.∵点P,P1关于OA对称,点P,P2关于OB对称,
∴PN=NP2,MP=MP1,
∴△PMN的周长为PN+MN+PM=NP2+MN+MP1=P1P2=2 025,
∴△PMN的周长为2 025.
8.(1)∵△A'DE是由△ADE翻折变换而成的,
∴∠AED=∠A'ED,
∠ADE=∠A'DE,∠A=∠A'=75°,
∴∠AED+∠ADE=
∠A'ED+∠A'DE=180°-75°=105°,
∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°.
(2)∵△A'DE是△ADE翻折变换而成,
∴∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A=∠A'=n°,
∴∠AED+∠ADE=∠A'ED+∠A'DE=180°-n°,
∴∠1+∠2=360°-2(180°-n°)=2n°,
∴∠1+∠2=2n°.9.1.3 作轴对称图形
【基础堂清】
知识点1 补全轴对称图形
1如图,阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形,将方格内空白的两个小正方形涂黑,得到新的图形,其中不是轴对称图形的是 ( )
A B C D
2如图,将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l,m,n,p为对称轴的轴对称的图形.
知识点2 画与已知图形成轴对称的图形
3如图,画出△ABC关于直线l对称的图形.
【能力日清】
4如图,点A,B,C都在方格纸的“格点”上,请找出“格点”D,使点A,B,C,D组成一个轴对称图形,这样的点D共有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5如图,在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合),这样的三角形能画出 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6如图,这是由三个小正方形组成的图案,请在图中补画一个小正方形,补画后四个小正方形组成的图案是轴对称图形.请用三种不同的方法补画图形,并画出各自的对称轴.
【素养提升】
7如图,在4×4的正方形网格中,有格点(小正方形的顶点)三角形,试画出与它成轴对称的格点三角形.(请画5种以上)
参考答案
1.D
2.如图所示:
3.如图所示.
4.D 5.C
6.补画图形如图所示,对称轴为直线l.
7.如图所示:9.1.4 课时1 设计轴对称图案
【能力日清】
1在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用轴对称知识的是 ( )
2下面是同学们利用两条线段,两个圆,两个等腰三角形设计的图案,不是轴对称图形的是 ( )
A B C D
3如图,点A,B在方格纸的格点位置上.在方格图中再找一个格点C,使它们所构成的三角形为轴对称图形,这样的格点C共有 ( )
A.6个 B.8个 C.10个 D.12个
4请你用3种方法,将如右图所示的四块小正方形纸板拼成一个大的正方形,并且使拼成的大正方形是至少有两条对称轴的轴对称图形.
【能力日清】
5如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种.
6一张正方形的纸片,进行如图所示的两次对折,折成一个正方形,从右下角的顶点,沿斜虚线剪去一个角,剪下的实际是四个小三角形,再把余下的部分展开,展开后的这个图形的内角和是 度.
7如图,△ABC和△A'B'C'关于直线m对称.
(1)结合图形写出对称点.
(2)连结AA',直线m与线段AA'有什么关系
(3)它们的交点与直线m有怎样的关系
【素养提升】
8下面网格都是由边长为1的小正方形组成的,观察下图三个图案(阴影部分),回答下列问题:
(1)请至少写出这三个图案的两个共同特征.
(2)请在图④中设计一个图案,使它具备你所写出的特征.
参考答案
1.C 2.D 3.C
4.如图所示:
5.3
6.1 080
7.(1)对称点有A和A',B和B',C和C'.
(2)直线m是线段AA'的垂直平分线.
(3)它们的交点在直线m上.
8.(1)都是轴对称图形.面积都是4.
(2)如图所示(答案不唯一).9.1.4 课时2 轴对称性质的应用
【基础堂清】
知识点1 利用轴对称性质进行判断或计算
1如图,在Rt△ACB中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,△ABD与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',若∠B'AC=14°,则∠B的度数为 ( )
A.38° B.48° C.50° D.52°
2如图,正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.2 B.4
C.8 D.无法确定
3如图,直线l是五边形ABCDE的对称轴,其中∠C=100°,∠ABC=130°,那么∠BEA的度数为 ( )
A.45° B.50°
C.60° D.65°
知识点2 利用轴对称的性质设计
4 剪纸是我国传统的民间艺术.将一张纸片按图1,图2的方式沿虚线依次对折后,再沿图3中的虚线裁剪,最后将图4中的纸片打开铺平,所得的图案应该是 ( )
A B C D
【能力日清】
5如图,将△ABC沿着AD对折,顶点C恰好落在边AB上的点E处,若已知AE=18 cm,BE=4 cm.试求:
(1)△ABD与△ACD的面积之比.
(2)线段BD与CD的长度之比.
6如图,直线AB,CD相交于点O,P为这两直线外一点,且OP=2.8.点P关于直线AB,CD的对称点分别是点P1,P2.
(1)若过点P的直线与AB,CD分别相交于点N,M,且∠OMN+∠ONM=150°.求∠P1OP2的度数.
(2)若0°<∠AOC<180°,求点P1,P2之间的距离d的取值范围.
【素养提升】
7如图,在一条河流的北侧,有A,B两处牧场.每天清晨,羊群从A处出发,到河边饮水后,折到B处放牧吃草.请问,饮水处应设在河流的什么位置,从A处到B处羊群行走的路程最短
参考答案
1.D 2.A 3.B
4.A
5.(1)△ABD与△AED的面积之比为AB与AE之比,即△ABD与△ACD的面积之比为11∶9.
(2)由(1)得△ABD与△ACD的面积之比为11∶9.
∵△ABD与△ACD的面积之比等于BD与CD之比,
∴线段BD与CD的长度之比为11∶9.
6.(1)如图,连结OP1,OP2,P1P2.
∵∠OMN+∠ONM=150°,
∴∠MON=180°-150°=30°.
∵点P关于直线AB,CD的对称点分别是点P1,P2,
∴∠P2OM=∠MOP,∠P1ON=∠NOP,
∴∠P2OM+∠P1ON=∠MOP+∠NOP=∠MON=30°,
∴∠P1OP2=2∠MON=60°.
(2)∵点P关于直线AB,CD的对称点分别是点P1,P2,
∴OP1=OP=2.8,OP=OP2=2.8,
∴OP1+OP2≥P1P2,
∴0
7.如图,利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC'=C'A'及CA=CA',
所以AC'+C'B=C'A'+C'B,AC+CB=CA'+CB=A'B.
而C'A'与C'B是连结A',B的折线,而A'B则是连结这两点之间的线段,
所以C'A'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB,
即选择C点作为羊群的饮水点,羊群的行程最短.